2020-2021学年贵州省贵阳市高一（上）期末数学试卷

1、2020-2021学年贵州省贵阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填在答题卷的相应位置上） 1. 已知集合A1,0,1，B1,2,3,4，则AB（ ） A.1,0,1B.0,1C.1D.0,1 2. 圆心角弧度数和半径均为2的扇形的弧长为（ ） A.1B.2C.4D.8 3. 已知向量，且，是共线向量，则实数的值为（ ） A.4B.C.D.0 4. 化简sinx+cosx（ ） A.B.C.D. 5. 设函数f(x)，则f(10)（ ） A.0B

2、.2662C.1D.210102 6. 设为锐角，且，则tan（ ） A.B.C.D.1 7. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(,0)上单调递减的是（ ） A.yexB.ycosxC.ysinxD.yx2 8. 函数f(x)=ln(x1)的定义域是（ ） A.(1,+)B.(2,+)C.2,+)D.(1,2) 9. 设a1.30.9，blog0.70.8，clog1.30.9，则a，b，c的大小关系是（ ） A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a 10. 设函数f(x)cos2

3、xsin2x+2cosxsinx，下列说法中，错误的是（ ） A.f(x)的最小值为B.f(x)在区间上单调递增C.函数yf(x)的图象可由函数的图象先向左平移个单位，再将横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）而得到D.将函数yf(x)的图象向左平移个单位，所得函数的图象关于y轴对称二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上）  若点在幂函数yf(x)的图象上，则f(4)_   计算2lg+lg50_   设非零向量a，b满足(ab)a，|b|2|a|，则a与b的夹角为_   sin+sin+sin+sin+

4、sin+sin2_sin+sin+sin+sin_   以下条件，a>b>1：b>a>1；1>a>b>0；1>b>a>0；a>1，1>b>0：b>1，1>a>0能够使得：loga2<logb2(a>0,a1,b>0,b1)成立的有_ 三、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）  在平面直角坐标系中，已知角，的顶点都在坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，角的终边上有一点A，坐标为(1,1) （1）求sin2的值； （

5、2）若角满足下列三个条件之一锐角满足tan2：锐角的终边在直线y2x上；角的终边与的终边相同请从上述三个条件中任选一个，你的选择是_求cos()的值  设函数yf(x)为定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)2x （1）求函数yf(x)(x<0)的解析式，并作出函数yf(x)的大致图象； （2）判断函数g(x)f(x)x2的零点个数（可结合图象判断）  三角形ABC中，D为BC上一点，BD2DC，设，可以用，来表示出，方法如下：方法一：， ， 方法二：， ， 方法三：如图所示，过点D作AC的平行线，交AB于点E，过点D作AB的平行线，交AC于点F，则四边形AEDF为平

6、行四边形 DF/AB且BD2DC， ，FDAEAB ED/AC，BD2DC ，得EDAFAC 请参照上述方法之一（用其他方法也可），解决下列问题： （1）三角形ABC中，D为BC的中点，设，试用，表示出； （2）设D为直线BC上任意一点（除B、C两点），点A为直线BC外任意一点，AB，证明：存在唯一实数对，使得：，且+1  某市为了方便市民出行，缓解交通压力，引进甲、乙两家电动自行车营运商，在市政规定路段投放大量电动自行车供市民出行选择使用，两家收费标准分别如下：甲：每骑行一次，需交基本使用费2元，骑行时间不超过40分钟的，每分钟收费0.05元，超出40分钟的，超出部分按每分钟0.0

7、55元收费（如：某人骑行1小时，则其应付费用为2+40×0.05+(6040)×0.0555.1元）乙：不收取基本费，按实际骑行时间收费，每分钟收费0.08元 （1）写出选择骑行营运商甲的电动自行车的收费y与骑行时间t（单位：分钟）的函数解析式； （2）若某市民骑行营运商甲的电动自行车一次，花费7.3元，求该市民骑行的时间； （3）该市民的骑行时间t满足何条件时，选择甲营运商比乙营运商更划算四、阅读与探究（本大题1个小题，共8分解答应写出文字说明，条理清晰）  定义函数f(x)cos(sinx)为“正余弦”函数结合学过的相关知识，我们可以得到该函数的性质：1我们知

8、道，正弦函数ysinx和余弦函数ycosx的定义域均为R，故函数f(x)cos(sinx)的定义域为R2我们知道，正弦函数ysinx为奇函数，余弦函数ycosx为偶函数，对f(x)cos(sinx)，f(x)cossin(x)cos(sinx)cos(sinx)f(x)，可得：函数f(x)cos(sinx)为偶函数3我们知道，正弦函数ysinx和余弦函数ycosx的最小正周期均为2，对f(x)cos(sinx)，f(x+2)cossin(x+2)cos(sinx)f(x)，可知2为该函数的周期，是否是最小正周期呢？我们继续探究：f(x+)cossin(x+)cos(sinx)cos(sinx)

