已修改圆锥曲线含轨迹问题

1、圆锥曲线(含轨迹问题)1. 掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法2. 了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；了解双曲线的简单几何性质3. 了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；了解抛物线的简单几何性质练习：1. 若椭圆1的离心率e，则m的值是_2.若抛物线y22x上的一点m到坐标原点o的距离为，则m到该抛物线焦点的距离为_3.双曲线2x2y260上一个点p到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为_4.已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为f1、f2，

2、离心率为e，若椭圆上存在点p，使得e，则该椭圆离心率e的取值范围是_例1、已知椭圆g：1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆g交于a、b两点，以ab为底边作等腰三角形，顶点为p(3,2)(1) 求椭圆g的方程；(2) 求pab的面积例2、直角坐标系xoy中，中心在原点o，焦点在x轴上的椭圆c上的点(2，1)到两焦点的距离之和为4.(1) 求椭圆c的方程；(2) 过椭圆c的右焦点f作直线l与椭圆c分别交于a、b两点，其中点a在x轴下方，且3.求过o、a、b三点的圆的方程例3、已知椭圆y21的左顶点为a，过a作两条互相垂直的弦am、an交椭圆于m、n两点

3、(1) 当直线am的斜率为1时，求点m的坐标；(2) 当直线am的斜率变化时，直线mn是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由例4、如图，在平面直角坐标系xoy中，已知圆b：(x1)2y216与点a(1,0)，p为圆b上的动点，线段pa的垂直平分线交直线pb于点r，点r的轨迹记为曲线c.(1) 求曲线c的方程；(2) 曲线c与x轴正半轴交点记为q，过原点o且不与x轴重合的直线与曲线c的交点记为m、n，连结qm、qn，分别交直线xt(t为常数，且t2)于点e、f，设e、f的纵坐标分别为y1、y2，求y1·y2的值(用t表示)练习：1.已知双曲线1

4、(a>0，b>0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为_2.已知f是椭圆c的一个焦点，b是短轴的一个端点，线段bf的延长线交c于d点，且2，则c的离心率为_3.若椭圆1的焦点在x轴上，过点作圆x2y21的切线，切点分别为a，b，直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_4.设双曲线的左准线与两条渐近线交于a，b两点，左焦点在以ab为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为_5.如图，在平面直角坐标系xoy中，m、n分别是椭圆1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于p、a两点，其中p在第一象限，过p作x轴的垂线，垂足为c，连结ac，并

5、延长交椭圆于点b，设直线pa的斜率为k.(1) 当直线pa平分线段mn时，求k的值；(2) 当k2时，求点p到直线ab的距离d；(3) 对任意k>0，求证：papb.6.如图，椭圆的中心为原点o，离心率e，一条准线的方程为x2.(1) 求该椭圆的标准方程；(2) 设动点p满足：2，其中m，n是椭圆上的点，直线om与on的斜率之积为，问：是否存在两个定点f1，f2，使得|pf1|pf2|为定值？若存在，求出f1，f2的坐标；若不存在，说明理由(2011·苏锡常镇二模)(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的中心在原点o，右焦点f在x轴上，椭圆与y轴交于a、b两点

6、，其右准线l与x轴交于t点，直线bf交椭圆于c点，p为椭圆上弧ac上的一点(1) 求证：a、c、t三点共线；(2) 如果3，四边形apcb的面积最大值为，求此时椭圆的方程和p点坐标(1) 证明：设椭圆方程为1(ab0)，则a(0，b)，b(0，b)，t.(1分)at：1，bf：1，(3分)联立解得：交点c，代入得(4分)1，(5分)满足式，则c点在椭圆上，a、c、t三点共线(6分)(2) 解：过c作cex轴，垂足为e，obfecf.3，ceb，efc，则c，代入得1， a22c2，b2c2.(7分)设p(x0，y0)，则x02y2c2.(8分)此时c，acc，sabc·2c·

7、;c2，(9分)直线ac的方程为x2y2c0，p到直线ac的距离为d，sapcd·ac··c·c.(10分)只需求x02y0的最大值(解法1) (x02y0)2x4y2·2x0y0x4y2(xy)(11分)3(x2y)6c2， x02y0c.(12分)当且仅当x0y0c时，(x02y0)maxc.(13分)(解法2)令x02y0t，代入x22y2c2得(t2y0)22y2c20，即6y4ty0t22c20.(11分)(4t)224(t22c2)0，得tc.(12分)当tc，代入原方程解得：x0y0c.(13分) 四边形的面积最大值为c2c2c2

