2022届上海市各区高考数学一模试卷（含详细解析）共11份 （学生版+解析版）

®2022届上海市长宁区高考数学一模试卷（学生版+解析版）.docx

02022届上海市杨浦区高考数学一模试卷（学生版+解析版）.docx

®2022届上海市松江区高考数学一模试卷（学生版+解析版）.docx

西2022届上海市青浦区高考数学一模试卷（学生版+解析版）.docx

02022届上海市普陀区高考数学一模试卷（学生版+解析版）.docx

02022届上海市浦东新区高考数学一模试卷（学生版+解析版）.docx

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S2022届上海市黄浦区高考数学一模试卷（学生版+解析版）.docx

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2022届上海市长宁区高考数学一模试卷

一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1.（4分）已知集合A={x|xW2},B={1,3,5,7},则AAB=.

2.（4分）（2+x）4的二项展开式中，的系数为.

Qn_9n

3.（4分）lim―n--=________.

n—83，，+i-----------

4.（4分）若线性方程组的增广矩阵为J；：）,解为U；，则CIF=.

5.（4分）在直角坐标系xOy中，角a的始边为x轴正半轴，顶点为坐标原点.若角a的

终边经过点（-3,4）,则sin（a+ir）=.

6.（4分）3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个

展馆只需1位同学，则共有种不同的安排方法.

7.（5分）已知双曲线/一<=1的左、右焦点为为、F1,过乃的直线/与双曲线M的左、

右两支分别交于点A、B.若AABF2为等边三角形,则aAB上的边长为.

8.（5分）在复平面xOy内，复数zi、Z2所对应的点分别为Zi、Z2,对于下列四个式子：

①z：=|Zi『；

②|Z1・Z2|=|Z1|・|Z2|；

—>2—>

③0Z1=|%|2；

④成「0?2|=|。五||。云|.

其中恒成立的是（写出所有恒成立式子的序号）

11

9.（5分）设x、yCR,a>0,b>0,若ax=b>,=3,a+2b=2V6,则一+一的最大值为

10.（5分）已知公差不为0的等差数列｛〃“｝的前〃项和为S”若。4、S5、57e｛-10,0）,

则S”的最小值为.

II.（5分）已知点A、B在抛物线「：y2=4x±.,点M在「的准线上，线段AM、MB的中

点均在抛物线「上，设直线A8与y轴交于点N（0,〃）,则|〃|的最小值为.

12.（5分）设曲线C与函数=^x2（OWxWM的图像关于直线尸恁对称，若曲

线C仍为某函数的图像，则实数机的取值范围为.

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13.（5分）二<r是匕>1"的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分也非必要条件

14.（5分）给定一组数据15、17、14、10、12、17、17、16、14、12,设这组数据的平均

数为a,中位数为b,众数为c,则（）

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>c>a

15.（5分）已知平面a经过圆柱OOi的旋转轴，点A、8是在圆柱OOi的侧面上，但不在

平面a上，则下列4个命题中真命题的个数是（）

①总存在直线/,/ua且/与AB异面；

②总存在直线/,/ua且/_LAB；

③总存在平面B，且S，a；

④总存在平面B，4Bu0且（3〃a.

A.1B.2C.3D.4

16.（5分）若函数f（x）=3sin3x+4cos3x（04x4,3>0）的值域为[4,5],则cos等的取

值范围为（）

三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17.（14分）在直三棱柱ABC-A181cl中，AC1BC,AC=BC=CCi=2.

（1）求四棱锥A-BCC1B1的体积V；

（2）求直线ABi与平面ACCiAi所成角的正切值.

18.(14分)已知△ABC三个内角A、B、C对应边分别为a、b、c,a=4,cosB=

(1)若sinA=2sinC,求△ABC的面积；

(2)设线段AB的中点为。，若CD=g,求AABC外接圆半径R的值.

19.(14分)随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三

笔费用：购置费、燃油费、养护保险费.某种型号汽车，购置费共20万元，购买后第1

年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元.

