2020年中考最全复习资料专题22关于中点的联想

1、专题 22关于中点的联想阅读与思考线段的中点把线段分成相等的两部分，图形中出现中点，可以引起我们丰富的联想：首先它和三角形 的中线紧密联系；若中点是在直角三角形的斜边上，又可以引用“斜边上的中线等于斜边的一半”结论； 其次，中点又与中位线息息相关；另外，中点还可以与中心对称相连解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线，如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、构造三角 形、梯形中位线、构造中心对称图形等，如图所示：例题与求解例 1】如图， ABC边长分别为 AB 14，BC16， AC26，P为 A的平分线 AD 上一点，且 BPAD，M 为BC的中点，则 PM的值为 （安徽省竞赛试题 ）解题思路

2、：例1题图 A 的平分线与BP 边上的垂线互相重合，通过作辅助线，点P 可变为某线段的中点，利用三角形中位线定理解题例 2】 如图，边长为1 的正方形 EFGH 在边长为 3 的正方形 ABCD所在的平面上移动，始终保持EFAB，线段 CF，DH 的中点分别为M ，N，则线段 MN 的长度为 （北京市竞赛试题 ）A10217B 21717 C 3D2 10解题思路：连接 CG，取 CG 的中点 T，构造三角形中位线、梯形中位线3【例 3】如图，在 ABC中， AB AC，延长 AB到 D，使 BDAB，E为 AB 中点，连接 CE，CD， 求证： CD2EC(宁波市竞赛试题 )解题思路： 图形

3、中有两个中点 E，B，联想到与中点相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线 段相等关系的证明，关键是恰当添加辅助线【例 4】如图 1，P 是线段 AB 上一点，在 AB 的同侧作 APC和 BPD，使 APC BPD， PC PA， PDPB，连接 CD，点 E， F， G， H 分别是 AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接 E，F， G，H(1) 猜想四边形 EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；(2) 当点 P 在线段 AB 的上方时，如图 2，在 APB的外部作 APC和 BPD，其他条件不变， (1)中的 结论还成立吗？说明理由；(3) 如果(2)中， APC BPD90

4、76;，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形 EFGH的形状，并说明理由 (营口市中考试题)图 图 图解题思路：结论随着条件的改变也许发生变化，但解决问题的方法是一致的，即通过连线，为三角形中位线定理的应用创造条件【例 5】如图，以 ABC的 AB，AC边为斜边向形外作直角三角形 ABD和 ACE，且使 ABD ACE， M 是 BC的中点，求证： DM EM（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路： 显然 DBM 不全等于 ECM，必须通过作辅助线，构造全等三角形证明DM EM例5图【例 6】如图，已知 ABC中， ACB 90°，AB边上的高 CH与 ABC的两条内角平分线 AM，B

5、N 分 别交于 P，Q两点， PM，QN的中点分别为 E，F，求证： EFAB（全国初中数学联赛题）解题思路： 从图形的形成过程，逐步探索相应结论将原问题分解为多个小问题例6图A级1如图，若 E，F，G，H 分别是四边形 ABCD各边的中点，则四边形 EFGH是（1） 如果把条件中的四边形 ABCD依次改为矩形、 菱形、正方形或等腰梯形， 其他条件不变， 那么所得 的四边形 EFGH分别为 ；（2） 如果把结论中的平行四边形 EFGH依次改为矩形、菱形、正方形，那么原四边形ABCD应具备的条件是 （湖北省黄冈市中考试题）第 2 题图2如图，已知 AG BD，AFCE，BD，CE分别是 ABC和

6、 ACB的角平分线，若BF2，ED3，GC 4，则 ABC的周长为 （ 重庆市竞赛试题 ）3如图，在 ABC 中， ABAC，ADBC 于点 D，E 是 AC 的中点，若 BC 16，DE5，则 AD （南京市中考试题）4如图，在 ABC中，ABAC，M，N分别是 AB，AC的中点， D，E为 BC上的点，连接 DN，EM， 若 AB 13cm， BC 10cm， DE 5cm ，则图中阴影部分的面积为 （北京市中考试题）第 3 题图EC第 4 题图第 7 题图5A，B，C，D顺次为四边形 ABCD的各边的中点，下面条件中使四边形ABCD为正方形的条件是）A四边形 ABCD 是矩形B四边形 A

7、BCD 是菱形C四边形 ABCD是等腰梯形D四边形 ABCD中， ACBD 且 AC BD6若等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm，则该等腰梯形的面积为（）A 16cm2B 32cm2C 64cm2D 112cm27如图，梯形 ABCD中， ADBC，E，F分别是 BD，AC 的中点，若 AD6cm，BC18cm，则 EF的 长为（ ）A8cmB 7cmC6cmD 5cm8如图， 在梯形 ABCD中，ADEFGHBC，AEEGGB，AD18，BC32，则 EFGH（）A40B 48C50D56（泰州市中考试题）第 8 题图第 9 题图19如图，在 ABC中， B 2 C， ADBC于

8、点 D，M是 BC的中点，求证： DM 2ABM，N，直线 MN 分别交 AB，AC 于点 P，Q，10 如图，在 ABC 中，BDCE，BE，CD的中点分别是 求证： AP AQ11在图 1至图 3中，点 B是线段 AC的中点，点 D是线段 CE的中点四边形 BCGF和 CDHN都是正 方形 AE 的中点是 M1）如图 1，点 E在 AC 的延长线上，点 N 与点 G 重合时， 点 M 与点 C重合，求证：FM = MH，FMMH；2）将图 1 中的 CE绕点 C顺时针旋转一个锐角，得到图 2，求证： FMH 是等腰直角三角形；3）将图 2中的 CE缩短到图 3的情况， FMH 还是等腰直角

9、三角形吗？（不必说明理由）（2009 年河北省中考试题 ）E图312在六边形ABCDEF中， AB DE，BCEF， CDFA，ABDEBCEF，A1，B1，D1，E1 分别是边AB，BC，DE，EF的中点， A1D1B1E1求证： CDE AFE1E第 12 题图B级FQP， BD10，则 AC1如图，正方形 ABCD 两条对角线相交于点 E， GE24，则 FC 2如图，四边形 ABCD的对角线 AC，BD 相交于点 AC于点 P， Q，且 FPQCAD的平分线 AF交 DE于点 G，交 DC 于点 F，若F， M ，N分别是 AB，CD的中点， MN 分别交 BD， （重庆市竞赛试题）第

10、 1 题图第 2 题图第 3 题图3如图，在 ABC 中，M 为 AD 的中点， N 为 AE 的中点， P 为 BC 的中点，则 MPN 4如图，已知 A为 DE的中点，设 DBC，间的关系是（ ）3A S2 2（ S1 S3） BAC 120°，以 AB，AC为边分别向形外作正三角形 ABD 和正三角形 北京市竞赛试题） ABC， EBC的面积分别为 S1， S2， S3，则 S1，ACE，S2，S3之BS212(S3S1)5如图，在图形 ABCD 中，1AMN>2（ADBC）AB DC， M 为1MN<2(ADBC)1CS2 2（S1 S3）DC的中点， N 为 A

11、B 的中点，则3DS2 2(S3 S1)BCMN 21(ADBC)D无法确定MN 与12（AD BC）的关系第 4 题图6如图，凸四边形 影部分的面积为 （ 1 A8a第 5 题图第 6 题图第 7 题图ABCD的面积是1B6aa，E，F，G，1C4aH 分别是 AB， BC，1D2aCD，DA 的中点，那么图中的阴分别延长CA，CB 到点 E，F，7如图，在 ABC中，D为 AB的中点， CB 的垂线，相交于点 P求证： PAE PBF（江苏省竞赛试题）使 DE DF，过 E，F 分别作 CA，全国初中数学联赛试题）8如图，锐角 ABC中，作高 BD 和 CE，过顶点 B，C分别作 DE的垂

12、线 BF和 CG，求证： EFDG （全俄奥林匹克数学竞赛试题）G9如图，在ABC中，AD是 BC边上的中线， 点M在AB边上，点N在 AC边上，并且MDN90°，1如果 BM2CN2DM2DN2求证： AD24（AB2 AC2）（北京市竞赛试题）第 9 题图10已知： ABD和 ACE都是直角三角形，且 ABD ACE 90°如图 1，连接 DE，设 M为 DE 的中点（1）求证： MB MC；（2）设 BAD CAE，固定 ABD，让 RtACE绕顶点 A 在平面内旋转到图 2的位置，试问： MBMC 是否还成立 ?请说明理由（江苏省竞赛试题）图111已知 OAB， OCD都是等腰直角三角形， AOB COD 90 °(1) 如图 1，点C在OA边上，点D在OB边上，连接 AD，BC，M为线段 AD的中点，求证：OM BC(2) 如图 2，在图 1的基础上，将 OCD绕点 O逆时针旋转 (为锐角 )，M 为线段 AD的中点 1 求证： OM 2BC； OM BC 是否还成立 ?若成立，请证明；若不成立，请说明理由图112如图 1，在 ABC中，点 P为 BC边的中点，直线 a绕顶点 A旋转，若点 B， P在直线 a的异侧， BM直线 a于点 M ， CN直线 a 于点 N，连接 PM，PN(1)延长