正交试验设计-讲解版(1)

1、正交试验设计正交试验设计http:/1 试验设计与数据处理的发展概况试验设计与数据处理的发展概况 20世纪世纪20年代，英国生物统计学家及数学家费歇年代，英国生物统计学家及数学家费歇（RAFisher）提出了）提出了方差分析方差分析 20世纪世纪50年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的最广的正交设计正交设计表格化表格化 数学家华罗庚教授也在国内积极倡导和普及的数学家华罗庚教授也在国内积极倡导和普及的“优选法优选法” 我国数学家王元和方开泰于我国数学家王元和方开泰于1978年首先提出了年首先提出了均匀设计均匀设计 http:/2试验设计与数据

2、处理的意义试验设计与数据处理的意义2.1试验设计的目的试验设计的目的: 合理地安排试验合理地安排试验,力求用较少的试验次数获得较好结果力求用较少的试验次数获得较好结果 例：某试验研究了例：某试验研究了3个影响因素：个影响因素： A：A1，A2，A3 B：B1，B2，B3 C：C1，C2，C3 全面试验：全面试验：27次次 正交试验：正交试验：9次次http:/2.2数据处理的目的数据处理的目的通过误差分析，评判试验数据的可靠性；通过误差分析，评判试验数据的可靠性；确定影响试验结果的因素主次，抓住主要矛盾，提高试确定影响试验结果的因素主次，抓住主要矛盾，提高试验效率；验效率；确定试验因素与试验结

3、果之间存在的近似函数关系，并确定试验因素与试验结果之间存在的近似函数关系，并能对试验结果进行预测和优化；能对试验结果进行预测和优化；试验因素对试验结果的影响规律，为控制试验提供思路；试验因素对试验结果的影响规律，为控制试验提供思路；确定最优试验方案或配方。确定最优试验方案或配方。一、试验设计的基本概念与正交表一、试验设计的基本概念与正交表 多因素试验遇到的最大困难是试验次数太多因素试验遇到的最大困难是试验次数太多，若十个因素对产品质量有影响，每个因素多，若十个因素对产品质量有影响，每个因素取两个不同状态进行比较，有取两个不同状态进行比较，有210=1024、 如果如果每个因素取三个不同状态每个

4、因素取三个不同状态310=59049个不同的个不同的试验条件试验条件 在多因素试验中，有人采用在多因素试验中，有人采用“单因素轮换单因素轮换法法”，但是这种方法不一定能找到好的条件，但是这种方法不一定能找到好的条件 譬如：考察两个因子，先固定譬如：考察两个因子，先固定A在在A1，发，发现现B3好，再固定好，再固定B3，发现，发现A1好，但是实际上好好，但是实际上好的条件是的条件是A2B2。 B1 B2 B3 A1 50 56 62 A2 56 70 60 A3 54 60 58因子与水平因子与水平 试验中要加以考察而改变状态的因素称试验中要加以考察而改变状态的因素称为因子，常用大写英文字母为因

5、子，常用大写英文字母A、B、C等表示。因子在试验中所取的状态称为等表示。因子在试验中所取的状态称为水平。因子水平。因子A的水平用代表因子的字母的水平用代表因子的字母加下标表示，记为加下标表示，记为A1，A2，Ak.。 在一次试验中每个因子总取一个特定在一次试验中每个因子总取一个特定的水平，称各因子水平的一个组合为一个的水平，称各因子水平的一个组合为一个处理或一个试验条件处理或一个试验条件。试验指标与试验结果试验指标与试验结果 衡量试验条件好坏的特性（可以是质量特性也衡量试验条件好坏的特性（可以是质量特性也可以是产量特性或其它）称为指标，用可以是产量特性或其它）称为指标，用y表表示。示。 由于由

6、于y是一个随机变量，因此可以假定它有是一个随机变量，因此可以假定它有如下的结构式：如下的结构式：y=+ 其中其中是一个依赖于试验条件的常量，随试是一个依赖于试验条件的常量，随试验条件的变化而改变，验条件的变化而改变，是一个随机变量，常假定是一个随机变量，常假定它服从正态分布它服从正态分布N（0,2）。）。正交表正交表 选择部分条件进行试验，再通过数据分析选择部分条件进行试验，再通过数据分析来寻找好的条件，这便是试验设计问题。来寻找好的条件，这便是试验设计问题。通过少量的试验获得较多的信息，达到试通过少量的试验获得较多的信息，达到试验的目的：发现那些因子对试验结果确有验的目的：发现那些因子对试验