(1)若每年养护保险费均为1万元，设购买该种型号汽车〃(nGN*)年后共支出费用为

5”万元，求S”的表达式；

(2)若购买汽车后的前6年，每年养护保险费均为1万元，由于部件老化和事故多发，

第7年起，每一年的养护保险费都比前一年增加10%,设使用〃(”6N*)年后年平均费

用为Cn,当〃时，Cn最小.请你列出”>6时Cn的表达式，并利用计算器确定〃。的

值(只需写出处的值).

1

xxe

20.(16分)己知函数/(x)=2+i(^)•

(1)求证：函数是R上的减函数；

(2)已知函数f(x)的图像存在对称中心(a,b)的充要条件是g(x)=f(x+a)-h

的图像关于原点中心对称，判断函数/(x)的图像是否存在对称中心，若存在，求出该

对称中心的坐标；若不存在，说明理由；

3

(3)若对任意川，都存在X26[l,3]及实数/«,使得+f(xix2)=1,

求实数〃的最大值.

21.(18分)城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直

线距离，而是沿着网格走的直角距离.在直角坐标系X。)，中，定义点A(xi,yi)、B(X2,

yi)的"直角距离"d(A,B)为：d(A,B)—\x]-x2|+|yi-y2\.设M(l,

-1).

(1)写出一个满足d(C,M)=d(C,N)的点C的坐标;

(2)过点M.N作斜率为2的直线h、/2,点。、R分别是直线/1、/2上的动点，求

R)的最小值；

(3)设P(x,>'),记方程d(P,M)+dCP,N)=8的曲线为「，类比椭圆研究曲线

「的性质(结论不要求证明)，并在所给坐标系中画出该曲线.

y

X

2022届上海市长宁区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1.（4分）已知集合4=*仇^2},8={1,3,5,7},则443=⑴

【解答】解：.集合A={x|xW2},B={1,3,5,7）,

故答案为：{1}.

2.（4分）（2+x）4的二项展开式中/的系数为24.

【解答】解：由于（2+x）4的二项展开式的通项公式为了什尸禺:3犷，、式,

令r=2,

.•.展开式中/的系数是：22•盘=24,

故答案为：24.

Qn_971

3.（4分）lim-n=1.

n->oo3+1--------

1

【解答】解：lim;九/=lim：=•

n-»oo3+1n->oo1+91+。

故答案为：1.

4.（4分）若线性方程组的增广矩阵为RJ解为则。-凹=-1

【解答】解：•.•线性方程组的增广矩阵为（：::：），解为二;，

.0=Q.（Ci=1

,

-[x+y=c2飞=2，

贝！Jc\-c*2=l-2=-1.

故答案为：-1.

5.（4分）在直角坐标系xOy中，角a的始边为x轴正半轴，顶点为坐标原点.若角a的

终边经过点（-3,4）,则sin（a+n）-.

【解答】解：因为直角坐标系xOy中，角a的始边为无轴正半轴，顶点为坐标原点.若

角a的终边经过点（-3,4）,

所以x=-3,y=4,t-7（-3）24-42=5,

所以sin（a+n）=-sina=—・=一

故答案为：—

6.（4分）3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个

展馆只需1位同学，则共有6种不同的安排方法.

【解答】解：根据题意，3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责

1个展馆，每个展馆只需1位同学，

是排列问题，有所3=6种安排方法，

故答案为：6.

7.（5分）已知双曲线/一《=1的左、右焦点为尸1、Fi,过尸1的直线/与双曲线M的左、

右两支分别交于点A、B.若△4BF2为等边三角形，则△A8&的边长为4.

【解答】解：如图，设△ABF2的边长为r,\AF\\=m,

因为△ABF2为等边三角形，所以|AB|=|AF2|=|8尸2|=r,

由双曲线的方程知a=1,b=V6.

