三角恒等变换及解三角形-2021届新高考数学知识点总结与题型归纳(解析版)

1、第12讲：三角恒等变换及解三角形考点1：三角恒等变形一、三角恒等变换1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1) sin(a + /?) = sin a cos p ± cos a sin 0;(2) cos( « + /?) = cos a cos /? + sin a sin ;如(a ± 0) = ：；¥；爲 d 0，a + 0 羊 M + 舟, kEZ);变形式tana ± tan/? = tan(a ±“)(1.干 tana tan/?) (a, 0, a + 0 * Jc7r + £ , k G Z)2. 二倍角

2、公式(1) sin 2 a = 2 sin a cos a;cosa = - sin 2 a.2(2) cos 2a = cos2 a sin2 a = 1 2 sin2 a = 2 cos2 a 1;(3) tan 2 a =2 tan a1-tan2 a变形式COS?"cos 2a+1 o1-cos 2a=2 ： Sm % - 23. 辅助角公式y = a sin a + b cos a = Va? + 护(，:a + , “cos a) = y/a2 + b2 sin(a + (p),艮中O所在的象限由a、b的符号确立，e角的值tan(p =-确定. a4. 化简中常用1的技巧

3、1 '的代换 1 = sin2 a + cos2 a： 1 = 2 cos2 a 一 cos 2a» 1 = cos 2a + sin2 1 = tan-.4典例精讲【典例1】已知匕yGR,满足/+2a4/=6,则z=Y+4/的取值范围为()A. 4, 12 B. 4, +8) C. 0, 6 D4, 6【分析】/+2羽+4#=6 变形为(对y) :+ (3y) 3=6» 设 xry= v*6cos(), /3y=sin(),。 e0, 2n ).代入z=£+4/,利用同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦 公式化简整理即可得出.【解答】解：-Y

4、：+2.YjH-4y=6 变形为 Cv+y) "+ (y/3y) =6,设 xy= V6cos 0 , y/3y=岳sin 0 , 0 W 0, 2 n ).C.y= V2sin(), a= ;6cos 0 V2sin ° ,/ z=x+4y= (V6cos 0 >/2sin 0 ) +4 (/2sin 0 ) =4sin: 0 - 4V3sin 0 cos 0 +6>=2X (l-cos2 0 ) - 2V3sin2 0 +6=8-4sin (2 0+乞)，6Vsin (20+-) G- b 1.6AzG4, 12故选：a【点评】本题考查了同角三角函数基本关系

5、式、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数 的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.【典例2】已知函数f(Q =sin (2p,若方程尸3=推(0, n)的解为畑圧g<-%)> 则 sin (為龙)=()竽B.擇C. -1D.【分析】由己知可得兀2 = -Xi，结合及<上求得*1的范用，再由sin(*i - .Y：) = sin(2x1 -)6 6【解答】解:V0<-Y<nt A2X-G-),3 33又北是sin (2龙一扌)=扌的两根，可知宇=当33212Sn兀 2 = yxi,Asin (Xi - -Yb) =sin (.2x± ) = -

6、cos (2x± -)63 X5zrX2 =%1 t一 6.贝02%! -G (-> -),故 cos (2%i -) = »1233233Asin (X： - Ab) = 3故选：a【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查y=Asin (de)型函数的图象和性质，是中档题.【典例 3己知 sin2a =-> 则tana H=()3 tanaA. B V2 C 3 D 2【分析】由二倍角化简，sin2a =2sinacosa ,可得穿讐 =£弦化切，即可求解.【解答】解：由sin2 a =2sin a cos a ,可得Isinacosasi

