(完整版)高一：零点问题的解题方法

1、1课题谈函数与方程(零点问题)的解题方法解题技能篇从近几年高考试题看， 函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想.知旧襦窿(1) 函数零点的定义对于函数 y= f(x) (x D)，把使 f(x)= 0 成立的实数 x 叫做函数 尸 f(x) (x D)的零点.(2) 零点存在性定理(函数零点的判定)若函数 y= f(x)在闭区间a, b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a) f(b)v0,则在区间(a, b)内，函数 y= f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x) = 0 在区

2、间(a, b)内至少有一个实数解.也可以说：如果函数y= f(x)在区间a, b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) f(b)v0,那么，函数 y= f(x)在区间(a, b)内有零点，即存在 c (a, b),使得 f(c) = 0,这个 c 也就是方程 f(x)= 0 的根.提醒此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数.(3) 几个等价关系函数 y= f(x)有零点？方程 f(x) = 0 有实数根？函数 y= f(x)的图象与函数 y= 0(即 x 轴)有交点.推广：函数 y= f(x)-g(x)有零点？方程 f(x) g(x)= 0 有实数根？函数 y= f(x)-g(x

3、)的图象与 y= 0(即 x 轴)有交点.推广的变形：函数y= f(x) - g(x)有零点？方程 f(x) = g(x)有实数根？函数 y= f(x)的图象与 y= g(x)有交点.问制禺考1 .函数的零点是函数y = f(x)与 x 轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y= f(x)与 x 轴的交点，而是 y= f(x)与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x) = 0 有根的函数 y= f(x)才有零点.2.若函数 y= f(x)在区间(a, b)内有零点，一定有 f(a) f(b)0 .23.若函数 y=

4、 f(x)在区间(a, b)内，有 f(a) f(b)0)的图象与零点的关系=b2-4ac0=0V0二次函数 r /1y= ax2+ bx+ cV 7(a 0)的图象rar与 x 轴的交点（X1, 0） , （x2, 0）（X1, 0）无交点零点个数210对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有：1 函数零点的求解与所在区间的判断；2判断函数零点个数；3利用函数的零点求解参数及取值范围.冏倒刮斫考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1 (2015 温州十校联考)设 f(x)= In x+ x-2,则函数 f(x)的零点所在的区

5、间为()A (0, 1)B. (1, 2)C (2, 3)D. (3, 4)【解析】法一：/ f(1)=In 1+1-2=-1v0,f(2)=In 20,Af(1) f(2)v0,v函数 f(x)=In x+x-2的图象是连续的，A函数 f(x)的零点所在的区间是(1, 2) 法二：函数 f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)= ln x, h(x)= x+ 2 图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知 f(x)的零点所在的区间为(1, 2) 【答案】B2 (2015 西安五校联考)函数 y= ln(x+ 1)与 y=1的图象交点的横坐标所在区间为()xA (0, 1)B (1, 2)C

6、 (2, 3)D. (3, 4)411【解析】函数 y= ln(x+ 1)与 y= 一的图象交点的横坐标，即为函数 f(x) = ln(x+ 1)-的零点，/ f(x)在(0,xx1+s上为增函数，且 f(1) = In 2 1v0, f(2) = In 3 q 0,.f(x)的零点所在区间为(1, 2).【答案】B3 .函数 f(x) = 3x 7 + In x 的零点位于区间(n, n + 1)(n N)内，贝Un=_.【解析】求函数 f(x)= 3x 7+ In x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如 f(2) = 1 + In 2 ,由于 In 2vIn e = 1，所以

7、f(2)v0, f(3) = 2+ In 3，由于 In 3 1,所以 f(3) 0，所以函数 f(x)的零点位于区间(2, 3)内，故 n= 2.【答案】24. (2015 长沙模拟)若 avbvc,则函数 f(x)= (x a)(x b)+ (x b)(x c) + (x c)(x a)的两个零点分别位于区间()A . (a, b)和(b, c)内B.( g,a)和(a,b)内C. (b, c)和(c,+ )内D.( g,a)和(c,+g)内【解析】本题考查零点的存在性定理.依题意得f(a)=(ab)(ac)0,f(b)=(bc)(ba)v0,f(c)=(c b)(c a) 0,因此由零点

