高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条1

1、椭圆与双曲线的对偶性质-（必背的经典结论）高三数学备课组椭 圆1. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.2. 若在椭圆外 ，则过po作椭圆的两条切线切点为p1、p2，则切点弦p1p2的直线方程是.3. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为f1，f 2，点p为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.4. 椭圆（ab0）的焦半径公式：,( , ).5. ab是椭圆的不平行于对称轴的弦，m为ab的中点，则，即。(点差法)双曲线1. 若在双曲线（a0,b0）上，则过的双曲线的切线方程是.2. 若在双曲线（a0,b0）外 ，则过po作双曲线的两条切线切点为p1、p2，则切点弦p1p2的直线方程是.3. 双

2、曲线（a0,bo）的左右焦点分别为f1，f 2，点p为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.4. 双曲线（a0,bo）的焦半径公式：( , 当在右支上时，,.当在左支上时，,5. ab是双曲线（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，m为ab的中点，则，即。椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）高三数学备课组椭 圆1. 过椭圆 (a0, b0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于b,c两点，则直线bc有定向且（常数）.2. 已知椭圆（ab0），o为坐标原点，p、q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|op|2+|oq|2的最大值为;（3）的最小值是.3. 已知椭圆（ ab0）,a、

3、b、是椭圆上的两点，线段ab的垂直平分线与x轴相交于点, 则.4. 设p点是椭圆（ ab0）上异于长轴端点的任一点,f1、f2为其焦点记，则(1).(2) .抛物线的几个常见结论及其应用抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。结论一：若ab是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，则：，。例：已知直线ab是过抛物线焦点f，求证：为定值。结论二：（1）若ab是抛物线的焦点弦，且直线ab的倾斜角为，则（0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。例：已知过抛物线的焦点的弦ab长为12，则直线ab倾斜角为 。a

4、b倾斜角为或。bamnqpyxof结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 （2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。例：已知ab是抛物线的过焦点f的弦，求证：（1）以ab为直径的圆与抛物线的准线相切。(2)分别过a、b做准线的垂线，垂足为m、n，求证：以mn为直径的圆与直线ab相切。结论四：若抛物线方程为，过（，0）的直线与之交于a、b两点，则oaob。反之也成立。结论五：对于抛物线，其参数方程为设抛物线上动点坐标为，为抛物线的顶点，显然，即的几何意义为过抛物线顶点的动弦的斜率例直线与抛物线相交于原点和点，为抛物线上一点，和垂直，且线段

5、长为，求的值解析：设点分别为，则，的坐标分别为练习：1.过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点，若线段与的长分别是，则= 故】2.设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于两点点在抛物线的准线上，且轴证明直线经过原点【证明：抛物线焦点为设直线的方程为，代入抛物线方程，得若设，则轴，且点在准线；又由，得，故，即直线经过原点】3.已知抛物线的焦点是，准线方程是，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程【解：设是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义得整理，得，此即为所求抛物线的方程抛物线的对称轴应是过焦点且与准线垂直的直线，因此有对称轴方程设对称轴与准线的交点为，可求得，于是线段的中点就是抛物线的顶点，坐标

6、是】备选1.抛物线的顶点坐标是，准线的方程是，试求该抛物线的焦点坐标和方程解：依题意，抛物线的对称轴方程为设对称轴和准线的交点是，可以求得设焦点为，则的中点是，故得焦点坐标为再设是抛物线上的任一点，根据抛物线的定义得，化简整理得，即为所求抛物线的方程例2 已知为抛物线上两点，且，求线段中点的轨迹方程解析：设，据的几何意义，可得设线段中点，则焦半径公式：若点是抛物线上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：，焦点弦长公式：过焦点弦长抛物线上的动点可设为p或或p已知抛物线，过焦点f的直线交抛物线于a、b两点，直线的倾斜角为，求证：。直线与抛物线的位置关系把直线的方程和抛物线的方程联立起来

7、得到一个方程组。（1） 方程组有一组解直线与抛物线相交或相切（一个公共点）；（2） 方程组有二组解直线与抛物线相交（2个公共点）（3） 方程组无解直线与抛物线相离。直线与抛物线相交形成的弦的有关问题。设线段ab为抛物线的弦，a、b的坐标为、，直线ab的斜率为k，弦ab的中点为m，则2.3.直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点。求证：， a,b是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，满足oaob(o为坐标原点),求证： (1)a,b两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线ab经过一个定点(3)作omab于m，求点m的轨迹方程双曲线设为双曲线的两个焦点，点p在双曲线上且满足，求的