7、n2a-¥cos2a 2tana _ 2 tan2a+l 3即 tan: a 3tan a +1=0.可得tana H = 3 tana故选：c.【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式和二倍角公式的应用，属于基本知识的考査.【典例4】已知sina + cosa = 1, aw(0,;r),则匕凹巳=()21-tana【分析】把已知等式两边平方，求得sinacosa，进一步得到sincr-cosa的值，联立求得sina ,COSC , 得到iana,代入得答案.【解答】解：由sina + cosof =aw（O,龙）,2z13得 1 + 2sinacoscr = 一, 2sinaco

8、sa = 一一44则sina>0, cosa<0 ,.- sin a - cos a = J(sina - cosa)? = Jl - 2 sin a cos a =联立Jsina-t-cosa =-厂厂2, 解得 sin a = _ , cos a =“44sina-cosa =21-V731 4+厲1 - tan a 4 + J? 71 +31 + tan a故选：B.【点评】本题考査三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题.【典例5】已知一中V。<? 2tan3 =tan2«, tan ( B -8,则 sin。(【分析】2tan 3 =

9、tan2 o >A2tan (0 - a+a )=上兽，变形可得tana = - 2,可得 l-tan-asin« = -5【解答】解：V2tanP =tan2a , A2tan (P - a+ci )= 讼彎l-tan-a 2tan(/?-a)+2tana _ 2tana l-tan(/?-a)tana l-tan2a -16+2tana _ 2tana l+8tana l-tan2a化简得 tana = _ 2,皿(_f, 0), I sin(】=故选：B.【点评】本题考査了两角和与差的三角函数，属中档题.【典例6】若a G/兀），且3cos2a = 2sin（ a）,则c

10、os2 a的值为（）c.D.【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式可求cosa+sina=®,两边平方，解 得 sin2 a = ?,可求 cos « - sin a = J(cosa sfna)2 =纟,由+可得 cos a =二 936利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解cos2a的值.【解答】解:*/a Ef n) 9 且3cos2a = 2sin( a)9A3 (cos* o - sin: o ) = /2 (cos(-sin « )3 (cos a - sin« ) (cos a +sin« )= 返 (cos « -

11、 sin a )>A cos « +sin a =，或 cos(】-sin « =0,(舍去)， 两边平方,可得：l+sin2a = ?解得:sin2a = -l,cos a - sin a = 5/(cosa sina)2 = fl sin2a = J 1 -(-彳)= -扌，由+可得：cos a =三二6可得：cos2« =2cos'a - 1 = 2X故选：A.【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简 求值中的应用，考査了计算能力和转化思想，属于中档题.【典例 7】已知sin(a+ -) = > *

12、(0,龙)，则cos(2a + )=_2"4 66【分析】根据条件得到 sin a 4- cos a =岁，sin a cos a = J(sina-cosa)' = Jl - sin 2a = 进而求得sina, esc,再利用两角和差公式运算即可【解答】解：sin(a + £) = (sina + cosa) = ,则有sina+cosf ,7两边平方可得：l + sin2a = -,贝ijsin2a =-一，即有2sinacosa<0 33又因为 a w(0"),所以 sin a > 0» cosa<0 , 贝 U sin

13、 a - cos a = yj(sin ex -cosay =小 - sin 2a =（法-）将sina-cosa = 与sin cos畔联立后解得论=牟些 则2曲 = 2x(迂並)£ 所以8心+金孚（一爭（一|）= 呼(法二)因为cos2a = cora-sin = -(sina + cosa)(sina-cosa) = -x = -, 所以 cos(2a + f) = £x(- £)-卜(-|)=岂叵 故答案为：零【点评】本题考查两角和差的三角函数的求值，涉及方程思想，属于中档题【典例8】已知c, Q是函数/（x） = sinx + cosA-在0 , 2龙）

14、上的两个零点，则cos(a-0) = ()A一1B一兰C一迟D092【分析】利用函数与方程之间的关系，结合三角函数的诱导公式，同角的三角函数的关系以 及两角和差的三角公式分别进行转化求解即可. ( 1【解答】解:解法一：依题意，/(a)= /'(0)= o,故sina + cosa = -,由.sma + cosa一亍,siira cos2a = 得9sin a-3sina-4 = (), 9cos2 a 3cosa 4 = 0且sinaHcosa , 所以sina f COS Of 是方程9/ -3 4 = 0(*)的两个异根.同理可证，sin/?, cosQ为方程(*)的两个异根.

15、可以得到sindHsinQ,理由如卜：假设sincr = sin/7 则cosa = cos0,又c, /7 e 0, 2龙)，则a =卩、这与已知相悖，故sin a h sin卩从而sina, sin0为方程广)的两个异根，448故 sinasin0 = -g 同理可求 cosacos0 = -§, JWcos(a - /?) = cos a cos a + sin a sin.解法二：令 f (x) = 0 ,得sinx + cosx = *.令 g(x) =sin A" + cos x, 即 g(x) = >/2sin(x+彳), 则C, Q即为g(x)与直线y

16、 =+在0, 2兀)上交点的横坐标， 由图象可知，三£ =芋，故0 =耳-。又>/2 sin(a+ -) = -!-4 3 解法三：依题意，不妨设0/7<a<2/r，则点A(cosa.sina)，B(cos0.sin0)为直线 x+y- = 0与单位圆的两个交点，3如图所示取中点为则0H丄记ZAOH = 0则a 卩="一还 所以» cos(cz Q) = cos(2” 20) = cos 26 = 2cos2 & 一 1 另一方而，OHj2、8从而 cos(a 一 0) = 2x (-)2 一 1 = 一69故选：B【点评】本题主要考查三

17、角函数值的汁算，利用函数与方程的关系，以及利用三角函数辅助角公式.同角关系以及两角和差的三角公式进行转化计算是解决本题的关键.难度中等.考点2：解三角形一、三角形当中的角与角之间的关系1. A + B + C = n2. sin A = sin( B + C) = sin B cos C + cos B sin C3. cos A = cos( B + C) = (cos B cos C sin B sin C)4.tan 4 = tan( 3 + C)=tanB-¥tan C1-tan B tan C二、正弦定理1. 正弦定理：三=三=丄7=2&(/?为三角形外接圆半径)s

18、in A stnB sinC2. 正弦定理变形式：sin力=；sinB = ： sinC =2R2R2R(2) a： b：c = sin A : sin B : sin C3. 正弦定理的应用(1) 已知两角和任意一边，求另一角和其它的两条边(2) 已知两边和英中一边的对角，求另一边和苴中的对角三、余弦定理1. 余弦定理：a2 = b2 + c2 2be cos A ；b2 = c2 + a2 2accosBc2 = a2 + b2 2ab cos C:2. 余弦定理变形式：b2+ccos A =2bccos B =:2ac厂a2+b2-c2cos C =.2ab3. 余弦定理的应用(1) 已

19、知三边，求各角(2) 已知两边和它们的夹角，求第三个边和苴它的两个角(3) 已知两边和其中一边的对角，求其它的角和边.四、面积公式1. Sj = ；ah =；bh =；ch (力、h、分别表示 a、b、c 上的高);2 a 2 b 2 c a b c2. Sa -absinC = - be sin A = -acsinBx* 2 2 23. SA = -absinC =：4 24R4£ =+ b + c) (r'为三角形内切圆半径).典例精讲【典例1】在/XMC中，角儿B, Q所对应的边分别为6 b、c.已知4 3帖，c= 6V2, tan (J+-) =2,则 a=()4A

20、. 15 B 3的 C 3 D 62【分析】先根据已知可得COSE的值，再根据余弦左理可得a.【解答】解：由 tan (A+ -) = tanA =2» 解得 tanJ= Acos/1=4 1-tanA310由余弦左理可得- 2ccosJ=45+72 - 36V10 X =9,10/ a=3 故选：C.【点评】本题考查了余弦圧理，属中档题.【典例2】如图，在遊中，点。在边BC匕且BD=2DC、ZDAC=3Q° , AD=2. 'ABC的面积为3齿，则线段曲的长度为()A. 3 B 2/2 C 2询 D 3V2【分析】由已知可求宓的面积为逅，利用三角形的而积公式可求A