9、f(x)可得：也为函数f(x)cos(sinx)的周期但是否为该函数的最小正周期呢？我们来研究f(x)cos(sinx)在区间0,上的单调性，在区间0,上，余弦函数ycosx单调递减，正弦函数ysinx在上单调递增，在上单调递减，故我们需要分这两个区间来讨论当时，设，因正弦函数ysinx在上单调递增，故sinx1<sinx2，令t1sinx1，t2sinx2，可得0t1<t21<，而在区间0,上，余弦函数ycosx单调递减，故：cost1>cost2即：cos(sinx1)>cos(sinx2)从而，时，函数f(x)cos(sinx)单调递减同理可证，时，函数f(

10、x)cos(sinx)单调递增可得，函数f(x)cos(sinx)在上单调递减，在上单调递增结合f(x+)f(x)可以确定：f(x)cos(sinx)的最小正周期为这样，我们可以求出该函数的值域了：显然：，而f(0)1f()故f(x)cos(sinx)的值域为cos1,1定义函数f(x)sin(cosx)为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： （1）求该函数的定义域； （2）判断该函数的奇偶性； （3）探究该函数的单调性及最小正周期，并求其值域参考答案与试题解析2020-2021学年贵州省贵阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分每小题有四个选

11、项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填在答题卷的相应位置上）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】进行交集的运算即可【解答】A1,0,6，2，3，7， AB12.【答案】C【考点】弧长公式【解析】利用弧长公式计算即可得出【解答】根据弧长公式得，lr2×263.【答案】B【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】利用向量共线的性质直接求解【解答】 向量，且，是共线向量， ，解得-4.【答案】A【考点】两角和与差的三角函数【解析】直接利用辅助角公式进行化简即可求解【解答】sinx+cosx2sin(x+）5.【答案】A【考点】求函数的值函数的求值【解析】判断x10该选用

12、哪一段解析式，然后直接利用解析式求解即可【解答】因为函数f(x)，则f(10)f(4)242206.【答案】B【考点】运用诱导公式化简求值【解析】利用诱导公式化简三角函数式，求得的值，可得tan的值【解答】 为锐角，且cos，则tan，7.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】由基本初等函数的单调性与奇偶性逐一判断即可【解答】对于A，yex为非奇非偶函数，不符合题意；对于B，ycosx为偶函数，0)上不单调；对于C，ysinx为奇函数；对于D，yx2为偶函数，且在区间(，符合题意8.【答案】C【考点】对数函数的定义域【解析】根据函数成立的条件，建立不等式即可得到结论【解答】解：要使函数

13、有意义，则ln(x1)0，即x11， x2，即函数的定义域为2,+)，故选：C9.【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解【解答】 1.33.9>1.701， a>5， log0.76<log0.72.8<log0.70.76， 0<b<1， log6.30.2<log1.380， c<0， c<b<a，10.【答案】A【考点】两角和与差的三角函数命题的真假判断与应用【解析】直接利用三角函数的关系式的变换求出函数为正弦型函数，进一步利用函数的性质和函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用判断A、B、C、D

14、的结论【解答】函数f(x)cos2xsin2x+8cosxsinxcos2x+sin2x对于A：当(kZ)时，故A正确；对于B：当x时，所以函数在该区间上单调递增；对于C：函数的图象先向左平移，得到y，再将横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）而得到y；对于D：函数yf(x)的图象向左平移个单位，所得函数的关系式为g(x)，函数的图象不关于y轴对称；二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上）【答案】2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】由已知求出f(x)的解析式，由此能求出f(4)【解答】 点(2，）在幂函数yf(x)xa的图象上，

15、 4a，解得a， f(x)，f(4)2【答案】2【考点】对数的运算性质【解析】利用对数的运算性质求解【解答】原式lg2+lg50lg1002【答案】4【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】根据题意，设a与b的夹角为，设|a|=t，则|b|=2t，由向量垂直与数量积的关系可得a(ab)=a2ab=t22t2cos=0，变形可得cos的值，结合的范围分析可得答案【解答】根据题意，设向量a与b的夹角为，又由|b|2|a|，设|a|=t0，则|b|=2t，又由(ab)a，则a(ab)=a2ab=t22t2cos=0，变形可得：cos=22；又由0，则=4；【答案】0,【考点】运用诱导公式化简求值【解

16、析】由题意利用特殊角的正弦值，函数的周期性，计算求得结果【解答】sin+sin+sin+5-，由于函数ysinx是以7为周期的周期函数，要求的式子 sin+sin共有2020项，故要求式子的值为 336×0+( +0 ，【答案】【考点】不等式的基本性质【解析】由对数函数的单调性与性质逐一判断即可【解答】对于，a>b>12a>log4b>0，所以<a6<logb2，故满足题意；对于，b>a>12b>log2a>0，所以<b2<loga2，故不满足题意；对于，2>a>b>

17、;02a>log7b，所以<a2<logb4，故满足题意；对于，1>b>a>02b>log2a，所以<b6<loga2，故不满足题意；对于，a>1，所以loga8>0，logb2<7，故loga2>logb2，故不满足题意；对于，b>4，所以logb2>0，loga8<0，故loga2<logb5，故满足题意故能够使得：loga2<logb2(a>4,a1,b1)成立的有三、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【答案】已知角始边与x轴

18、非负半轴重合，顶点与原点重合，坐标为(1，则sin-，可得sin22sincos7×；若选，锐角满足tan，可得sin2+cos5(2cos)2+cos55cos26，解得cos，可得cos()coscos+sinsin+（-；若选，锐角的终边在直线y8x上，由可得cos()-；若选，角的终边与，可得sinsinsin(673+-，coscoscos(673+-，可得cos()coscos+sinsin×(）×(【考点】二倍角的三角函数任意角的三角函数【解析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin，cos的值，利用二倍角公式即可求解sin2的值（2）若

19、选，由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos，sin的值，根据两角差的余弦公式即可计算求解cos()的值；若选，由题意可求tan2，由即可求解；若选，利用诱导公式，特殊角的三角函数值可求sin，cos的值，进而根据两角差的余弦公式即可计算得解cos()的值【解答】已知角始边与x轴非负半轴重合，顶点与原点重合，坐标为(1，则sin-，可得sin22sincos7×；若选，锐角满足tan，可得sin2+cos5(2cos)2+cos55cos26，解得cos，可得cos()coscos+sinsin+（-；若选，锐角的终边在直线y8x上，由可得cos()-；若选，角的终边与，可得sin

20、sinsin(673+-，coscoscos(673+-，可得cos()coscos+sinsin×(）×(【答案】函数g(x)f(x)x7的零点个数等价于yx2与yf(x)图象交点的个数，如图可得交点的个数为4个，即g(±0，所以函数g(x)f(x)x2的零点个数为4个，分别为x±2【考点】函数解析式的求解及常用方法函数的零点与方程根的关系【解析】（1）设x<0，可得f(x)2x，再由偶函数的定义即可得到答案；（2）将问题转化为yf(x)与yx2图象交点的个数，作出图象即可判断【解答】（1）设x<0，则x>0x，由函数yf(x)为定义

21、在R上的偶函数，则f(x)f(x)4x，所以x<0时，f(x)2x，作出函数图象【答案】因为，所以；证明：如图所示，则，所以，取，故+3且唯一，所以存在唯一实数对，使得：【考点】平面向量的基本定理【解析】（1）利用向量的加法和减法的三角形法则进行分析求解，即可得到答案；（2）利用，可得到，然后将用表示，分析所得表达式即可证明【解答】因为，所以；证明：如图所示，则，所以，取，故+3且唯一，所以存在唯一实数对，使得：【答案】根据题意可得，当0<t40时，y2+7.05t，当t>40时，y2+0.05×40+(t40)×6.0550.055t+1.4 y； 0&

22、lt;t40时，y2+6.05t，此时ymax2+0.05×407元，故该市民花费7.3元时，其骑行时间一定超过40分钟，令4.055t+1.84.3，解得t100（分钟），故该市民骑行的时间为100分钟；设骑行乙营运商的电动车费用y1，则由题意知，y80.08t(t>0)，令f(t)yy5，则f(t)当5<t40时，f(t)20.03t单调递减， f(t)minf(40)5.8>0，故当8<t40时，甲的费用大于乙的费用，当t>40时，f(t)1.86.025t，解得t>72故当骑行时间大于72分钟时，甲的费用小于乙的费用【考点】根据实际问题选择

23、函数类型【解析】（1）根据题意直接写出函数解析式；（2）先通过分析得到该市民花费7.3元时其骑行时间一定超过40分钟，再令y7.3，代入解出即可；（3）先求出骑行乙营运商的电动车费用y1，令f(t)yy1，通过分析，令f(t)<0，解出即可【解答】根据题意可得，当0<t40时，y2+7.05t，当t>40时，y2+0.05×40+(t40)×6.0550.055t+1.4 y； 0<t40时，y2+6.05t，此时ymax2+0.05×407元，故该市民花费7.3元时，其骑行时间一定超过40分钟，令4.055t+1.84.3，解得t100（分钟），故该市民骑行的时间为100分钟；设骑行乙营运商的电动车费用y1，则由题意知，y80.08t(t>0)，令f(t)yy5，则f(t)当5<t40时，f(t)20.03t单调递减， f(t)minf(40)5.8>0，故当8<t40时，甲的费用大于乙的费用，当t>40时，f(t)1.86.025t，解得t&