第五章 利率期限结构

1、第五章 利率期限结构利率期限结构概览l 收益率曲线的认识： 依据不同期限的金融工具的到期收益率高低绘制的图形（衡量到期收益率与到期期限之间的变化关系。 不同类型的债券都有自身的到期收益率曲线，其中无风险零息债券的到期收益率曲线最为重要。 通常意义上的到期收益率曲线专指不同期限的零息债券的到期收益率曲线，又称为即期利率（Spot Rate）曲线或利率期限结构（Term Structure of Interest Rates）。在美国等国家的金融市场上，到期收益率曲线通常以当期新发（on-the-run）国债的拍卖利率（即期利率）为基础，通过插值法等算出相应年份的即期利率，从而绘制出收益率曲线。利

2、率期限结构概览l 利率期限结构的基本作用为其他债券定价l给无风险的其他证券定价l给有风险的其他证券定价l给固定收益证券的衍生产品定价寻找套利机会预测未来即期利率1(1)(1)ntnttnCFVyy1(1)(1)nttnttssnssCFPyyyy利率期限结构的理论解释利率期限结构的理论解释l传统理论传统理论市场分割理论纯预期理论/无偏预期理论流动偏好理论期限偏好理论市场分割理论市场分割理论l该理论认为：不同的金融工具和市场体之间是不完全流动的，相互间因制度、空间、信息流等的限制而存在一定程度的分隔，从而并不存在一个统一的、相互完全一致的市场收益率。l市场上任何期限的债券与其他期限的债券是完全分

3、隔的，任何期限债券的利率仅由该期限债券的供求因素决定，很少受其他期限债券的影响，即短期利率仅由短期资金的供求决定，长期利率仅由长期资金的供求决定。l利率反转效应的解释利率反转效应的解释纯预期理论纯预期理论l纯预期理论认为即期利率已经对未来可能出现的任何情况做出客观的、完全的预期。即若投资者预期未来的短期利率会上升，那么长期利率就会高于短期利率，此时收益率曲线就会向上倾斜；若投资者预期未来的短期利率会下降，那么长期利率就会低于短期利率，这时收益率曲线就会向下倾斜；若预期未来的短期利率会保持不变，那么收益率曲线就会保持水平。l定价均衡时，该理论相信持有至到期策略得到的预期收益等于滚动策略得到的预期

4、收益，即目前进行一个较长时期的投资结果，与进行多个期限的滚动投资收益相同。纯预期理论纯预期理论l 纯预期理论的出发点，是长期证券的到期收益率等于当期短期利率以及预期短期利率的几何平均。这也意味着到期收益曲线所暗含的远期利率等于未来该时段的即期利率。l 该理论基于以下假定： 市场上的各种证券均没有违约风险； 所有投资者都是风险中立者，并且以利润最大化原则/不考虑风险； 证券买卖没有交易成本； 投资者都能准确预测未来的利率/即预期都可以实现； 投资者对证券不存在期限偏好/不同期限的证券之间可以互换替代l 纯预期理论认为：在一定的持有期间内，持有人投资任何在一定的持有期间内，持有人投资任何证券都会获

5、得相同的收益，而与证券的期限无关。证券都会获得相同的收益，而与证券的期限无关。纯预期理论纯预期理论 l例例: 某投资者拟进行一个两年期的投资，以下几种投资方案给投资者将带来相同的预期收益：方案1：先购买1年期证券，到期后再投资于另一个1年期证券并持有至到期；方案2：直接购买一个2年期证券；方案3：购买一个5年期证券，在第2年末卖出。纯预期理论纯预期理论)(ntntYEf l应用应用： “无套利无套利”总收益总收益l思路思路：利用到期收益曲线所暗含的远期利率来估计总收益利用到期收益曲线所暗含的远期利率来估计总收益。纯预期理论纯预期理论l例例 ：资于3年期，票面利率6%（半年付息）的债券，价格为9