21、C=2晅，根据余弦左 理在川8中可求CD=2、由已知可求Zr=30° , BD=4,在/iSC中，根据余弦左理即可 解得M的值.【解答】解：:BD=2DC、ZDAC=3Q° , AD=2. 遊的而积为3逅，:.AADC的面积为帖，可得：-AD 力C sinZDAC = 1 x 2 X >1C X - = V3»222解得：AC=2届:ACD 中，(77 = 12+4 - 2x 2/3 X 2 Xcos30° =4, 解得 CD=2、VZZZ4r=30° , AD=2、BD=2DC,ZO=30° , BD=.在月07中，Aff=

22、(2/3) :+6:-2x2V3 X6 Xcos30° =12,解得：AB=2長.故选：C.【点评】本题主要考查了三角形的而积公式，余弦左理在解三角形中的综合应用，注重考查 了运算能力和转化的思想方法，本题的难点在于将月證的而积转化为磁的而积，这样 才能把已知条件转移到同一个三角形中，再根据正弦左理，余弦左理得出相应的边长，属于 中档题.【典例3】在遊中，角A.B.C所对的边分别为a,b,c sin J - sin 5 - sinC= - sinBsinC.7 = ； + V5， 则 tanZ =（）b 2A. 2 B. k. 2 +艺 D.型巴234【分析】由条件利用正弦泄理可得乞

23、心£= - be,再由余弦定理可得COSzl= - 可得月= 60° ,利用正弦函数，三角函数恒等变换的应用化简已知等式从而求得tan万的值.【解答】解：在個7中，由sin:J - sin:5- sirfC= - sin万sinG利用正弦立理可得：L - be、再由余弦左理可得：cosA=b2a2 =ZbcZoe z:.A=6Q° ,V = | + V3,由正弦定理可得:sinC=sin5 （；+V3）,o 22可得：sin （严万）=sin5 + V3）,葬cosSF?siii5= fsin辞V5sin万，；可得：tan=2故选:B.【点评】本题主要考查正弦立理

24、和余弦龙理的应用，根据三角函数的值求角.【典例4】如图所示，在一个坡度一宦的山坡M的顶上有一高度为2%的建筑物 为了 测量该山坡相对于水平地而的坡角o ,在山坡的£处测得ZDAC=15° ,沿山坡前进50也到 达万处，又测得ZDBC=4M，根据以上数据可得cosO=_V3-l_【分析】先在迦中用正弦左理求得助，再在破中用正弦左理求得sinZDCB.然后根 尿ZDCB= 0+y可求得.【解答】解:VZZMC=15°,ZDBC= 45° , :.ZADB=30a ,ABBDABsinZADB “ / 疗 匚、由正弦定理得:嬴融=石五齐 ® 咖“朋一

25、25 W6 -应）,在飒中，425, ZT5。迓25（V6-V2），由正弦泄理寻=侥 .sinZ=V3-l,Asin（ ° + *）=員It /.cos 0 =齿1. 故答案为：V3 1.【点评】本题考查了正弦左理以及诱导公式，属中档题.【典例5】如图所示，为了测量A, 3处岛屿的距离，小明在D处观测，A, 3分别在D处的北偏西15。、北偏东45。方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测3在C处的正北方向，4在C处的北偏西60。方向，则4, 3两处岛屿间的距离为（）A20晶海里B40“海里C20(l + >/3)海里D. 40海里【分析】分别在MCD和ABCD中利用正弦左理计