8、，(14分) c21，a22，b21，(15分)此时椭圆方程为y21，p点坐标为.(16分)第13讲圆锥曲线(含轨迹问题)1. 已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_，若该方程表示双曲线，则m的取值范围是_【答案】 (，1)(2，)2. 点p为椭圆1(a>b>0)上一点，f1 ，f2为椭圆的焦点，如果pf1f275°，pf2f115°，则椭圆的离心率为_【答案】 3. 已知抛物线y22px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a、b两点，若线段ab的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为_【答案】x14. 设p点在圆x2(y2)21

9、上移动，点q在椭圆y21上移动，则|pq|的最大值是_【答案】1解析：圆心c(0,2)，|pq|pc|cq|1|cq|，于是只要求|cq|的最大值设q(x，y)， |cq|， 1y1， 当y时，|cq|max， |pq|max1.5. (2011·南京二模)如图，椭圆c：1的右顶点是a，上、下两个顶点分别为b、d，四边形oamb是矩形(o为坐标原点)，点e、p分别是线段oa、am的中点(1) 求证：直线de与直线bp的交点在椭圆c上；(2) 过点b的直线l1、l2与椭圆c分别交于点r、s(不同于b)，且它们的斜率k1、k2满足k1k2，求证：直线rs过定点，并求出此定点的坐标(1)

10、证明：由题意得a(4,0)，b(0,2)，d(0，2)，e(2,0)，p(4,1)所以直线de的方程为yx2，直线bp的方程为yx2.解方程组得所以直线de与直线bp的交点坐标为.因为1，所以点在椭圆1上即直线de与直线bp的交点在椭圆c上(2) 解：直线br的方程为yk1x2.解方程组得或所以点r的坐标为.因为k1k2，所以直线bs的斜率k2，直线bs的方程为yx2.解方程组得或所以点s的坐标为.(若写成“同理可得点s的坐标为”也可以)所以r、s关于坐标原点o对称，故r、o、s三点共线，即直线rs过定点o.6. (2011·扬州三模)如图，已知椭圆c：1(a>b>0)，

11、点a、b分别是椭圆c的左顶点和上顶点，直线ab与圆g：x2y2 (c是椭圆的半焦距)相离，p是直线ab上一动点，过点p作圆g的两切线，切点分别为m、n.(1) 若椭圆c经过两点、，求椭圆c的方程；(2) 当c为定值时，求证：直线mn经过一定点e，并求·的值(o是坐标原点)；(3) 若存在点p使得pmn为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围解：(1) 令椭圆mx2ny21，其中m，n，得所以m，n，即椭圆为1.(2) 直线ab：1，设点p(x0，y0)，则op的中点为，所以点o、m、p、n所在的圆的方程为22，化简为x2x0xy2y0y0，与圆x2y2作差，即有直线mn：x0xy0y.因

12、为点p(x0，y0)在直线ab上，所以1，所以x00，所以得x，y，故定点e，··.(3) 直线ab与圆g：x2y2(c是椭圆的半焦距)相离，则，即4a2b2c2(a2b2)，4a2(a2c2)c2(2a2c2)，得e46e240.因为0e1，所以0e23.连结on、om、op，若存在点p使pmn为正三角形，则在rtopn中，op2on2rc，所以c，a2b2c2(a2b2)，a2(a2c2)c2(2a2c2)，得e43e210.因为0e1，所以e21.由，得e23，所以e.基础训练1. 3或2. 3. 244. 1,1)解析： e, pf1epf2e(2apf1)，pf1

13、，又acpf1ac， acac，a(1e)a(1e)，1e1e，解得e1.又0e1, 1e1.例题选讲例1解：(1) 由已知得c2，.解得a2，又b2a2c24.所以椭圆g的方程为1.(2) 设直线l的方程为yxm.由得4x26mx3m2120.设a、b的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，ab中点为e(x0，y0)，则x0，y0x0m；因为ab是等腰pab的底边，所以peab.所以pe的斜率k1.解得m2.此时方程为4x212x0.解得x13，x20.所以y11，y22.所以|ab|3.此时，点p(3,2)到直线ab：xy20的距离d，所以pab的面积s|ab|&#

