高三数学不等式证明教案同步教案新人教A版

1、 高 三 数 学（第9周）【教学内容】不等式的性质、不等式证明的几种常见方法 比较法、综合法、分析法、换元法和放缩法等。【教学目标】不等式的性质是不等式证明和求解不等式的理论基础和前提条件。比较法是证明不等式的最基本的方法，它思维清晰，可操作性强，适用范围广泛，在不等式证明中常常采用。比较法通常分两类：第一、作差与零比较，作差后常需要把多项式因式分解，再由各因式的符号来确定差与零的大小；第二、作商与1比较，但要注意除式的符号，作商后常需把分子分母因式分解后约分再与1进行大小比较。综合法常常用到如下公式：（1）2ab(a,br) (2) (3)2(a.b>0)(4) (5)利用综合法证明不

2、等式时常需要进行灵活的恒等变形,创造条件去运用公式。对于不能直接分析出如何用综合法来证明的不等式，我们可以采用分析法，执果索因，从要证明的结论出发，去追逆它要成立的条件，得到要证明的结论就是已知条件或已有的公式，从而说明所证不等式成立。另外，换元法、放缩法等对较复杂的不等式的证明也很有帮助。【知识讲解】例1、 设1>2a>0,试比较a=1+a2与b=的大小。解：a-b= = 恒成立.由条件知0<,a-1<0,a-b<0 即a<b.例2、设a.br+,求证aabbabba 分析:这里所证的不等式的左、右两边均正，且都为乘积的形式，所以可以考虑作商与1比较，转化

3、为运用指数函数的性质来证明。 证明：10当ab时,1,a-b0，由指数函数的性质可知1.20当a>b时,a-b<0,同理可得1, 综上所述,1即aabbabba.例3、设a>0且a1,m>n>0,求证:. 分析：这类不等式显然不解直接用综合法来证明，因此仍考虑用比较法，而所证不等式左、右均为几个因式的代数和的形式，因此常采用作差与0比较的方法。证明： =10当0<a<1时,m>n>0,am<an而,(*)式>020当a>1时, m>n>0,am>an , (*)式>0当a>0且 a1时.(*)

4、式恒正,即.例4、设a.b.cr+,求证: 分析：初看上去似乎与基本不等式有关，但若直接运用基本不等式，仅能得到所证不等式两端均非负，仍然不能证到原不等式成立。若注意到把两端括号去掉，则出现了相同项a+b，因此可以考虑用比较法来证明。证明一、 = a.b.cr+, 0,即所证不等式成立.证明二、 =令 a.b.c r+， x,yr+ =(y2+xy+x2)(y-x)+3x2(x-y)=(y-x)(x2+xy-2x2) =(y-x)(y-x)(y+2x)=(y-x)2(y+2x)0 并且仅当x=y即 c2=ab时“=”成立。 .说明:证法一运用了基本不等式,关键是对进行恒等变形,创造条件运用基本

5、不等式;证法二采用了换元法,关键是如何假设变量才解使差式化简。 例5、当n>2时，求证：logn(n-1).logn(n+1)<1 证明：n>2. logn(n-1)>0.logn(n+1)>0 logn(n-1).log(n+1)< = 原不等式成立. 说明:该题所证的结论即为n>2时,logn-1n>logn(n+1),此结论应记住,它对我们今后的学习也是很有帮助的,由它可以得到一连串不等式:log2324>log2425>log2526>lup2627>。 例6、设a.b.cr+,求证:.分析:如果把因式a+b+c乘

6、到括号内,则所证不等式左边较复杂,很难看出用什么方法去证明,若我们注意分析该不等式左边的特征,它与三个变元的均值不等式的左边很类似,再联想到结论:当x.y.zr+时, 9就不难得到证明了.证明:a.b.cr+ 而2(a+b+c)=( a+b)+(b+c)+(c+a)9即.说明:掌握了此类不等式的证明方法后,与此类似的不等式,如10若a.b.cr+ 且a+b+c=1求证: 20若a.b.cr+,则等等就不难证明了. 例7、已知：a12+a22+an2=1,x12+x22+xn2=1,nn求证:a1x1+a2x2+anxn1 证明:a12+x122a1x1 , a22+x222a2x2an2+xn