所以由双曲线的定义得忸/切TAFi|=2,|BFi|-\BF2\=2,

即r+/n-r=2,r-tn=2,解得r=4,m=2.

所以△A8F2的边长为4.

8.（5分）在复平面xOy内，复数zi、Z2所对应的点分别为Zi、Z2,对于下列四个式子:

①Z工=|z/2；

②|Z1・Z2|=|Z1|3Z2|；

—2—>

③0Z1=|OZ1|2；

®\oz^oz2\=\oz1\-\oz2\.

其中恒成立的是②③(写出所有恒成立式子的序号)

【解答】解：设zi=a+bi,z2=c+di,则Zi(〃，b),Z2(c,d),

22222222

对于①，Zi=a+b+2abi,|zi|=«+fe,.\z1|zx|,故A错误；

对于②，zi・z2=Cac-bd}+(bc+ad)i,

22222222

|zi*z2|=J(QC—bd)2+(be+ad)2=Vac+bc4-ad+bdf

|zi|*|z2|=y/a24-b2-Vc2+d2=Va2c24-b2c2+a2d24-b2d2,

A|zi•z2|=|zi|*|z2|，故②正确；

—>T2T

对于③，OZ1=(.a,b),，OZ1=a1+b2,lOZJ^aW,故③正确;

—♦—»—»

=

对于④，UZ?=(c,d),•\OZ1-OZ2^c+dh,

2222

，|0Z],OZ2\={(ac+bd)2=yjac+bd+2acbd,

9z22222222

\0Z1\\0Z2\=7d+b27c2+d2=Vac4-ad+bc+bd,

••・|。》「0^2|工|0?1|・|0》21，故。错误.

故答案为：②③.

9.(5分)设x、yWR,a>0,b>U,若0V=加'=3,a+2b=2>/6,则一+一的最大值为

xy

【解答】解：・・・/=〃=3,

♦・x=loga3,y=log/?3,

11

A-=log3。，­=log3»,

11

~=log3〃+log3/?=log3a/b

•：2abS芦段A=6,

：.ab^3,故外的最大值为3,

当且仅当a=2b=历时,等号成立，

,,11

故一+—=10g34〃Wk>g33=l,

xy

11

故一+一的最大值为1,

xy

故答案为：1.

10.（5分）已知公差不为0的等差数列｛的｝的前力项和为S",若"4、S5、576（-10,0｝,

则S的最小值为-12.

【解答】解：S取得最小值，则公差d>0,44=70或“4=0.

（1）当a4=0,d>0,S7=露&x7-7a4=0,S5=5a3=-10，

=m+3d=0,5ai+10d=-10,

n“i=-6,d—2>Q,an—In-8,a”=2〃-8W0=〃W4,

所以S”的最小值为S4=4"i+6d=-24+12=-12.

（2）当=—10,d>0,S7=x7=7a4=-70,不合题意.

综上所述：。4=0,55=-10,S7=0,5”的最小值为-12.

故答案为：-12.

11.（5分）已知点4、B在抛物线「：y2=4x上，点M在「的准线上，线段M4、MB的中

点均在抛物线「上，设直线4B与y轴交于点N（0,〃），则|川的最小值为

【解答】解：设A（午，yi）,B（午，”），

由抛物线的方程可得焦点尸（1,0）,准线方程为x=-l,设M（-l,%）,

y12

~-1yi+m、yi2-4y^m

则MA,的中点P（-£―,三一），即P（^―）三一），

2282

因为P在抛物线r上，所以（红也）2=4.技

28

整理可得y\2-2myi-in2-8=0,

同理可得>22-2myi-m2-8=0,

所以yi,”为方程y2--序-8=0的两根，

所以yi+y2=2〃z,yi”=--8,

因为准线43与y轴交于（0,〃），所以“W0,

所以kAB=y厂丫2?=v:v=

zzm

yi_y2%+丫2

~~4~

所以直线AB的方程为：y-yi=^^-芋）,

令x=0,可得y=yi-条，

因为直线AB与y轴交于（0,n）,

所以n=y\-

同理〃=”一寨②，

所以①+②可得2n=y\+y2-乃2鳌'=(>1+*)

2

(丫1+及)-2yly2_4m2-2(-m2-8)_m4

2m2m2m

因为对勾函数的y=*+《的取值范围为(-8,-2V2]U[2V2,+~),

所以I川加〃=2V2.