8、面积。焦点三角形的面积：（，为虚半轴长）与共渐近线的双曲线方程（）与有相同焦点的双曲线方程（且）把直线的方程和双曲线的方程联立起来得到一个方程组。（4） 方程组有一组解直线与双曲线相交或相切（一个公共点）；（5） 方程组有二组解直线与抛物线相交（2个公共点，一支或两支）（6） 方程组无解直线与抛物线相离。直线与抛物线相交形成的弦的有关问题。设线段ab为抛物线的弦，a、b的坐标为、，直线ab的斜率为k，弦ab的中点为m，则弦ab所在直线的斜率为。椭圆1. ab是椭圆的不平行于对称轴的弦，m为ab的中点，则，即。2. 若在椭圆内，则被po所平分的中点弦的方程是.3. 若在椭圆内，则过po的弦中点的

9、轨迹方程是.点差法：相关点法：圆研究圆与直线的位置关系最常用的方法：判别式法；考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。直线与圆的位置关系有三种，若，则 ; ; .直线和圆相切：这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。过圆上一点的切线方程：圆为切点的切线方程是当点在圆外时，表示切点弦的方程。一般地，曲线为切点的切线方程是：。当点在圆外时，表示切点弦的方程。这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。5.经过两个圆交点的圆系方程：经过，的交点的圆系方程是：在

10、过两圆公共点的图象方程中，若=1，可得两圆公共弦所在的直线方程。6.经过直线与圆交点的圆系方程： 经过直线与圆的交点的圆系方程是：、圆的一般方程：，圆心为点，半径，其中.3、二元二次方程，表示圆的方程的充要条件是：项项的系数相同且不为0，即；没有xy项，即b=0；.5、点和圆位置关系的判定方法：当点m（x0，y0）在圆的内部时：（xa）2（yb）2<r2当点m（x0，y0）在圆上时：（xa）2（yb）2=r2当点m（x0，y0）在圆的外部时：（xa）2（yb）2>r2(2)应用:直线与圆相离: 求圆上的点到直线距离的最大值最小值直线与圆相切: 求切线方程、切线长、两切线的夹角直线与

11、圆相交: 弦长问题,中点弦问题a常见结论：1.与椭圆（a>b>0）共焦点的椭圆方程可设为：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为（m>0,n>0）2.与共渐近线的双曲线方程（）与有相同焦点的双曲线方程（且）3.抛物线：抛物线的通径为2p，焦准距为p,径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦若抛物线的焦点弦为ab，则，,若oa、ob是过抛物线顶点o的两条互相垂直的弦，则直线ab恒经过定点.b直线与曲线方程的位置关系：1.方法一是方程的观点，即把曲线方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式来讨论位置关系.(1)相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲

12、线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件(2)相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；(3)相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。【注：a.直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相

13、交,也只有一个交点；b.过双曲线1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：p点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线共四条；p点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；p在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；p为原点时不存在这样的直线；c.过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。】2方法二是几何的观点a.遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜

14、率k=；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=b.在求直线与曲线的相交弦的弦长时，要分开讨论：直线与圆相交充分运用垂径定理，即先求出圆心到直线的距离d和半径r解出弦长；而直线与其他曲线方程相交通过联立方程应用韦达定理来求解】若分别为a、b的纵坐标，则椭圆离心率的求法1. 椭圆方程的右焦点为,过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为60°，,求椭圆的离心率？（焦半径公式，的应用左加右减，弦长公式）2. 椭圆方程的右焦点为,其右准线与轴的交点为,在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点,则椭圆的离心率的范围？（焦准距的应用）3. 若一个椭圆长

15、轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是？（关于的二元二次方程解法）4. 已知是椭圆的一个焦点，是短轴上的一个端点，线段的延长线交于,且,则的离心率为？（相似三角形性质：对应边成比例 的应用）5. 过椭圆的左焦点,右顶点为,点在椭圆上，且轴，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率为？（相似三角形性质的应用）6. 过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦点，若，则椭圆的离心率为？（椭圆焦三角形面积）7. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率？（椭圆基本性质的应用）8. 椭圆的离心率为?（椭圆基本性质的应用）9. 椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点为，若，则该椭圆的离心率的取值

16、范围是？（椭圆基本性质的应用）10. 设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是？（焦准距；垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等；三角形性质：两边之和大于第三边 应用）11. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为？（通径，焦准距）12. 已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在点p使，则该椭圆的离心率的取值范围是？（正弦定理，第一定义）13. 在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为？（直线方程交点坐标

17、）14. 在中，.若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率为？（余弦定理，第一定义）15. 已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为？（通径）16. 已知椭圆的焦距为，以点为圆心，为半径作圆。若过点作圆的两条切线相互垂直，则该椭圆的离心率为？（基本性质）17. 已知分别是椭圆的左、右焦点，满足的点总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围是？（圆周角:圆直径所对的圆周角等于90°）18. 过椭圆左焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率为?（焦半径公式，弦长公式）19. 已知椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为？20. 椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为