6、47.58元（其面值为1000元），给定市场利率期限结构，如下表第2列所示。若投资者计划1年后售出该债券，那么投资者期望的无套利总收益是多少呢？时点即期收益率曲线单期远期利率 16.50%6.50%27.00%7.50%37.40%8.20%48.00%9.81%58.40%10.01%68.60%9.60%表：市场上的利率期限结构（6个月，有效利率）01,ttf220,20,101,201,201,2(1)(1)(1)(13.50%)(13.25%)(1)3.75%RRfff32320,30,202,302,302,3(1)(1) (1)(13.70%)(13.5%) (1)4.10%RRf

7、ff解答：解答：l第一步，求解债券的到期收益率第一步，求解债券的到期收益率l第二步，估算债券在第第二步，估算债券在第1年末的价值，将投资者收益分解为三部分，即年末的价值，将投资者收益分解为三部分，即资本利得、利息、利息的利息。资本利得、利息、利息的利息。1年后债券的价值应当为第年后债券的价值应当为第3期至第期至第6期期不同时点的现金流在时点不同时点的现金流在时点2的现值的现值:l投资者预期资本利得为-8.07元，即： （元）l利息及利息的利息为61.125元，即 （元）l投资者1年末的总预期收益为53.055元，即661301000947.588%(1/ 2)(1/ 2)ttyyy130303

8、010301.0411.041 1.049051.041 1.04905 1.050051.041 1.04905 1.05005 1.048 939.51P 939.51 947.588.07 30 1.03753061.1258.0761.12553.055l进一步的，投资者持有期间收益率为：进一步的，投资者持有期间收益率为：l持有期收益率低于持有期收益率低于 8% 的到期收益率很多，为什么的到期收益率很多，为什么?l前期的再投资收益率较低前期的再投资收益率较低12947.58 53.05512 5.52%947.58 预期理论与经济周期分析预期理论与经济周期分析l观察观察在经济扩张一开始

9、，到期收益曲线斜率趋于增大，而在经在经济扩张一开始，到期收益曲线斜率趋于增大，而在经济扩张的末尾到期收益曲线斜率趋于降低济扩张的末尾到期收益曲线斜率趋于降低l需求方需求方 在扩张期投资大，货币需求的期望增大，促使真实利率抬在扩张期投资大，货币需求的期望增大，促使真实利率抬高高如果预期经济走向低谷，预期远期利率下降，因为投资需如果预期经济走向低谷，预期远期利率下降，因为投资需求将趋缓。求将趋缓。l供给方供给方 人们更愿意均衡消费。如果预期经济衰退，人们将更不愿人们更愿意均衡消费。如果预期经济衰退，人们将更不愿意花钱，这也促使利率走低。意花钱，这也促使利率走低。流动偏好理论流动偏好理论l又称为流动

10、性升水理论（liquidity premium theory），该理论基本上承认利率期限结构的纯预期理论，但对它有一个重大的修正，该理论认为长期债券比短期债券的流动性差，必须要给予投资者更高的期望收益才能使他们愿意持有长期债券。换言之，期限较长的利率，一定会高于期限较短的利率，因为较长的期限要求较高的流动性溢价。ntntntLYEf)(流动偏好理论流动偏好理论即期利率期限收益曲线流动性升水到期收益率流动性偏好理论对收益曲线的解释期限偏好理论期限偏好理论l该理论认为投资者对特定期限都有很强的偏好，因而收益曲线不会严格地服从纯预期理论和流动性偏好理论的预测。投资者有如此特定期限的偏好是由于在债券投

11、资过程中，投资者的资产周期和负债周期有效匹配会使其处于最低风险状态。如银行和货币市场基金一般购买短期债券，而人寿保险公司则偏好于购买长期债券l投资者虽对投资期限有一定的偏好，但若预期收益之间的差别特别大，投资者虽对投资期限有一定的偏好，但若预期收益之间的差别特别大，他们也会改变偏好他们也会改变偏好l期限偏好理论以实际的风险补偿观念为基础，即投资者为预期的额外收益而承担额外的风险。在接受市场分隔理论和纯预期理论部分观点的同时，也剔除了二者极端的观点。该理论能较近似地解释现实世界的现象。传统利率期限结构理论的比较纯预期理论流动性偏好理论市场分割理论期限偏好理论长、短期利率替代性完全替代不完全替代完