故答案为：2V2.

12.(5分)设曲线C与函数f(x)(OWxWm)的图像关于直线)，=Wx对称，若曲

线C仍为某函数的图像，则实数m的取值范围为(0,21.

【解答】解：设/是函数f(x)=T|X2(OWxW/n)在点M(机，)的切线，

•1412

因为曲线C与函数f(x)=y|x2(OWXWW)的图像关于直线)=岳对称，

所以直线/关于)=VIx对称后的直线方程必为x=a,曲线C才能是某函数的图像，

如图所示，直线》=6》与工=“的夹角为30°,所以直线/的倾斜角为30°,

则直线/的方程为/：y=^-(x-m)+^m2,

联立方程组=T(x-m)+T2m\可得/-©+4机

Iy=yjX2

则△=16-16，"+4〃？=0,解得m=2,

由图像可得，0</nW2,

所以实数机的取值范围为(0,2].

故答案为：(0,2].

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13.（5分）“三VI”是“x>l”的（）

x

A.充分非必耍条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分也非必要条件

【解答】解：由!<1解得：x>\或x<0,

X

所以或XV0},

所以“工VI”是。>1”的必要不充分条件，

X

故选：B.

14.（5分）给定一组数据15、17、14、10、12、17、17、16、14、12,设这组数据的平均

数为m中位数为b,众数为c,则（）

A.a>h>cB.c>b>aC.c>a>bD.h>c>a

【解答】解：该组数据从小到大排列为10、12、12、14、14、15、16、17、17、17,

1

计算这组数据的平均数为a=^x（10+12+12+14+14+15+16+17+17+17）=14.4,

1

中位数为匕=>（14+15）=14.5,

众数为c=17,

所以c>b>a.

故选:B.

15.（5分）已知平面a经过圆柱001的旋转轴，点A、8是在圆柱OOi的侧面上，但不在

平面a上，则下列4个命题中真命题的个数是（）

①总存在直线/,/ua且/与AB异面；

②总存在直线/,/ua且/_LAB；

③总存在平面p,ABup且p±a；

④总存在平面B，ABuR且0〃a.

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：对于①，当A,8同侧时，平面a和圆柱在底面上的交线与AB是异面的;

当4,8异侧时，平面a和圆柱在侧面上的交线与AB是异面的，故①正确；

对于②，当A,B同侧时，平面a和圆柱在底面上的交线与AB是垂直的；

当A,8异侧时，直线。13J_A8,故②正确；

对于③，无论A,8同侧，还是异侧，若0为过AB的圆柱轴截面，则0J_a,故③正确；

对于④，当4,B异侧时，直线AB与平面a相交，不可能存在p〃a,故④错误.

故选：C.

16.(5分)若函数f(x)=3sin3x+4cos3x(0WxW泉3>0)的值域为[4,5],则cos等的取

值范围为（）

74737473

A.[―,-]B.[―,-]C[一方5]D・［一再？

255255

AQ

【解答】解：因为函数/(x)=3sina)x+4coscox=5sin(a)x+(p),其中sin(p=5,cos(p=0

<(P<2,

令/=a)x+(p,得g(r)=5sinr,因为a)>0,(XW*所以*o+(p,

又因为g(<p)=4,且0V(pV夕所以g(TT-<p)=4,g(])=5,

TCTCTT苑

所以]<—a)4-(p^n-<p,即w—(p<可3<11-2(p.

当0V*—(pWxWir-2(pVn时，y=cosx单调递减.