14、183;d.例2解：(1) 由题意，设椭圆c：1(ab0)，则2a4，a2.因为点(2，1)在椭圆1上，所以1，解得b，故所求椭圆方程为1.(2) 如图设a(x1，y1)，b(x2，y2)(y10，y20)点f的坐标为f(3,0)由3，得即又a、b在椭圆c上，所以解得所以b，代入得a点坐标为(2，)因为·0，所以oaab.所以过o、a、b三点的圆就是以ob为直径的圆，其方程为x2y2xy0.变式训练已知点p(4,4)，圆c：(xm)2y25(m<3)与椭圆e：1(a>b>0)有一个公共点a(3,1)，f1、f2分别是椭圆的左、右焦点，直线pf1与圆c相切(1) 求m

15、的值与椭圆e的方程；(2) 设q为椭圆e上的一个动点，求·的取值范围解：(1) 点a坐标代入圆c方程，得(3m)215. m3， m1.圆c：(x1)2y25.设直线pf1的斜率为k，则pf1：yk(x4)4，即kxy4k40. 直线pf1与圆c相切， .解得k或k. 当k时，直线pf1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去当k时，直线pf1与x轴的交点横坐标为4， c4，f1(4,0)，f2(4,0). 2aaf1af256，a3，a218，b22.椭圆e的方程为：1.(2) (1,3)，设q(x，y)，(x3，y1)，·(x3)3(y1)x3y6. 1，即x2(3y)21

16、8，而x2(3y)22|x|·|3y|， 3xy3.则(x3y)2x2(3y)26xy186xy的取值范围是0,36. x3y的取值范围是6,6 ·x3y6的取值范围是12,0. (注：本题第二问若使用椭圆的参数方程或线性规划等知识也可解决)例3解：(1) 直线am的斜率为1时，直线am方程为yx2，代入椭圆方程并化简得5x216x120，解之得x12，x2， m.(2) 设直线am的斜率为k，则am：yk(x2)，则化简得(14k2)x216k2x16k240. 此方程有一根为2， xm，同理可得xn.由(1)知若存在定点，则此点必为p. kmp，同理可计算得kpn. 直

17、线mn过x轴上的一定点p.变式训练在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，其焦点在圆x2y21上(1) 求椭圆的方程；(2) 设a、b、m是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角，使cossin. 求证：直线oa与ob的斜率之积为定值； 求oa2ob2.(1) 解：依题意，得c1.于是a，b1.所以所求椭圆的方程为y21.(2) 证明：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1，y1.又设m(x，y)，因cossin，故因m在椭圆上，故(y1cosy2sin)21.整理得cos2sin22cossin1.将代入上式，并注意cossin0，得y1y20.所以koakob为定

18、值 解：(y1y2)22·(1y)(1y)1(yy)yy，故yy1.又2，故xx2.所以oa2ob2xyxy3.例4解：(1) 连结ra，由题意得rarp，rprb4，所以rarb4ab2，由椭圆定义，得点r的轨迹方程为1.(2) 设m(x0，y0)，则n(x0，y0)，qm、qn的斜率分别为kqm、kqn，则kqm，knq，所以直线qm的方程为y(x2)，直线qn的方程为y(x2)令xt(t2)，则y1(t2)，y2(t2)，又(x0，y0)在椭圆1上，所以y3x.所以y1·y2(t2)2(t2)2，其中t为常数且t2.高考回顾1. 1解析：由题设可得双曲线方程满足3x2

19、y2(>0)，即1.于是c2.又抛物线y224x的准线方程为x6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则c236，于是27.所以双曲线的方程1.2. 解析：设椭圆方程为1(a>b>0)，设d(x2，y2)，b(0，b)，c(c,0)，(c，b)，(x2c，y2) ·c2·1， e2， e.3. 1解析：作图可知一个切点为(1,0)，所以椭圆c1.分析可知直线ab为圆x2y21与以为圆心，为半径的圆的公共弦由(x1)22与x2y21相减得直线ab方程为：2xy20.令x0，解得y2， b2，又c1， a25，故所求椭圆方程为：1.4. (1，)解析：由题可知a，c<， b<a， c2a2<a2， <，即1<e<.5. 解：(1) 由题意知m(2,0)，n(0，)，m、n的中点坐标为，直线pa平分线段mn，又直线pa经过原点，所以k.(2) 直线pa：y2x，由得p，a，c，ab方程：，即：xy0，所以点p到直线ab的距离d.(3) (解法1)由题意设p(x0，y0)，a(x0，y0)，b(x1，y1)，则c(x0,0)， a、c、b三点共线， kackab，又因为点p、b在椭圆上， 1，1，两式相减得：kpb， kpakpb1， papb.(解法2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab