相似三角形知识点总结

1、1我爱思考1：世界上最高的树世界上最高的树 红杉红杉我爱思考2：中国中国最高的楼最高的楼 台北台北101大大楼楼怎样测量这些非常怎样测量这些非常高大物体的高度？高大物体的高度？目录1、相似多边形知识点回顾2、相似三角形的判定3、相似三角形的性质4、相似三角形的预备定理相似多边形的判定相似多边形的判定：对应角相等，对应边的比相等对应角相等，对应边的比相等的两个多边形为相似多边形的两个多边形为相似多边形.两个条件要两个条件要同时具备同时具备温馨温馨回顾回顾： 相似多边形概念：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.（2）相似多边形的识别：如果两个多边形的对应角相等，对应边的

2、比相等，那么这两个多边形相似.（3）相似比：我们把相似多边形对应边的比称为相似比. 相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等（2）相似多边形的周长比等于相似比（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方 在在10倍的放大镜下看到的三角形倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比与原三角形相比:三角形的边长三角形的边长,周长周长,面积面积,角角,发生发生什么关系？什么关系？ 相似三角形的概念：（1）相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.（2）相似三角形的表示方法：用“”表示，读作相似于.如：ABC和DEF相似，可以写成ABCDEF，也可以写成DEFABC，读作ABC相似于

3、DEF.回顾并思考回顾并思考三角、三边对应三角、三边对应相等的两个三角相等的两个三角形全等形全等 三角对应相等三角对应相等, 三三组对应边的比相等组对应边的比相等的两个三角形相似的两个三角形相似 角边角角边角ASA角角边角角边AAS边边边边边边SSS边角边边角边SAS斜边与直角边斜边与直角边HL 判定三角形相似判定三角形相似，是不是也有是不是也有这这么多种方么多种方法呢？法呢？ 相似三角形的判定相似三角形的判定方法方法：（1）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；（2）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；（3）如果一个三角形的两个角

4、与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个直角三角形相似. （5）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；边边边边边边SSS已知：已知：ABCA1B1C1.A1B1C1ABC111111.A BB CA CA BB CA C求证：求证：探究探究1 证明：在线段证明：在线段 （或它的延长线）上截（或它的延长线）上截取取 ，过点，过点D作作 ，交，交 于点于点E根据前面的定理可得根据前面的定理可得 .11A B1A DA B11D EB C11

5、A C1111A D EA B CA1B1C1ABCDE11111111A DA ED EA BB CA C1111111,A BB CA CA DA BA BB CA C1A EAC,D EBC111A B CA B C1A D EABC又又A1B1C1ABCDE111111111,A ED EB CA CB CB CA CA C（SSS）1111A D EA B C 如果两个三角形的三组对应边的比如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。相等，那么这两个三角形相似。知识要点知识要点判定三角形相似的定理之一判定三角形相似的定理之一ABCA1B1C1.111111,ABBCAC

6、A BB CA C即：即：如果如果那么那么A1B1C1ABC 三边对应成比例，两三角形相似。三边对应成比例，两三角形相似。边边边边边边SSSA BB CA CA DD EA E，求证：求证：BAD=CAE。ADCEBABCADEBAC=DAEBACDAC =DAEDAC即即BAD=CAE已知：已知：解：解：A BB CA CA DD EA E，边角边边角边SAS探究探究2已知：已知：ABCA1B1C1.A1B1C1ABC1111,A BB CkA BB C求证：求证：B =B1 .你能你能证明吗证明吗？ 如果两个三角形的两组对应边的比相如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那

7、么这两个三等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。角形相似。知识要点知识要点判定三角形相似的定理之二判定三角形相似的定理之二两边对应成比例，且夹角相等，两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。两三角形相似。边角边边角边SASA1B1C1ABCABCA1B1C1.即：即：如果如果1111,A BB CkA BB CB =B1 .那么那么角边角角边角ASA角角边角角边AAS角角角角AAA1B1C1ABC已知：已知：ABCA1B1C1.求证：求证：A =A1，B =B1 .你能你能证明吗证明吗？ 如果两个三角形的两个角与另一个如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三

8、角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。三角形相似。知识要点知识要点判定三角形相似的定理之三判定三角形相似的定理之三两角对应相等，两三角形相似。两角对应相等，两三角形相似。角角角角AAA1B1C1ABCABCA1B1C1.即：即：如果如果那么那么A =A1，B =B1 . 如果两个三角形有一个内角对应相等，如果两个三角形有一个内角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？那么这两个三角形一定相似吗？一角对应相等的两个三角形不一定相似。一角对应相等的两个三角形不一定相似。ACD CBD ABC找出图中所有的相似三角形。找出图中所有的相似三角形。“双垂直双垂直”三角形三角形BDAC有三对相似三角形

9、：有三对相似三角形：ACD CBDCBD ABCACD ABC相似三角形对应高的比等于相似比相似三角形对应高的比等于相似比 ABC A1B1C1 B = B1 又又ADB = A1D1B1 =900 ADB A1D1B1（角角）（角角）1111A DA BkA DA BA1B1C1ABCDD1证明：证明：相似三角形对应角平分线的比等于相似比相似三角形对应角平分线的比等于相似比 ABC A1B1C1 B = B1，BAC = B1A1C1 AD，A1D1分别是分别是BAC和和B1A1C1的角平分线的角平分线 BAD = B1A1D1 ADB A1D1B1（角角）（角角）1111A DA BkA

10、DA BA1B1C1ABCDD1证明：证明：相似三角形对应中线的比等于相似比相似三角形对应中线的比等于相似比A1B1C1ABCDD11111A DA BkA DA B探究探究4已知：已知：ABCA1B1C1.1111,A BB CkA BB C求证：求证：你能你能证明吗证明吗？HLABCA1B1C1RtABC 和和 RtA1B1C1. 如果一个直角三角形的如果一个直角三角形的斜边斜边和一条和一条直角直角边边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。那么这两个直角三角形相似。知识要点知识要点真命题真命题 HLABC

11、ABCA1B1C1.即：即：如果如果那么那么A1B1C11111,A BB CkA BB CRtABC 和和 RtA1B1C1. 利用利用三角形相似可以解决一些不能利用利用三角形相似可以解决一些不能 直接测量的物体的长度的问题直接测量的物体的长度的问题 学校操场上的国旗旗杆的高度我们无法直接测量，你能否借助平行的太阳光线来测量呢？6m1.2m1.6m 古希腊数学家、天文学家泰勒斯古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理，测量金字塔利用相似三角形的原理，测量金字塔的高度。的高度。DEA(F)BO2m3m201m解：解：太阳光是平行线，太阳光是平行线， 因此因此BAO= EDF又又 AOB

12、= DFE=90ABODEFBOEF=BO = 134OAFDOA EFFD=20123AFEBO还可以有其他方法测量吗？还可以有其他方法测量吗？一题多解一题多解OBEF=OAAFABOAEFOB =OA EFAF平面镜平面镜 相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.（2）相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.（3）相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.ABCDEF相似三角形的周长比等于相似比吗相似三角形的周长比等于相似比吗?从而由等比性质有从而由等比性质有KACCACBBCBAABKACCB

13、BACABCAB相似三角形的周长比等于相似比相似三角形的周长比等于相似比.已知：如图已知：如图， ABCABC，它们的相似比是它们的相似比是K， AD、AD分别是高分别是高.求证求证：2:KSSCBAABC证明证明： ABCABCKDAADCBBC22121KKKDACBADBCSSCBAABCBDCAABCD相似三角形的面积比等于相似比的平方相似三角形的面积比等于相似比的平方.已知两个三角形相似，请完成下列表格已知两个三角形相似，请完成下列表格2243131912221010100212222如图，如图，中，中，则则:四边形四边形:四边形四边形=_ .1：3：5 已知已知:梯形梯形ABCD中

14、中ADBC,AD=36cm, BC=60cm,延长延长两腰两腰BA,CD交于点交于点 O,OFBC,交交AD于于E,EF=32cm,则则OF=_.ABCDEOF80cm 已知梯形已知梯形ABCD中，中， ADBCBC，对角线，对角线ACAC、BDBD交于点交于点O O，若，若AODAOD的面积的面积为为4cm4cm2 2, , BOCBOC的面积为的面积为9cm9cm2 2, , 则梯形则梯形ABCDABCD的面积为的面积为_cm_cm2 2ABCDO解解:AODAODCOB SCOB SAOD:SAOD:SCOB=4:9COB=4:9OD:OB=2:3OD:OB=2:3SSAOD:SAOD:

15、SAOB=2:3AOB=2:3SSAOB=6cmAOB=6cm2 2梯形的面积为梯形的面积为25cm25cm2 2ADBADBC C25 相似三角形判定的预备定理相似三角形判定的预备定理： 平行于三角形一边的直线与其他两边平行于三角形一边的直线与其他两边( (或两边的延或两边的延长线长线) )相交。所构成的三角形与原三角形相似。相交。所构成的三角形与原三角形相似。 平行于平行于三角形一边的直线与其他两边三角形一边的直线与其他两边( (或两边的延长或两边的延长线线) )相交。所构成的三角形与原三角形相似。相交。所构成的三角形与原三角形相似。D DA AB BC CE E DEBCADEABCBC