因为cos(—―<p)=sin(p=+cos(n-2q))=-cos2(p=sin<p-cos(

37174

所以cos-1的取值范围是-].

故选：A.

三.解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)

17.(14分)在直三棱柱ABC-AiBiA中,AC1BC,AC=BC=CCi=2.

(1)求四棱锥A-BCC\B\的体积V；

(2)求直线ABi与平面ACCiAi所成角的正切值.

【解答】解：因为直三棱柱ABC-AiBiCi中，C。，平面A8C,

所以C—,CCilBC,

因为AC_LBC,BCCCCi=C,

所以AC,平面BCC\B\,

因为AC=BC=CCi=2,所以%cc祖=4，

四棱锥A-BCC1B1的体积V=^xSBCQBJAC=]X4X2=~

(2)因为直三棱柱ABC-4BC1中，CCi_L平面ABC,

所以CC\±BC,

因为AC_LBC,ACQCC\=C,

所以BC_L平面ACCiAi,

因为在直三棱柱ABC-AiBiC中,BC//BiCi,

所以BiC」平面ACCiAi,

则ZBiACi是直线AB\与平面ACC\A\所成角，

所以tanNBMC尸猊=嘉=孝，

所以直线A-与平面ACG4所成角的正切值为三.

18.（14分）已知AABC三个内角A、B、C对应边分别为a、b、c,a=4,cosB=

（1）若sinA=2sinC,求△ABC的面积；

（2）设线段AB的中点为£>,若CD=回,求AABC外接圆半径R的值.

【解答】解：⑴因为sinA=2sinC,

所以a=2c,

又。=4,

所以c=2,

1

因为cosB=一彳，

所以sinB=V1—cos2B—^

所以△ABC的面积S-/qcsinB=X4x2Xq也=V15.

（2）因为线段4B的中点为。，若CD=g,

在△BCD中，由余弦定理可得19=16+81）2-2X4XBDX（_《），整理可得

q

3=0,解得8£）=1或-3（舍去），

所以c=A8=2,

在△ABC中，由余弦定理可得h=y/a24-c2-2accosB=

J4+16-2x4x2x（一》=2瓜,

所以由正弦定理可得△ABC外接圆半径R=天幻=2公4/10

Z.SITID2x学5.

19.（14分）随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三

笔费用：购置费、燃油费、养护保险费.某种型号汽车，购置费共20万元，购买后第1

年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元.

(1)若每年养护保险费均为1万元，设购买该种型号汽车〃("6N*)年后共支出费用为

S”万元，求S”的表达式；

(2)若购买汽车后的前6年，每年养护保险费均为1万元，由于部件老化和事故多发，

第7年起，每一年的养护保险费都比前一年增加10%,设使用〃(”6N*)年后年平均费

用为Cn,当"=〃0时，Cn最小.请你列出”>6时Cn的表达式，并利用计算器确定”。的

值(只需写出〃。的值).

【解答】解：(1”.•购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元，

...购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为2,公差为0.2,

,购买该种型号汽车第"("6N*)年的燃油费用为3=0.2〃+1.8,

.••购买该种型号汽车第”(neN*)年的燃油总费用为迎网二空々=亡+^n,

21010

・.•每年养护保险费均为1万元，购置费共20万元，

购买该种型号汽车〃(於N*)年后共支出费用为Sn=哈+那+”+20=哈+鬻+20.

(2)当〃>6时，每一年的养护保险费都比前一年增加10%,

故从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为1.1,公比为1.1,

二从第七年起，第"("6N*,〃>6)年的养护保险费用为〃WN*,

...购买该种型号汽车〃(“6N*,〃>6)年后，养护保险费为6+二:彳1"_6)=1OX

1—1.1

l.l,r5-5,

1(1x1in-5_s

当n>6时，使用〃(〃6N*)年后，养护保险费的年平均费用Cn=——-,n>6,

经计算器计算可得"0=7时，Cn最小.