26、算AD, BD,再在A4BD中利用余弦左理计算AB.【解答】解：连接由题意可知 CD = 40, ZADC = 105°, ZBDC = 45°, ZBCD = 90°, ZACD = 30°,/.ZC4D = 45°, ZADB = 60%在AACD中，由正弦定理得仝-二.AQ = 2OQsin 30° sin 45°在 RtABCD 中，vZBDC=45°, ZfiCD = 90°,. BD = >/CD = 40忑.在 AABD 中，由余弦左理得 AB = 700 + 3200 - 2 x 2

27、02 x 40>/2 x cos60° = 20x/6 .故选：4【点评】本题考查了解三角形的应用，合理选择三角形，利用正余弦左理计算是关键，属于中档题.【典例6已知 WC的三边分别为“ b, 若满足/+/+2疋=8,则辺C而积的最大值为()(41 - 4Z一2 C23C_(8【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦泄理可求寸=匚初卅_3(",416进而利用基本不等式，从而可求52i-(c2-)S从而利用二次函数的性质可求最值.【解答】解：由三角形而积公式可得：S = LabsinC,2可得：S2 =丄“芳(l_cos，C)=丄"专1一(&qu

28、ot;+少一广门,442ab/ =8, ./+，=8-26< 可得：/+，=8-2疋$2",解得：-宀 当且仅当"b时等号成立，丄曲-(灶丁5c16】=_一 + r16=当且仅当"二b时等号成立，5 165.当时，-竺1 +疋取得最大值上，S的最大值为墮.5 1655故选：B【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式.余弦宦理.基本不等 式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等.【典例7 MBC的内角A、 B、C的对边分别为八b、c ,已知 a = V3,/?sin B + csin C = asin A 4-csi

29、n B ,则 ABC 的周长的最大值是（）A. 3>/3D. 4 + Q【分析】由已知利用余弦定理可求4,利用"=3和sinA的值，根据正弦泄理表示出b和 代入三角形的周长a+b+c中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为 一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可得到周长的最大值.【角 由a = ®结合正弦泄理得：丄=_=厶=芈=2,sin A sinB sinCT:.b = 2sin B , c = 2sin C , 贝 lJ“ + b + c = V5 + 2sin B + 2sin C=+ 2 sin B + 2sin( - B)3=>/3

30、+ 3sinB + >/3cosB= x/3 + 2V3sin(B + -),答】W： v a = >/3 J?sin B + csinC = nsin A + csin B ,由正弦定理可得：夕+疋-，=加,2bcbe _ 12b=2v Ae(0.7T) 3可知周长的最大值为3妇故选：A.【点评】此题考査学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题.综合练习一.选择题(共5小题)1. 已知函数/(x)=sinx4-2cosx>若直线x = 0是曲线y = f(x)的一条对称轴，则cos2<9 =3&qu

31、ot;" 5 【分析】引入辅助角0，根据对称性的性质可得，sin(& + 0) = ±l,从而8 +卩=*兀+刼，展z， 结合诱导公式及二倍角公式即可求解.【解答】解:2. f(x) = sin x + 2cosx = JsinO + °)(sin (p =二5COS0 =的一条对称轴方程是x=e, .sin(& + 0) = ±1 I 二。+卩=*龙+«龙,kez 。= 一卩+*龙+, kez .28 = 20+龙+ 2/br，kez i cos2° = 2cosF-l = -, .cos 20 = -cos 2(p

32、 = g 故答案为：5【点评】本题考査正弦函数的性质，突出考査其对称性，考查分析、运算能力，属于中档题.2. 若关于*的方程(sinAH-cosAO :+cos2x=/27在区间0,兀)上有两个根為，xz>且xl x： > 夕则实数巾的取值范围是()4A. 0, 2) B. 0, 2 C. 1, V2 +1 D. 1, V2 +1)【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步 利用函数的性质求出结果.【解答】解：关于x的方程(sinA-4-cos.Y):+cos2.y=/?7在区间0, n )上有两个根及，疋，方程即 sin2A-+cos2x=/