16、DEACAEABAD CAEDBADEA,A相似三角形判定的预备定理：相似三角形判定的预备定理： 平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等比相等.ABCDEl1l2l3l4l5ABCDEl1l2l3l4l5L1L2L3L4L5L1L2L3L4L5ABCEDABCDE DEBC= DEBC=数学符号语言数学符号语言数学符号语言数学符号语言平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等线），所得的对应线段的比相等 如图，如图

17、，ABC ABC 中，中，DEDEBCBC，GFGFABAB，DEDE、GFGF交于交于点，则图中与点，则图中与ABCABC相似的三角形共有多少个相似的三角形共有多少个? ?请请你写出来你写出来. .解： 与ABC相似的三角形有相似的三角形有3个个:A ABCDEFGO如图，在如图，在ABC中，中，DGEHFIBC，（1）请找出图中所有的相似三角形；）请找出图中所有的相似三角形；（2）如果）如果AD=1，DB=3，那么，那么DG：BC=_。ABCDEFGHIADGAEHAFIABC1：41. 相似图形三角形的判定方法：相似图形三角形的判定方法： 定义定义 预备定理预备定理 判定定理一判定定理一

18、 (三组对应边的比相等）三组对应边的比相等） 判定定理二判定定理二 (两组对应边的比相等且夹角相等）两组对应边的比相等且夹角相等） 判定定理三判定定理三 （两角对应相等）（两角对应相等）（三边对应成比例（三边对应成比例，三角相等）三角相等）（SSS）（AA）（SAS） 对应角相等。对应角相等。 对应边的比相等。对应边的比相等。 对应高的比等于相似比。对应高的比等于相似比。 对应中线的比等于相似比。对应中线的比等于相似比。 对应角平分线的比等于相似比。对应角平分线的比等于相似比。2. 相似三角形的性质：相似三角形的性质：（1）所有的等腰三角形都相似。）所有的等腰三角形都相似。（2）所有的等腰直角

19、三角形都相似。）所有的等腰直角三角形都相似。（3）所有的等边三角形都相似。）所有的等边三角形都相似。（4）所有的直角三角形都相似。）所有的直角三角形都相似。（5）有一个角是）有一个角是100 的两个等腰三角形都相似。的两个等腰三角形都相似。（6）有一个角是）有一个角是70 的两个等腰三角形都相似。的两个等腰三角形都相似。（7）若两个三角形相似比为）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。，则它们必全等。（8）相似的两个三角形一定大小不等。）相似的两个三角形一定大小不等。1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。判断下列说法是否正确？并说明理由。ABCDFE1 1、若若 BF=3,CF=2,AD=1

20、.5,DF=6,BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6,你能求出线段你能求出线段AEAE的长的长度吗？度吗？2 2BDFBDFBACBACDFACDFACAC6233 AC=10AC=10ACDFBCBF 解：解：DEBC,DFACDEBC,DFAC四边形四边形DFCEDFCE为平行四边形为平行四边形FC=DE=2FC=DE=2，EC=DF=6EC=DF=63 32 21.51.56 66 6AE=AC-CE=10-6=4AE=AC-CE=10-6=4BDMBACABCMDE 2、 如图：在如图：在ABC中，点中，点M是是BC上上 任一点，任一点， MDAC，MEAB， 若若 求求 的值。

21、的值。= ，BDABECAC25解：解：MDAC， = = ，BDBA25BMBC = CECACMCB = 35MCBC又又 MEAB，CEMCAB2份份5份份3份份35= 1. 铁道口的栏杆短臂长铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长长臂长16m,当短臂端点下降当短臂端点下降0.5m时时,长臂长臂端点升高端点升高_8_m。 OBDCA1m16m0.5m？ 2.某一时刻树的影长为某一时刻树的影长为8米米,同一时刻身高为同一时刻身高为1.5米的人的影长为米的人的影长为3米米,则树高为则树高为_4_。 3. ABC是一块锐角三角形余料，边是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高毫米，高AD=80毫米

22、，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长上，这个正方形零件的边长是多少？是多少？NMQPEDCBA解：设正方形解：设正方形PQMN是符合要求的是符合要求的ABC的高的高AD与与PN相交于点相交于点E。设正方形。设正方形PQMN的边长为的边长为 x 毫米。毫米。因为因为PNBC，所以，所以APN ABC所以所以AEAD=PNBC 因此因此 ，得，得 x=48（毫米）。（毫米）。80 x80=x120 4. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度米的位置上，求球拍击球的高度h.（设网球是直线运动）（设网球是直线运动）ADBCE0.8m5m10m？2.4m 5. 在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻，在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻，有人测得一高为有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为米，某一高楼的影长为90米，米，那么高楼的高度是多少米？那么高楼的高度是多少米？ 6. 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作