第8讲立体几何中的向量方法二

1、第8讲立体几何中的向量方法(二)【高考会这样考】考查用向量方法求异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角的大小【复习指导】复习中要掌握空间角的类型及各自的范围，掌握求空间角的向量方法，特别注意两平面法向量的夹角与二面角的关系基础梳理1空间的角(1)异面直线所成的角如图，已知两条异面直线a、b，经过空间任一点o作直线aa，bb.则把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)(2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角(3)二面角的平面角如

2、图在二面角­l­的棱上任取一点o，以点o为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线oa和ob，则aob叫做二面角的平面角2空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角满足cos |cosm1，m2|.(2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面的夹角满足sin |cosm，n|.(3)求二面角的大小()如图，ab、cd是二面角­l­的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，()如图，n1，n2分别是二面角­l­的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos c

3、osn1，n2或cosn1，n2三种成角(1)异面直线所成的角的范围是；(2)直线与平面所成角的范围是；(3)二面角的范围是0， 易误警示利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面、的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点双基自测1如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a(1,0,1)，b(0,1,1)，那么，这条斜线与平面所成的角是()a90° b30° c45° d60°2(人教a版教材习题改编)已知两平面的法向量分别

4、为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为() a45° b135°c45°或135° d90°3(2011·德州月考)已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量、法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()a30° b60° c120° d150°4在如图所示的正方体a1b1c1d1­abcd中，e是c1d1的中点，则异面直线de与ac夹角的余弦值为()a bc. d.5如图所示，在三棱柱abc­a1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，ab

5、c90°，点e、f分别是棱ab、bb1的中点，则直线ef和bc1所成的角是_考向一求异面直线所成的角【例1】(2011·上海高考改编)已知abcd­a1b1c1d1是底面边长为1的正四棱柱，高aa12，求(1)异面直线bd与ab1所成角的余弦值；(2)四面体ab1d1c的体积【训练1】 (2011·全国高考)已知正方体abcd­a1b1c1d1中，e为c1d1的中点，则异面直线ae与bc所成角的余弦值为_考向二利用向量求直线与平面所成的角【例2】如图所示，已知点p在正方体abcd­abcd的对角线bd上，pda60°.(1)

6、求dp与cc所成角的大小；(2)求dp与平面aadd所成角的大小【训练2】 (2010·辽宁)已知三棱锥p­abc中，pa平面abc，abac，paacab，n为ab上一点，ab4an，m，s分别为pb，bc的中点(1)证明：cmsn；(2)求sn与平面cmn所成角的大小考向三利用向量求二面角【例3】(2011·全国新课标)如图，四棱锥p­abcd中，底面abcd为平行四边形，dab60°，ab2ad，pd底面abcd.(1)证明：pabd；(2)若pdad，求二面角a­pb­c的余弦值【训练3】 如图，在四棱锥p­abcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，apab2，bc2，e，f分别是ad，pc的中点(1)证明：pc平面bef；(2)求平面bef与平面bap夹角的大小阅卷报告12对法向量夹角与二面角大小关系认识不清导致失误【问题诊断】 立体几何是高考的重点和热点内容，而求空间角是重中之重，利用空间向量求空间角的方法固定，思路简洁，但在利用平面的法向量求二面角大小时，两个向量的夹角与二面角相等还是互补是这种解法的难点，也是学生的易错易误点【防范措施】 正确判断法向量的方向，同指向二面角内或外则向量夹角与二面角互补，一个指向内另