33、77- 1,即 sin (2a4-Asin (2a+&) = 在区间0, n )上有两个根為，上，且k -及2 ?VjvG 0, n ), A2A+-ep, -),4442 V2 2求得0SW2,故选：B.【点评】本题主要考査三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题.3. 周髀算经中给岀了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼 成一个大的正方形，若图中直角三角形的一个锐角为u ,且小正方形与大正方形面积之比为 9： 25,则sin2o的值为()D.1625【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系可得5sin« - 5cos « =3,两边平

34、方并利用二 倍角的正弦公式，求得sin2a的值.【解答】解：小正方形与大正方形而积之比为9： 25,设小正方形的边长为3,则大正方形边长为5,由题意可得，小直角三角形的三边分别为5cos a , 5sina , 5, 4个小直角三角形全等，故有5cosa +3 = 5sin a ,即5sina - 5cos a =3,平方可得sin2«=-,25故选：D.【点评】本题主要考査直角三角形中的边角关系，二倍角的正弦公式的应用，属于中档题.4. 在A4BC中，角A, B , C所对的边分别为b, c, S表示A4BC的面积，若ccos B + bcos C = a sin A ,f (戸+

35、/疋)，贝'J ZB = (A. 90°C. 45°D. 30°【分析】由正弦立理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinA = l,结合4的范I羽可 求A = 90”，由余弦泄理、三角形而积公式可求tanC = V3,结合范围0°<C<90%可求 C的值，根据三角形而积公式可求3的值.【解答】解：由正弦定理及ccosB+bcosC = asinA , 得 sinCcosB4-sin BcosC = sin2 A ,可得：sin(C 4- B) = sin2 A 可得:sinA = l>因为 0°<A<

36、I80% 所以A = 90° :由余弦泄理、三角形面积公式及3 =迺（/异+/-工）,4得丄ab sin C = *2/? cos C ,24整理得tanC = 73 , 又0° <C<90% 所以C = 60°, 故3 = 30° 故选：D.【点评】本题主要考査正、余弦立理、两角和的正弦函数公式、三角形而积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.5. 在磁中，角A.B, C所对的边分别为a, b, 6 a=3, c=2届 bzinA= acos(B +-),贝 =6( )A. 1 B y/2 C逅 D貞【分析】由正

37、弦左理得Z?sinJ=asin5t与bsinA=acos (肝壬)，由此能求岀B.由余弦左 6理即可解得&的值.【解答】解：在磁中，由正弦宦理得：壬=丄，得bsinA=asinB. sinA sinB又&sinJ=acos (丹工)6asinB= acos即 sin5=cos (5+-) =coscos-sinjfein-= cos5-sin5»6 6 6 6 2 2令 A坊tan氏，又 BE (0, n ),：.B=6在中，a=3, c=2屆由余弦左理得 b= a2 c2 2accosB = 9 + 12 2 X 3 X 2y/3 X 学=3.故选：C.【点评】本题

38、考查角的求法，考査两角差的余弦值的求法，考査运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.二.填空题(共4小题)6. 已知 sin: ( o +-) +cos2 ( a - -) = -若 a W (0,肌)，则 a = 工或上6 3262【分析】根据。一扌=(】+壬一扌以及诱导公式变形可得.2 6 2【解答】解：由 sin* ( ci + -) +cos: ( « -) = 得 sin" ( « +-) +cos" ( a + -6 326622得 sin： (a +-) +sin： (a +-) =6 6 2得 sin： ( a +-)=-> 得 sin ( a +-) =±6462T a G(0, n ), a + 手丘(R )6 6 6 H 亢-4 亠 7T 2 7Z a + = 口戈 a + =,6363a = 7或 a = 了 b乙故答案为：?或,6 2【点评】本题考査了两角和与差的三角函数，属中档题.7. 在磁中，若 tanJ+tantarvltan5= 1,则 cos:J+cos:5的范围为 (,+1