12、全不替代部分替代收益率曲线向上倾斜的原因未来短期利率上升也许利率上升，也许风险补偿加大长期资金融资需求较强，或者投资需求弱长期资金融资需求较强，或者长期投资的偏好转移到短期投资解释收益率曲线变化的能力强较弱较强较强利差分析l 绝对利差、相对利差、收益率比率均是与基准收益率比较l 市场间利差与市场内利差不同子市场间VS子市场不同品种l 信用利差因信用风险或违约风险引起的利差l 税后收益率与等税收益率税前收益率(1-边际税率) VS免税收益率/(1-边际税率)l 静态利差又称零利差，即波动率为零的利差l 选择权调整后利差利用模型计算的含权债券价值与其市场价格相等时的收益率之差利差的影响因素及与利差

13、的关系因素因素相关性相关性释义释义违约风险违约风险违约风险越大，利差就会越大。如AAA债券相对于国债的利差，一定会小于AA债券相对于国债的利差流动性流动性流动性越强，利差就会越小。由于刚刚发行的债券的流动性最强，而已经发行的债券的流动性降低，因此，已发行债券相对于刚刚发行的债券就会有利差。假定公司债券与国债的违约风险相同，但由于公司债券的流动性不如国债，因此，公司债券相对于国债而言，也会有利差。税收待遇税收待遇税收待遇越低，利差会越大，因为投资者关心的是扣除税收之后的收益率市场利率市场利率一般情况下，市场利率水平较高，绝对利差就会加大。而市场利率处于低位时时，绝对利差就会比较低。此时，相对利差

14、的概念就会说明一定的问题偿还期限偿还期限在一般情况下，到期收益曲线向右上方倾斜，因此，债券的偿还期越长，到期收益率越高，利差就会越大。第二节第二节 利率期限结构与折现方程利率期限结构与折现方程 l 折现因子折现因子/折现方程折现方程l 折现因子的计算折现因子的计算 函数估计法函数估计法 线性插值法线性插值法 样条函数法样条函数法 迭代法迭代法(Bootstrapping) 统计方法统计方法折现因子折现因子l 定义定义折现因子表示未来某一特定时点的折现因子表示未来某一特定时点的1元钱元钱,相当于期初相当于期初（或（或0时点）的价值，一般用时点）的价值，一般用 表示表示。通常通常 用年来表示用年来

15、表示 （例如，例如， 3个月为个月为 0.25, 10 天为天为 10/365 = 0.0274）。）。用用 表示期限为表示期限为 的到期收益率（或年有效收益率），的到期收益率（或年有效收益率），则有：则有：tdtytt11tttdy到期收益率与折现因子到期收益率与折现因子 图 给定的到期收益率曲线及对应折现因子随到期期限变化的趋势折现因子折现因子l 即期收益率可以用来给风险和税收状况相似的现金流量定价即期收益率可以用来给风险和税收状况相似的现金流量定价 l 利用折现因子计算利用折现因子计算l 应用应用 债券的复制和套利中易于识别定价的相对高低nnnrCrCrCP)1 ()1 ()1 (222

16、111tnttCdP1折现因子的求取-函数估计法l 假定折现曲线具有某种函数形式，然后根据折现因子的数据，估计出函数的参数。例如，假定折现曲线为三次多项式，即：l 这类函数必须满足一个常识性的条件，即l 例：例：假设市场上有四种零息债券，期限分别为1年、3年、4年、6年，即期利率分别为4.5056%、4.8377%、4.9927%、5.2807%，则其对应的折现因子分别0.9569、0.8679、0.8229、0.7344。若市场上有一只期限为5年的附息债券，票面利率为5%，面值为100元，每年付息1次，那么该债券定价多少比较合理？231tdatbtct 01d 折现因子的求取-函数估计法折现