20.(16分)已知函数/(x)G/?).

(1)求证：函数/(x)是R上的减函数；

(2)已知函数f(x)的图像存在对称中心(a,b)的充要条件是g(x)=f(jc+a)-h

的图像关于原点中心对称，判断函数/(X)的图像是否存在对称中心，若存在，求出该

对称中心的坐标；若不存在，说明理由；

3

(3)若对任意川，都存在X2日1,鼻］及实数加，使得+/,(xix2)=1,

求实数〃的最大值.

112“2-2”

【解答】(1)证明：设X1<%2,则八xi)-3=备西-17落=(1+2q)(1+2,2).

所以/(XI)>f(X2).

所以/(x)在R上单调递减；

(2)解：假设函数f(x)的图像存在对称中心(a,b),

则g(x)=fCx+a)-匕的图象关于原点对称，

11

贝I」g(-x)+g(x)=]+2&r+1+2a+x-26=0恒成立，

整理得(1-2/7)(2a+x+2ax)+2-2b-2b/』。恒成立，

所以｛；-2b-2b-22a=°，

1

解得。=0,h=2，

1

故函数f(x)的对称中心为(0,-)；

3

(3)解：因为对任意〃],都存在%241,5]及实数〃心使得，(1-〃?XI)t/(L)

=1,

11

所以1+21-+1+2%1%2=1'

即21一口+工62=0,

所以1-mx\+xix2=0f

所以xi=m——,

X1

11

因为〃］,所以〃?一章6［加-1,m--］,

,313

因为无241,所以-1,,加一而］。［1,

fm—1>1(m>2

所以1-3,即1、3,

Im——<«->m—«

l?121rl2

所以—2(w—1)min=5，

所以MW2,即〃的最大值为2.

21.(18分)城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直

线距离，而是沿着网格走的直角距离.在直角坐标系X。)，中，定义点A(xi,yi)、B3

”)的“直角距离”d(A,B)为：d(A,B)=M设M(1,1)、N(-1,

-1).

(1)写出一个满足d(C,M)=d(C,N)的点C的坐标；

(2)过点M、N作斜率为2的直线八、拉，点。、R分别是直线/1、/2上的动点，求d(Q,

R)的最小值；

(3)设P(x,y),记方程d(P,M)+d(P,N)=8的曲线为1,,类比椭圆研究曲线

「的性质(结论不要求证明)，并在所给坐标系中画出该曲线.

【解答】解：(1)设C点的坐标为C(X),川)，若d(C,M)=d(C,N),所以似)

-l|+|yo-l|=|xo+l|+|yo+l|,

所以C点在直线了=-1上，故(0,0)满足要求.

(2)由题可知，h：y=2r-l,/2：y=2x+l,

因此Q(xi,2JCI-I),/?(%2,2x2+1),

所以d(Q,R)=\xi-X2|+|(2xi-1)-(2x2+1)|=|xi-X2|+2|XI-X2-1|,

令xi-x2=r,则d(Q，R)=|f|+2|r-1|,

—3t+2,t<0

-t+2,0<t<l,

(3t-2,t>1

所以当t=l时，d(Q,R)取得最小值1.

(3)因为d(P,M)+d(P,N)=8,

所以|x-l|+|x+l|+|)，-l|+|y+l|=8,

所以，类比椭圆的几何性质，曲线「的性质的性质有：

对称性：曲线r即是以X轴、y轴为对称轴的对称图形，也是以原点为对称中心的中心

对称图形：

顶点：(±3,±1),(±1,±3)

范围：-3WxW3,-3WyW3.

2022届上海市虹口区高考数学一模试卷

一.填空题（1〜6题每题4分，7〜12题每题5分，本大题满分54分）

1.（4分）已知集合4={1,2,4},8={y|y=log2x,xGA},贝!JAU8=.

2.（4分）己知x=-2是方程$方=0的解，则实数a的值为.