7、22anxn,相加得, (a12+a22+an2)+(x12+x22+xn2) 2(a1x1+anxn) 即a1x1+a2x2+anxn1. 例8、若a3,求证： 证法一：若证原不等式成立，只要证成立，要证此不等式成立，只要证a2-3a<a2-3a+2,即证0<2,而此式显然成立,又以上各步均可逆 ,原不等式成立.证法二:若证原不等式成立,只要证成立,只要证 成立,而此式显然成立, . 例9、已知a>b>0,求证：证明：若证原不等式成立，只要证：，只要证明 ，只要证，只要证 ，只要证只要证即证即证成立，a>b>0的此式显然成立,又以上各步均可逆,原不等式成立

8、. 例10、若，则。证法一、要证只要证，只要证即证： , (*)式成立,原不等式成立证法二、如图，设a（1,a）,b(1,b),则，由于三角形两边之差的绝对值小于第三边， y a(1,a) o 1 x b(1,b)即， 说明:证法一是运用分析法证明的,在对变形时采用了分子有理化的手段,这种变形方法有着较广泛的运用,证法二是构造了一个三角形,其三边恰好分别是、，然后借助于三角形本身的关系来证明，这种通过构造图形的方法，往往可以化难为易，化繁为简，体现了数学中的数形结合的思想，要引起我们高三复习时注意。【每周一练】（一） 选择题： 1、如果0<a<，下列各式中正确的是（ ）a、loga

9、(1+a)>1 b、（1-a）n<an,nn c、当f(x)=2x2-3x时，f(a)>f(1-a)d、cos(1+a)-1<cos(1-a)-1 2、若 a>b>c,则下列不等式成立的是（ ）a、ab>ac b、 c、 d、a-bc>b(1-c) 3、已知x,a,br,则下列不等式: x2+3>2x, a5+b5>a3b2+a2b3, a2+b22(a-b-1), 2中恒成立的是 ( )a、 仅和 b、仅和 c、仅和 d、全部 4、若0<a<1,0<b<1,则a+b,2,a2+b2，2ab中最大的是（ ）a、

10、a2+b2 b、a+b c、 d、2ab 5、设x,x+2,x+4是一个钝角三角形的三条边，则x的取值范围是（ ）a、3<x<6 b、2<x<6 c、x>2 d、0<x<6 6、xr，则的（ ）a、必要条件 b、充分条件 c、充要条件 d、既不充分也不必要条件 7、设0 <2a<1,m=1-a2,n=1+a2,p=那么（ ）a、q<p<m<n b、m<n<q<p c、q<m<n<p d、 m<q<p<n 8、设a和b是不相等的正数，则（ ） a、 b、c、 d、二、填空

11、题： 9、若a>1,那么m与n的关系是 10、a>b的充要条件是 11、用不等号把连接起来为 12、设与2的大小关系是 13、的 条件。 14、当0x的取值范围是 15、若p,qr+且a=p3+q3,b=p2q+pq2则a,b的大小关系是三、证明题 16、求证：3(a2+b2+c2)(a+b+c)2. 17、设a>0且a1,t>0,试比较的大小，并证明你的结论。 18、若a1,b1求证：a2+b2ab+a+b-1 19、已知x,y,zr求证:x2y2+y2z2+z2x22cyz(x+y+z) 20、设a>b>0,求证：3. 21、若a+b=1,求证：2 22、a,b,cr求证： 23、已知a,b,c为不相等的正数，且abc=1求证： 24、若a+b+c=1，且a,b,c均为非负实数，求证： 25、设求证：【每周一练答案