17、因子的求取-线性插值法l 例例 假设市场上有6只债券在进行交易，这6只债券的基本信息如表5.10所示。假设市场上债券的票面利息为半年支付1次，试分别利用连续复利、复利和单利计算不同到期期限时点上的即期利率。债券本金(元)到期期限(年)年息票(元)债券价格(元)1000.25097.51000.50094.51001.00090.01001.50896.01002.0012101.61002.751099.8若为复利计息l 债券价格与即期利率关系l 所以：0.250.250.500.50110.511.50.511.50.511.520.511.5297.5100194.9100190.0100

18、196.041411041101.66161611061rrrrrrrrrr40.2520.50110.511.50.511.50.511.520.511.521001 0.1065767497.51001 0.11036963194.91001 0.111111190.096.0 41411041101.6 6161611061rrrrrrrrrr 若为复利计息l 债券价格与即期利率关系l 线性插值0.2511.250.250.751.251.752.252.751.752.252.7599.851515151511051rrrrrr 0.750.511.2511.51.751.522.25

19、22.75/2/2/22/3/3rrrrrrrrrrrr0.75?r1.25?r1.75?r2.25?r2.75?r若为单利计息l 债券价格与即期利率关系l 所以：10.2510.5011111.50.511.5111.520.511.5297.510010.2594.910010.5090.01001196.0410.54111041101.6610.5611611061rrrrrrrrrr 0.250.501111.50.511.5111.520.511.5210010.250.1025647497.510010.50.1074815694.91001 0.111111190.096.04

20、1 0.5411041101.661 0.561611061rrrrrrrrrr 若为单利计息l 债券价格与即期利率关系l 线性插值111.250.250.751.251.752.252.751.752.252.7599.851 0.25515151511051rrrrrr 0.750.511.2511.51.751.522.2522.75/2/2/22/3/3rrrrrrrrrrrr0.75?r1.25?r1.75?r2.25?r2.75?r折现因子的求取-样条函数法l 多项式样条法l 指数样条法 多项式样条法由McCulloch提出，它的主要思想是将贴现函数用分段的多项式函数来表示。在实际

21、应用中，多项式样条函数的阶数一般取为3，从而保证贴现函数及其一阶和二阶导数都是连续的。期限为 的贴现函数 可表示为： 其中 , 是样条函数的节点2300000231111232222( ),0, ( )( ), ,( ), ,20nmB tdc tb ta t tnB tB tdctbtat tn mBtdc tb ta t tm( )B ttnm折现因子的求取-自助法自助法l 当零息债券无法得到，或者这些债券的流动性特别差，致使到期收益率难以成为其他债券的定价标准时，使用迭代法得到到期收益率曲线是最常用的方法。l 迭代法是把附息债券转化为各期现金流，把各个现金流看成是不同期限的债券，并需要确

22、定一个最短期限的收益率，然后以此最短收益率为基础，对不同时间间隔的时间点开始进行迭代，最后推出所有时点的收益率。该种方法一般分为两步： 第一，搜集关于6个月、12个月、18个月等债券价格与票面利率的信息； 第二步，计算到期收益率，期限从最短到最长。折现因子的求取-自助法自助法l 例：例：假设市场上有四只附息债券A、B、C、D，距离到期的期限分别为6个月、12个月、18个月和24个月，面值均为100元且均为半年付息一次，相关债券的价格及票面利率如下表所示，请计算半年期的到期收益率。到期时间（月）票面利率）价格（元）A65%98.24B125.8%100.05C186.5%99.53D247.5%

23、102.86折现因子的求取-自助法自助法l 解答：l 可得：1121231234102.5 98.242.9102.9 100.053.253.25103.25 99.533.753.753.75103.75102.86102.5 dddddddddd1122340.9584 0 0 098.240 2.9 102.9 0 0100.053.25 3.25 103.25 099.533.75 3.75 3.75 103.75 102.86dddddd34.94530.90400.8899dd20.511221321.532421117.72%,21111.57%21113.91%,21112.01%rdrdrdrd第三节 利率期限结构模型l利率波动的一般模型lHo-Lee模型l所罗门兄弟模型lBDT模型lVasicek模型利率波动的一般模型l 最简单情况下的利