11

3.（4分）已知aw{-2,-1,1,2,3）,若基函数/G）=炉为奇函数，且在（0,

+°°）上单调递减，则a=.

4.（4分）已知无穷等比数列{〃〃}的前〃项的和为S〃，首项ai=3,公比为g,且〃？nS=2,

n-*oon

则q=.

5.（4分）圆x2+y2+4sin0•x+^osS9y+1=0的半径等于.

6.（4分）在（彳-61°的二项展开式中，常数项等于.（结果用数值表示）

7.（5分）已知角A,B,C是aABC的三个内角，若sin/1：sinB：sinC=4：5：6,则该三

角形的最大内角等于（用反三角函数值表示）.

8.（5分）已知/（x）是定义域为R的奇函数，且对任意的x满足/（x+2）=f（x）,若0

时，有/（x）=4、+3,贝！1/（3.5）=.

9.（5分）已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为凡A,8为此抛物线上的异于坐标原点0

的两个不同的点，满足|房1|+|品|+|而|=12,且总1+而+访=5,贝ijp=.

10.（5分）如图，在棱长为1的正方体ABC。-AiBiCiG中，P为底面4BCD内（包括边

界）的动点，满足初P与直线CC1所成角的大小为9则线段DP扫过的面积为_______.

6

11.（5分）已知实数x,y满足：x|x|+y|y|=l,则|x+y+&|的取值范围是.

12.（5分）已知函数/（X）=cosx,若对任意实数xi,xi,方程（（x）-/（xi）|+[f（x）-

/（X>）尸〃？（wGR）有解，方程/（X）-fCxO|-|/'（x）-f（x2）\=n（〃€R）也有解，

则m+n的值的集合为.

二.选择题（每小题5分，满分20分）

X—3

13.（5分）设a：实数无满足力VO,p：实数x满足|x-1|<2,那么a是0的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

71

14.（5分）设函数/（4）=asirur+bcosx,其中a>0,。>0,若/（x）W/（一）对任意的

4

恒成立，则下列结论正确的是（）

TC71

A./（-）>（一）

J26

B./（x）的图像关于直线》=竽对称

Jr57r

C.f（x）在q,彳]上单调递增

D.过点（mb）的直线与函数/（X）的图像必有公共点

15.（5分）设等差数列｛“”｝的前"项和为S”如果-ai<a9<-“2,则（）

A.S9>0且Sio>OB.S9>0且SioVO

C.S9<0且Sio>OD.S9Vo且Sio<O

16.(5分)已知mhER,复数z=〃+2bi(其中i为虚数单位)满足z・5=4,给出下列结论:

①〃2+房的取值范围是[1,4]；

②J(a-6)2+岳+J(a+V3)2+b2=4；

b—赤

③-----的取值范围是(-8,-1]U[1,+8)；

a

④专+/■的最小值为2

其中正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

三.解答题(本大题满分76分)

17.(14分)如图，在直三棱柱ABC-A13C1中，已知AC=3C=4,A4i=3,AB=4y/2.(1)

求四棱锥A-BCC\B\的体积；

(2)求直线A。与平面A3814所成的角的大小.

18.(14分)在平面直角坐标系xOy中，A(―,—)在以原点。为圆心半径等1的圆上,

将射线OA绕原点。逆时针方向旋转a后交该圆于点3,设点B的横坐标为/(a)，纵

坐标g(a).

(1)如果sina="z,0</w<1,求/(a)+g(a)的值(用团表示)；

(2)如果=2,求/(a)・g(a)的值.

g(a)

19.(14分)某地政府决定向当地纳税额在4万元至8万元(包括4万元和8万元)的小微

企业发放补助款，发放方案规定：补助款随企业纳税额的增加而增加，且补助款不低于

纳税额的50%.设企业纳税额为x(单位：万元)，补助款为/(x)=#-法+〃+：(单

位：万元)，其中b为常数.