8、的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a, b)和(b, c)内.【答案】A5. (2014 高考湖北卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时，f(x)= x2 3x,则函数 g(x) = f(x) x+ 3 的零点的集合为()A . 1 , 3B. 3, 1, 1, 3C. 2 .；7, 1, 3D. 2 7, 1, 3【解析】令 xv0,则一 x0,所以 f(x) = f( x)= ( x)2 3( x) = x2 3x.求函数 g(x)= f(x) x+ 3 的零点等价于求方程f(x) = 3 + x 的解.当 x 0 时，x2 3x= 3+x,解得 X1= 3, X2

9、= 1;当 xv0 时，x2 3x = 3 + x,解得 X3= 2 7.【答案】D=方花技15= = =确定函数 f(x)零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x) = 0 易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上.利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y= f(x)在区间a,b上的图象是否连续，再看是否有 f(a) f(b)v0.若有，则函数 y= f(x)在区间(a, b)内必有零点.(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断.5讲练结呂1 .已知函数 f(x)= xlog2x,在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A . (0

10、, 1)B. (1 , 2)C. (2, 4)D. (4,+ )3i【解析】 因为 f(1) = 6- log2l = 6 0, f(2)= 3 log22= 2 0, f(4)=一 log24 =- 0，所以函数 f(x)的零点所在区间为(2, 4).【答案】C2.方程 Iog3x+ x= 3 的根所在的区间为()A . (0，1)B . (1，2)C. (2，3)D . (3，4)【解析】法一：方程 Iog3x+ x= 3 的根即是函数 f(x)= Iog3x+ x 3 的零点，由于 f(2) = Iog32+ 2 3 = Iog32-10 且函数 f(x)在(0, +)上为单调增函数.函

11、数 f(x)的零点即方程 Iog3x+ x= 3 的根所在区间为(2, 3).法二：方程 Iog3x+ x= 3 的根所在区间即是函数yi= Iog3x 与 y2= 3-x 交点横坐标所在区间，两函数图象如图所示由图知方程Iog3x + x= 3 的根所在区间为(2, 3).【答案】C3.(2015 武汉调研)设 ai,a2,a3均为正数，乃v ?20,61.已知函数 f(x)=满足 f(0) = 1，且 f(0) + 2f( 1) = 0,那么函数 g(x)= f(x) + x 的x2+ bx+ c, x0时，73ig(x) = 2x 2= 0 有唯一解 x = 1 ;当 x2,的零点个数为

12、B. 3D. 5分别画出函数 f(x), g(x)的草图，观察发现有2 个交点.【答案】4._ 若定义在 R上的偶函数f(x)满足f(x+ 2) = f(x),且当x 0 , 1时， f(x)= x,则函数y = f(x) Iog3|x|的零点个数是_.【解析】由题意知，f(x)是周期为 2 的偶函数.在同一坐标系内作出函数 y= f(x)及 y= Iog3|x|的图象,如下：观察图象可以发现它们有4 个交点，即函数 y= f(x) Iog3|x|有 4 个零点.【解析】D.4【解析】89【答案】4方花 15= = =判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令 f(x)= 0,如果能求出解，则有

13、几个解就有几个零点.零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a) f(b)v0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数， 其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.讲练纟舌呂1.(2015 淄博期末)函数 f(x) = x-In(x+ 1) 1 的零点个数是 _ .【解析】函数 f(x) = x In(x+ 1) 1 的零点个数，即为函数 y= In(x+ 1)与 y= x 1 图象的交点个

14、数.在 同一坐标系内分别作出函数y= In(x+ 1)与 y= x 1 的图象，如图，由图可知函数 f(x) = x In (x+ 1) 1 的零点个数是 2.【答案】2Ig x, x0,2.若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+ 2)= f(x)，且 x 1,1时，f(x) = 1 x2,函数 g(x)=-,x 0)有两个不等的实数根，贝 U 实数 a 的取值范围是()A . (0, 4)B. (4,+ )C.(0,2)D.(2,+s)【解析】 依题意，知方程 x2 a| = x 2 有两个不等的实数根，即函数y=x2 a|的图象与函数 y= x 2【答案】B1 ,3.已知函数 f(

