高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.3 函数的最大小值与导数学案 新人教A版选修22

1、1.3.3函数的最大(小)值与导数学习目标：1.理解函数的最值的概念(难点)2.了解函数的最值与极值的区别与联系(易混点)3.会用导数求在给定区间上函数的最值(重点)自 主 预 习·探 新 知1函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值思考：函数的极值与最值的区别是什么？提示函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多

2、个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值当连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间2求函数f(x)在闭区间a，b上的最值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值基础自测1思考辨析(1)函数的最大值一定是函数的极大值()(

3、2)开区间上的单调连续函数无最值()(3)函数f(x)在区间a，b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得()答案(1)×(2)(3)×2函数f(x)2xcos x在(，)上()a无最值b有极值c有最大值d有最小值af(x)2sin x>0恒成立，所以f(x)在(，)上单调递增，无极值，也无最值3函数f(x)在区间2,4上的最小值为()a0 bc dcf(x)，当x2,4时，f(x)0，即函数f(x)在区间2,4上是单调递减函数，故当x4时，函数f(x)有最小值.4已知函数f(x)x33x2m(x2,2)，f(x)的最小值为1，则m_. 【导学号：31062058】解析

4、f(x)3x26x，x2,2令f(x)0，得x0，或x2，当x(2,0)时，f(x)0，当x(0,2)时，f(x)0，当x0时，f(x)有极小值，也是最小值f(0)m1.答案1合 作 探 究·攻 重 难求函数的最值角度1不含参数的函数最值求下列各函数的最值(1)f(x)3x39x5，x2,2；(2)f(x)sin 2xx，x.解(1)f(x)9x299(x1)(x1)，令f(x)0得x1或x1.当x变化时，f(x)，f(x)变化状态如下表：x2(2，1)1(1,1)1(1,2)2f(x)/00/f(x)111111从表中可以看出，当x2时或x1时，函数f(x)取得最小值1.当x1或x

5、2时，函数f(x)取得最大值11.(2)f(x)2cos 2x1，令f(x)0，得cos 2x，又x，2x，2x±.x±.函数f(x)在上的两个极值分别为f，f.又f，f.比较以上函数值可得f(x)max，f(x)min.角度2含参数的函数最值a为常数，求函数f(x)x33ax(0x1)的最大值. 【导学号：31062059】解f(x)3x23a3(x2a)若a0，则f(x)0，函数f(x)单调递减，所以当x0时，有最大值f(0)0.若a0，则令f(x)0，解得x±.x0,1，则只考虑x的情况(1)若01，即0a1，则当x时，f(x)有最大值f()2a.(如下表所

6、示)x0(0，)(，1)1f(x)0f(x)02a3a1(2)若1，即a1时，则当0x1时，f(x)0，函数f(x)在0,1上单调递增，当x1时，f(x)有最大值f(1)3a1.综上可知，当a0，x0时，f(x)有最大值0；当0a1，x时，f(x)有最大值2a；当a1，x1时，f(x)有最大值3a1.规律方法1.求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内.(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.2.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，所

7、以解决含参数的函数最值问题常常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.跟踪训练1已知a是实数，函数f(x)x2(xa)，求f(x)在区间0,2上的最大值解f(x)3x22ax.令f(x)0，解得x10，x2.当0，即a0时，f(x)在0,2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a.当2，即a3时，f(x)在0,2上单调递减，从而f(x)maxf(0)0.当02，即0a3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，从而f(x)max综上所述，f(x)max已知函数的最值求参数已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值. 【导学号：31062060】解由题

8、设知a0，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去)(1)当a>0，且x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3<f(1)，f(2)16a329，解得a2.(2)当a<0时，同理可得，当x0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在1,2上的最小值，f(0)b29.又f(1)7a29，f(2)16a29>f(1)，f

9、(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.规律方法已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.跟踪训练2若函数f(x)(a>0)在1，)上的最大值为，则a的值为_解析f(x)，当x>时，f(x)<0，f(x)单调递减，当<x<时，f(x)>0，f(x)单调递增，当x时，f(x)，<1，不合题意f(x)maxf(1)，a1.答案1与最值有关的综合问题探究问题1对于函数yf(x)，xa，

10、b，若f(x)c或f(x)c恒成立，则c满足的条件是什么？提示：cf(x)min或cf(x)max.2对于函数yf(x)，xa，b，若存在x0a，b，使得f(x)c或f(x)c成立，则c满足的条件是什么？提示：cf(x)max或cf(x)min.设函数f(x)tx22t2xt1(xr，t>0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围. 【导学号：31062061】思路探究(1)利用配方法，即可求出二次函数f(x)的最小值h(t)；(2)构造函数g(t)h(t)(2tm)，只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的

11、取值范围解(1)f(x)t(xt)2t3t1(xr，t>0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(不合题意，舍去)当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)极大值1mg(t)在(0,2)内有最大值g(1)1m.h(t)<2tm在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1m<0.m的取值范围为(1，)母题探究：1.(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t0,2，使h(t)<2tm成

12、立”，则实数m的取值范围如何求解？解令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(不合题意，舍去)当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t0(0,1)1(1,2)2g(t)0g(t)1m极大值1m3mg(t)在0,2上有最小值g(2)3m，存在t0,2，使h(t)<2tm成立，等价于g(t)的最小值g(2)<0.3m<0，m>3，所以实数m的取值范围为(3，)2(变条件)若将本例(2)的条件改为“对任意的t1，t2(0,2)，都有h(t1)2t2m”，求实数m的取值范围解h(t)t3t1，t(0,2)h(t)3t21由h(t)0

13、得t或t(舍)又当0t时，h(t)0，当t2时，h(t)0.当t时，h(t)max1.令(t)2tm，t(0,2)，(t)minm4.由题意可知m4，即m3.实数m的取值范围为.规律方法分离参数求解不等式恒成立问题的步骤所以实数的取值范围为当 堂 达 标·固 双 基1下列结论正确的是()a若f(x)在a，b上有极大值，则极大值一定是a，b上的最大值b若f(x)在a，b上有极小值，则极小值一定是a，b上的最小值c若f(x)在a，b上有极大值，则极小值一定是xa和xb时取得d若f(x)在a，b上连续，则f(x)在a，b上存在最大值和最小值d函数f(x)在a，b上的极值不一定是最值，最值也

14、不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在a，b上一定存在最大值和最小值2函数yxsin x，x的最大值是()a1b1cd1c因为y1cos x，当x时，y>0，则函数在区间上为增函数，所以y的最大值为ymaxsin ，故选c.3函数f(x)x33x(|x|1)() 【导学号：31062062】a有最大值，但无最小值b有最大值，也有最小值c无最大值，但有最小值d既无最大值，也无最小值 df(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)0，所以f(x)在(1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选d.4设函数f(x)x32x5，若对任意x1,2，都有f(x)m，则实数m的取值范围是_解析f(x)3x2x20，x1，.f(1)5，f5，f(1)3，f(2)7，m3.【答案】5已知函数f(x)2x36x2a在2,2上有最小值37，求a的值，并求f(x)在2,2上的最大值. 【导学号：31062063】解f(x)6x212x6x(x2)由f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2,0)0(0,2)2f(x)00f(x)40a极大值a8a所以当