(1)分别判断〃=0,b=l时，/(%)是否符合发放方案规定，并说明理由；

(2)若函数/(x)符合发放方案规定，求〃的取值范围.

X2V9

20.(16分)已知椭圆r：一+-=1的左、右焦点分别为Fl、F2,过点F1的直线/交椭

128

圆于A,8两点，交y轴于点尸(0,0.

(I)若尸1尸，尸2尸，r的值;

(2)若点4在第一象限，满足•点=7,求f的值；

(3)在平面内是否存在定点Q,使得谦•前是一个确定的常数。若存在，求出点Q的

坐标；若不存在，说明理由.

21.(18分)已知集合A={y|y=2x,x€N*},B={y\y=3x,x€N*}.AUB中的所有元素按

从小到大的顺序排列构成数列{%},5„为数列{加}的前n项的和.

⑴求SlO!

(2)如果即=81,42022=/,求相和，的值；

(3)如果〃=土尹+攵(AWN*),求HSH(用女来表示).

2022届上海市虹口区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

填空题（1〜6题每题4分，7〜12题每题5分，本大题满分54分）

1.（4分）已知集合人={1,2,4},B={y|y=log2x,xEA},则AU8={0,1,2,4}

【解答】解：因为A={1,2,4},B={y|y=log2x,x6A}={0,1,2）,

则AUB={0,1,2,4）.

故答案为：{0，1,2,4）.

2.（4分）已知x=-2是方程［=0的解，则实数。的值为4.

【解答】解：因为x=-2是方程用胃=0的解，

所以-2X（-2）-a=0,

所以a=4.

故答案为：4.

3.（4分）已知呜-2,-1,1,2,3},若基函数/Xx）=非为奇函数，且在（0,

42

+8）上单调递减，则a=-1,

【解答】解：因为呜-2,-1,T，1,2,3},

42

由基函数f（x）=/为奇函数，在（0,+°°）上单调递减，

所以a为奇数，且a<0,

所以a=-1.

故答案为：-1.

4.（4分）已知无穷等比数列的前〃项的和为防，首项m=3,公比为q,且n〃1?8nS“=2,

i

则q=■

【解答】解：因为无穷等比数列{“”）中，首项ai=3,公比为g,

又〃TnSn-2,

n->oo

所以=——=2,

1-q1-q

所以q=

故答案为：—

5.(4分)圆/+y2+4sine・x+4cos6・y+l=0的半径等于_V3_.

【解答】解：由％2+y2+4sine・x+4cos8・y+l=0得(x+2sin0)2+(y+2cos0)2=3,

所以圆的半径为次.

故答案为：V3.

6.(4分)在(x-1)10的二项展开式中，常数项等于-252.(结果用数值表示)

wrriO

【解答】解：因为(x—31°的二项展开式的通项Tf=C[ox-•(―=(-1)C[ox

"2r

令10-2r=0得r=5,

故常数项为一味)=-252.

故答案为：-252.

7.(5分)已知角A,B,C是△ABC的三个内角，若sin4sinB：sinC=4：5：6,则该三

1

角形的最大内角等于arccos二(用反三角函数值表示).

【解答】解：由正弦定理得，sinA：sinB：sinC=〃；b：c=4：5：6,

故可设a=4x,b=5xfc=6x,

则最大角为C,

「kA壮士-ca^+b2-^16X2+25X2-36X21

由余弦定理得，cosC=2ab=124F5T-=8>

1

故C=arccos-.

8

1

故答案为：arccos-.

8.(5分)已知/(x)是定义域为R的奇函数，且对任意的x满足/(x+2)=/(x),若0

VxVl时，有/(x)=4'+3,贝厅(3.5)=-5.

【解答】解：由题意得/(-x)=-于(x)且f(x+2)=f(x),

因为OVxVl时，有/(x)=4"+3,

则/(3.5)=/(1.5)=/(-0.5)=-f(0.5)=-(2+3)=-5