概率论与数理统计习题课PPT课件

1、第1页/共22页 概率的公理化定义概率的公理化定义 S , 是它的是它的是随机试验是随机试验设设 E , AP , 赋予一个实数赋予一个实数的每一个事件的每一个事件对于对于样本空间样本空间AE : , A件件如果它满足下列三个条如果它满足下列三个条的概率的概率称之为事件称之为事件 ; 0 1 AP 非负性非负性 ; 1 2 SP 规范性规范性 , 321有有对于两两互斥事件对于两两互斥事件AA 2121 APAPAAP 可列可加性可列可加性一、概率的公理化定义一、概率的公理化定义第2页/共22页 1性质性质 0 . P 2性质性质 , , 21则则两两互斥两两互斥设有限个事件设有限个事件nAA

2、A 1212 . nnP AAAP AP AP A 3 性质性质 , 有有对于任何事件对于任何事件A . 1APAP 4 性质性质 , , 则则且且为两事件为两事件、设设BABA BPAPBAP 并且并且 . BPAP 二、概率的性质二、概率的性质第3页/共22页 , 都有都有对于任一事件对于任一事件A . 1 AP , , 则则为任意两个事件为任意两个事件设设BA ABPBPAPBAP CBAP ABPCPBPAP ABCPBCPACP 性质5 对任意事件A,B有 P(A-B)=P(A)-P(AB) 性质6性质7第4页/共22页称这种试验为等可能随机试验或古典概型. 若随机试验满足下述两个条

3、件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同. AP 中的基本事件总数中的基本事件总数包含的基本事件数包含的基本事件数SA 三、古典概型三、古典概型古典概型中事件A的概率的计算公式 :第5页/共22页设A、B是两个事件，且P(B) 0 , 则称 )()()|(BPABPBAP1. 条件概率的定义为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.四、条件概率四、条件概率第6页/共22页 2)在缩减的样本空间中直接计算 2. 条件概率的计算1) 用定义计算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0第7页/共22页若 P(B) 0 , 则 P(AB)=P(B)P(A|

4、B)若 P(A) 0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A) 事件A与B独立的充要条件是()( ) ( )P ABP A P B第8页/共22页七、伯努利定理：设在一次试验中,事件A发生的概率为 ，则在n重伯努利试验中,事件A恰好发生k次的概率为p( )(1),(0,1, ).kkn knnP kC ppkn第9页/共22页, SE的样本空间为的样本空间为设试验设试验nBBB, , 21 , , 则对则对且且的一个划分的一个划分为为n,iBPSi 210 , 恒有恒有样本空间中的任一事件样本空间中的任一事件A niiiB|APBPAP1第10页/共22页njjjiiiABPAPABPAPBA

5、P1)()()()()|(ni, 21, SE的样本空间为的样本空间为设试验设试验12 , ,nAAA为样本空间的一个划分 , B 为 S 中的任一事件 ,且P(B) 0 , 则有第11页/共22页例例1 1 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A A、B B、C C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A A、B B、C C的运算关系表示下列事件：:654321“三人均未命中目标”“三人均命中目标”“最多有一人命中目标“恰有两人命中目标”“恰有一人命中目标”“至少有一人命中目标AAAAAACBACBACBACBACBABCACABBACACBABCCBA第12页/共22页例2. 设A,B,C是三

6、事件,且 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=P(BC)=0 , P(AC)=1/8 ,求A,B,C至少有一个发生的概率.解=P(A)+ P(B)+ P(C)- -P(AB)- -P(AC)- -P(BC)+P(ABC) 所求概率为 P(ABC)由于ABC AB,或ABC BCP(ABC) P(AB)=0非负性0 P(ABC)=0P(ABC)=3 (1/4)-(1/8)=5/8第13页/共22页例3已知P(A)=1/4,P(B|A)=1/3,P(A|B)=1/2,求P(AB).P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)故1213141)( ABP6121121)()

7、()( BAPABPBP因此311241216141)( BAP 解 P(AB)=P(A)+P(B)- -P(AB) 例4 每次试验成功率为 ，则在3次重复试验中至少失败一次的概率为_.(01)pp31p第14页/共22页 例5 设甲袋中装有n只白球,m只红球;乙袋中装有N只白球,M只红球. 今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中,再从乙袋中任意取一只球.问取到白球的概率是多少?解 设事件B表示“从甲袋中取出一只白球”则事件B表示“从甲袋中取出一只红球”事件A表示“从乙袋中取一只白球”.( ),nP Bnm1( | ),1NP A BNM.) 1)()(111)( MNmnnmnNMNNmnmMNN

8、mnnAP按全概率公式 P(A)=P(B)P(A|B)+P( )P(A| )P(A)=P(B)P(A|B)+P( )P(A| )BB( ),mP Bnm(|).1NP A BNM第15页/共22页例6 从0,1,9共十个数字中任取三个不同的数, 设A 表示“三个数中不含3和4”, 则P(A)= 715例7 已知 ,且A与B相互独立，则 P(A+B)=_,P(A-B)=_.( )0.3, ( )0.5P AP B0.650.15例8 设 ，则P(AB)可能为_12( ), ( )23P AP BA. 0 B. 1 C. 0.6 D.16D第16页/共22页21. 已知男子有5%是色盲患者,女子有

9、0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少? 解 先假定男人数为M,女人数为N,求出一般结果. 设从人数为M+N的人群中随机地挑选一人,A表示此人是男人的事件,B表示此人是色盲患者的事件.则,)(NMMAP ,)(NMNAP P(B|A)=5%, P(B|A)=0.25%, 要求P(A|B)()(BPABP 而 P(AB)=P(A)P(B|A)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)全概率公式)()()()()()()|(ABPAPABPAPABPAPBAP 贝叶斯公式%25. 0%5%5 NMNNMMNMM特别,M=N时

10、,21200025. 005. 005. 0%25. 021%521%521)|( BAP第17页/共22页28. 三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少? 解 设事件Ai表示“第i人能译出”, i =1,2,3由题意P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4, A1,A2,A3及其逆事件相互独立,三人中至少有一人能译出为事件A1A2A 3法一: P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) - -P(A1A2) - -P(A1A3)- -P(A2A3)+P(A1A2A3)=P(A1)+

11、P(A2)+P(A3)- -P(A1)P(A2)- -P(A1)P(A3)- -P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)6 . 0413151413141513151413151 法二:P(A1A2A3)=1- -P(A1A2A3) =1- -P(A1A2A3)=1- -P(A1)P(A2)P(A3) =1- -1- -P(A1)1- -P(A2)1- -P(A3)6 . 05352143325414113115111 第18页/共22页第19页/共22页AAB B：努力学习， ：不努力学习， ：考试及格， ：考试不及格_P(B|A)=0.9P(B|A)=0.9P(A)=0.9,P(A)=0.1由题意：，则_P(A | B),P(A | B)_P(AB)P(B|A)=0.9P(AB)=0.81P(A)P(A B)P( B |A )=0.9P(A B)=0.09P(A) 由， 得， 得_P(AB)P(AB)P(A | B)=,P(A | B)=P(B)P(B)求第20页/共22页 0.9=0.81+P(AB),P(AB)=0.09,P(B)=0.09+0.09=0.18_ P(B)=0.82P(B)=P(AB)+P(AB)P