7、结果确有影响，因子的什么水平组合是最好的。影响，因子的什么水平组合是最好的。 利用正交表进行试验设计的方法就是正交利用正交表进行试验设计的方法就是正交试验设计试验设计。表表 4.1 L9(34)试试验验号号 列列号号 1 2 3 41 1 1 1 12 1 2 2 23 1 3 3 34 2 1 2 35 2 2 3 16 2 3 1 27 3 1 3 28 3 2 1 39 3 3 2 1 “L”表示正交表，表示正交表，“9”是行数，在试验中表示试是行数，在试验中表示试验的条件数，验的条件数，“4”是列数，在试验中表示可以安排是列数，在试验中表示可以安排的因子的最多个数，的因子的最多个数，“

8、3”是表的主体只有三个不同是表的主体只有三个不同数字，在试验中表示每一因子可以取的水平数。数字，在试验中表示每一因子可以取的水平数。 正交表具有正交性，这是指它有如下两个特点：正交表具有正交性，这是指它有如下两个特点： （1）每列中不同的数字重复次数相同。）每列中不同的数字重复次数相同。 在表在表L9(34)中，每列有中，每列有3个不同数字：个不同数字：1,2,3，每一个出现每一个出现3次。次。 （2）将任意两列的同行数字看成一个数对，那）将任意两列的同行数字看成一个数对，那么一切可能数对重复次数相同。么一切可能数对重复次数相同。 在表在表L9(34)中，任意两列有中，任意两列有9种可能的数对

9、：种可能的数对：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)每一每一对出现一次。对出现一次。 （1）一类正交表的行数）一类正交表的行数n，列数列数p，水平数水平数qn=qk, k=2,3,4, p=(n-1)/(q-1) 如：如：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)等这类等这类正交表可以考察因子间交互作用正交表可以考察因子间交互作用 （2）另一类正交表的行数，列数，水平数之）另一类正交表的行数，列数，水平数之间不满足上述的两个关系间不满足上述的两个关系 如：如： L12(211)， L18(37)，L36(

10、313)等等常用的正交表种类：常用的正交表种类：二、无交互作用的正交设计与数据分析二、无交互作用的正交设计与数据分析 试验设计一般有四个步骤：试验设计一般有四个步骤： 1. 试验设计试验设计 2. 进行试验获得试验结果进行试验获得试验结果 3. 数据分析数据分析 4. 验证试验验证试验 例例1 磁鼓电机是彩色录像机磁鼓组件的关磁鼓电机是彩色录像机磁鼓组件的关键部件之一，按质量要求其输出力矩应大于键部件之一，按质量要求其输出力矩应大于210g.cm。某生产厂过去这项指标的合格率较低，某生产厂过去这项指标的合格率较低，从而希望通过试验找出好的条件，以提高磁鼓从而希望通过试验找出好的条件，以提高磁鼓

11、电机的输出力矩。电机的输出力矩。 （一）试验的设计（一）试验的设计 在安排试验时，一般应考虑如下几步：在安排试验时，一般应考虑如下几步： （1）明确试验目的；）明确试验目的； （2）明确试验指标；）明确试验指标； （3）确定因子与水平；）确定因子与水平； （4）选用合适的正交表，进行表头设计，）选用合适的正交表，进行表头设计，列出试验计划。列出试验计划。在本例中：在本例中：试验目的：提高磁鼓电机的输出力矩试验目的：提高磁鼓电机的输出力矩试验指标：输出力矩试验指标：输出力矩确定因子与水平：确定因子与水平：表表4.2 因因子子水水平平表表 水水平平因因子子 一一 二二 三三 A：充充磁磁量量（10

12、4T） 900 1100 1300 B：定定位位角角度度（(/180)rad） 10 11 12 C：定定子子线线圈圈匝匝数数（匝匝） 70 80 90 选表：首先根据因子的水平数，找出一类选表：首先根据因子的水平数，找出一类正交表，再根据因子的个数确定具体的表，把正交表，再根据因子的个数确定具体的表，把因子放到表的列上去，称为表头设计。因子放到表的列上去，称为表头设计。 把放因子的列中的数字改为因子的真实水把放因子的列中的数字改为因子的真实水平，便成为一张试验计划表，平，便成为一张试验计划表， 每一行便是一个每一行便是一个试验条件。试验条件。 在正交设计中在正交设计中n个试验条件是一起给出的

13、个试验条件是一起给出的的，称为的，称为“整体设计整体设计”，并且均匀分布在试验，并且均匀分布在试验空间中。空间中。表表头头设设计计ABC列列号号1234表表 4.3 试试验验计计划划与与试试验验结结果果 充充磁磁量量 定定位位角角度度定定子子线线圈圈匝匝数数 试试验验结结果果 y 因因子子试试验验号号 104T(/180)rad 匝匝输输出出力力矩矩(g.cm)1（1） 900 （1） 10（1） 70 1602（1） 900 （2） 11（2） 80 2153（1） 900 （3） 12（3） 90 1804（2）1100 （1） 10（2） 80 1685（2）1100 （2） 11（3）