15、x)= Iog2x 3x，若实数 X0是方程 f(x) = 0 的解，且 0X1 2【解析】在同一坐标系中作出f(x1)v0.12象有 10 个不同交点，在坐标系中作出函数f(x)在一个周期内的图象如图，可知当【答案】0, 15. (2015 湖北八校联考)已知 x R，符号x表示不超过 x 的最大整数，若函数 f(x)=凶a(x丰0)有且x仅有 3 个零点，则 a 的取值范围是()34433443A .4，5U3,2B. 4,5U3,21253125 3C.2，3U4,2D. 2,3U4 2【解析】 当 0vxv1 时，f(x)=严a= a;当 K xv2 时，f(x) =号a =1 a ;

16、当 21 ,1A 2，0B 2, 01C 2D. 01【解析】 当 x 1 时，由 f(x) = 1 + log2x= 0,解得 x= ,【解析】D2* 1, x 0,【解析】画出 f(x)=的图象，如图x22x,xw0由函数 g(x) = f(x) m 有 3 个零点，结合图象得：0vmv1，即 m (0, 1).【答案】(0, 1)2a,xw0,3.已知函数 f(x)=2有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 _ .x2 3ax+ a, x0【解析】要使函数 f(x)有三个不同的零点，则当xw0 时，方程 2x a= 0,即 2x= a 必有一根，此时 0vaw1；当 x0 时，方程

17、x2 3ax+ a= 0 有两个不等实根，即方程x2 3ax+ a = 0 有 2 个不等正实根，于= 9a2 4a 0,4 丄4是 3a0,/-a9,故 9vaw1.a 0,4【答案】4，1知识拓雇必记结论有关函数零点的结论又因为 x 1，所以此时方程无解综上，函数f(x)的零点只有 0.2 .已知函数2x1,x0,f(x)=x22x,xw0,若函数 g(x)= f(x) m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是15(1) 若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，贝 yf(x)至多有一个零点.(2) 连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3) 连续不断的函数图

18、象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.=勤no练司=1. (2015 高考安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A . y= cos xB. y= sin xC. y= In xD. y= x2+ 1【解析】y= cos x 是偶函数，且存在零点； y= sin x 是奇函数；y= In x 既不是奇函数又不是偶函数；y=x2+ 1 是偶函数，但不存在零点.【答案】A22.函数 f(x) = 2x- a的一个零点在区间(1, 2)内，则实数 a 的取值范围是()xA . (1 , 3)B. (1, 2)C. (0, 3)D. (0, 2)【解析】 由题意知 f(1) f(2)v

19、0,即 a(a 3)v0,.0vav3.【答案】C13.(2016 东城期末)函数 f(x) = ex+ x 2 的零点所在的区间是()B.，1D.(2, 3)17731【解析】Tf 2 40,.零点在区间 2，1 上.【答案】B4.(2014 昆明三中、玉溪一中统考)若函数 f(x) = 3ax+ 1 2a 在区间(1, 1)内存在一个零点，则a 的取值范围是()11, 1)内是单调函数，所以f( 1) f(1)v0,即(5a 1)(a+ 1)0,解得 av1 或 a5【答案】B5. f(x)是 R 上的偶函数，f(x + 2) = f(x)，当 0 xw1 时，f(x)= x2,则函数 y

20、= f(x) |log5x|的零点个数为 ( )A . 4B . 5C. 8D . 10【解析】由零点的定义可得 f(x) = |log5x|，两个函数图象如图，总共有5 个交点，所以共有 5 个零点.C. (1 , 2)1611A.-,+m5B.( m,1)U ,+5C11C.,5D.( m,1)【解析】当 a= 0 时，f(x)= 1 与 x 轴无交点，不合题意，所以0;函数 f(x)= 3ax+ 1 2a 在区间(【答案】B6.(2014 开封模拟)偶函数 f(x)满足 f(x 1) = f(x+ 1)，且当 x 0 , 1时，f(x) = - x + 1,则关于 x 的方程 f(x)

21、= lg(x+ 1)在 x 0 , 9上解的个数是()A . 7B . 8C . 9D . 10【解析】 依题意得 f(x+ 2) = f(x)，所以函数 f(x)是以 2 为周期的函数在平面直角坐标系中画出函数y=f(x)的图象与 y= lg(x+ 1)的图象(如图所示),1yWWKT7L 231 567S91Q *观察图象可知，这两个函数的图像在区间0, 9上的公共点共有 9 个，因此，当 x0 , 9时，方程 f(x) =lg(x+1)的解的个数是 9.【答案】C7.(2014 南宁模拟)已知函数 f(x)= In x+ 3x 8 的零点 X0 a, b，且 b a= 1, a, b N

22、*，贝 V a+ b=【解析】-1(2) = ln 2 + 6 8= ln 2 20，且函数 f(x) = ln x+ 3x 8 在(0,+s)上为增函数， X0 2 , 3 ,即卩 a= 2, b= 3.：a + b = 5.【答案】58._ 已知函数 y= f(x) (x R)满足 f( x + 2) = f( x)，当 x 1, 1时，f(x)=|x|,则 y=f(x)与 y= Iog7x 的交点的个数为 .【解析】因为 f( x+ 2)= f( x)，所以 y= f(x)为周期函数，其周期为2.在同一直角坐标系中，画出函数 y= f(x)和 y= log7x 的图象如图，or5710X

23、当 x = 7 时，f(7) = 1, log77= 1,故 y= f(x)与 y = log7x 共有 6 个交点.17【答案】69.若函数 y = f(x)(x R)满足 f(x+ 2) = f(x)且 x 1, 1时，f(x)= 1 x2；函数 g(x) = lg|x|,则函数 y=f(x)与 y= g(x)的图象在区间5, 5内的交点个数共有 _个.【解析】函数 y= f(x)以 2 为周期，y = g(x)是偶函数，画出图象可知有8 个交点.y1-5 -4 -3 -2-心12345 i【答案】8X3,xWa,10.(2015 高考湖南卷)已知函数 f(x) =2若存在实数 b,使函数

24、 g(x)= f(x) b 有两个零点，x2 3，x a.则 a 的取值范围是_ .【解析】令 *) = x3(xa),函数 g(x)= f(x) b 有两个零点，即函数 y = f(x)的图象与直线 y= b 有两个交点，结合图象(图略)可得 av0 或(a) h(a),即 av0 或 a3a2,解得 av0 或 a 1，故 a (汽 0)U(1, + a).【答案】(30)U(1,+ )能力原示1. (2014 高考山东卷)已知函数 f(x)= |x 2|+ 1, g(x)= kx.若方程 f(x) = g(x)有两个不相等的实根，则 实数 k 的取值范围是()1 1 ,A.0,2B.2,

25、1C.(1,2)D.(2,+a)【解析】先作出函数 f(x) = |x 2|+ 1 的图象，如图所示，72相等的实根时，k 的范围为 2 1 .【答案】B2.若函数 f(x) = ax x a(a0 且 a 1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是()1A.(2,+a) B.0,2C.(1,+a) D.(0,1)【解析】函数 f(x)= axx a(a 0 且 a丰1)有两个零点，就是函数 y= ax(a 0 且 a 工 1)与函数 y = x+ a(a0 且 a 工 1)的图象有两个交点，由图1 知，当 0vav1 时，两函数的图象只有一个交点，不符合题意；由图 2 知，当 a 1 时，因为

26、函数 y= ax(a 1)的图象与 y 轴交于点(0, 1)，而直线 y= x+ a 与 y 轴的交点一定 在点(0, 1)的上方，所以两函数的图象一定有两个交点，所以实数a 的取值范围是 a 1.187、L.Ji-rJ I-*- *- A624一 1当直线 g(x) = kx 与直线 AB 平行时斜率为 1,当直线 g(x) = kx 过 A 点时斜率为,故 f(x) = g(x)有两个不19【答案】C【答案】D14.已知函数 f(x)满足 f(x) + 1 =，当 x0, 1时，f(x)= x,若在区间(一1,1内，函数 g(x) = f(x)f x+ 1mx m 有两个零点，则实数 m

27、的取值范围是()于方程 f(x)= m(x + 1)在区间(1, 1内有两个根，令 y = m(x + 1)，在同一坐标系中画出函数y= f(x)和 y=1B. 2，+C0,1D .0,【解析】当 x ( 1 , 0时，x+ 1 (0, 1.因为函数 f(x) + 1x1 = 即 f(x) =x+ 1Xx+ 1x1 , 0,函数 g(x) = f(x) mx m 在区间(一 1, 1内有两个零点等价x, x 0, 1.3. (2015 高考天津卷)已知函数 f(x)=2- |x|, x2,函数 g(x)= b-f(2 x),其中 b R.若函数 y=f(x) g(x)恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是(