14、 90 2366（2）1100 （3） 12（1） 70 1907（3）1300 （1） 10（3） 90 1578（3）1300 （2） 11（1） 70 2059（3）1300 （3） 12（2） 80 1409个试验点的分布个试验点的分布C3C2C1A1A2A3B1B2B3123456789（二）做试验，并记录试验结果（二）做试验，并记录试验结果在进行试验时，要注意几点：在进行试验时，要注意几点： 1. 除了所考察的因子外的其它条件，尽可除了所考察的因子外的其它条件，尽可能保持相同能保持相同 2. 试验次序最好要随机化试验次序最好要随机化 3. 必要时可以设置区组因子必要时可以设置区组因

15、子（三）数据分析（三）数据分析 1. 数据的直观分析数据的直观分析（1）寻找最好的试验条件）寻找最好的试验条件 在在A1水平下进行了三次试验：水平下进行了三次试验：#1，#2，#3，而，而在这三次试验中因子在这三次试验中因子B的三个水平各进行了一次试的三个水平各进行了一次试验，因子验，因子C的三个水平也各进行了一次试验。的三个水平也各进行了一次试验。 在在A2水平下进行了三次试验：水平下进行了三次试验：#4，#5，#6，在，在这三次试验中因子这三次试验中因子B与与C的三个水平各进行了一次的三个水平各进行了一次试验。试验。 在在A3水平下进行了三次试验：水平下进行了三次试验：#7，#8，#9，在

16、，在这三次试验中因子这三次试验中因子B与与C的三个水平各进行了一次的三个水平各进行了一次试验。试验。 将全部试验分成三个组，那么这这三组数据将全部试验分成三个组，那么这这三组数据间的差异就反映了因子间的差异就反映了因子A的三个水平的差异，为的三个水平的差异，为此计算各组数据的和与平均：此计算各组数据的和与平均： T1=y1+y2+y3=160+215+180=555, T2=y4+y5+y6=168+236+190=594, T3=y7+y8+y9=157+205+140=502, 1853/TT11 1983/TT22 3 .1673/TT33 同理同理 对因子对因子B与与C将数据分成三组分

17、别比较将数据分成三组分别比较 所有计算列在下面的计算表中所有计算列在下面的计算表中.T的计算：的计算：T=y1+y2+y3+y4+*+y9=T1+T2+T3.表表 4.4 例例 4.1 直直观观分分析析计计算算表表表表头头设设计计 A B C 试试验验号号列列号号 1 2 3 4 y 1 1 1 1 1 160 2 1 2 2 2 215 3 1 3 3 3 180 4 2 1 2 3 168 5 2 2 3 1 236 6 2 3 1 2 190 7 3 1 3 2 157 8 3 2 1 3 205 9 3 3 2 1 140 T1 555 485 555 T2 594 656 523 T

18、3 502 510 573 T1 185 161.7 185 T2 198 218.7 174.3 T3 167.3 170 191 R 30.7 57 16.7 （2）各因子对指标影响程度大小的分析）各因子对指标影响程度大小的分析 极差的大小反映了因子水平改变时对试验结极差的大小反映了因子水平改变时对试验结果的影响大小。这里因子的极差是指各水平平均果的影响大小。这里因子的极差是指各水平平均值的最大值与最小值之差，譬如对因子值的最大值与最小值之差，譬如对因子A来讲：来讲：RA=198167.3=30.7其它的结果也列在上表中其它的结果也列在上表中（3）各因子不同水平对指标的影响图）各因子不同水

19、平对指标的影响图9001100 13001011 12708090160170180190200210220输出力矩输出力矩RARBRCA:充磁量充磁量B:定位角度定位角度C:定子线圈匝数定子线圈匝数因子各水平对输出力矩的影响因子各水平对输出力矩的影响 由于正交表的特点，使试验条件均匀分布在由于正交表的特点，使试验条件均匀分布在试验空间中，因此使数据间具有整齐可比性，上试验空间中，因此使数据间具有整齐可比性，上述的直观分析可以进行。但是极差大到什么程度述的直观分析可以进行。但是极差大到什么程度可以认为水平的差异确实是有影响的呢？可以认为水平的差异确实是有影响的呢？ 2. 数据的方差分析数据的方差分析 要把引起数据波动的原因进行分解，数据的要把引起数据波动的原因进行分解，数据的波动可以用偏差平方和来表示波动可以用偏差平方和来表示。正交表中第正交表中第j列的偏差平方和的计算公式列的偏差平方和的计算公式：nTq/nTS2i2ijj 此题中：此题中：S1=(555+504+592 )/3-1651*1651/9其中其中Tij为第为第j列第列第i水平的数据和，水平的数据和，T为数据总为数据总和，和，n为正交表的行数，为正交表的行数，q为该列的水平数。为该列的水平数。该列表头是哪个因子，则该该列表头是哪个因子，则该Sj即为该因子的偏即为该因子的偏差平方和，譬如差平方和，譬如SA=S1nTy