傅里叶变换的证明

1、第三章 傅里叶变换3.1 引言3.2周期信号的傅里叶级数分析(频谱分析)3.3典型周期信号的傅里叶级数(频谱)3.4傅立叶变换3.5典型非周期信号的傅里叶变换（ft）3.6冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换3.7傅里叶变换的基本性质3.8卷积特性3.9周期信号的傅里叶变换3.10抽样信号的傅里叶变换3.11抽样定理第三章 复习课3.1 引言 法国数学家傅里叶有两个最主要的贡献: 1 周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和. 2 非周期信号都可以用正弦信号的加权积分表示. 本章要点: 1 建立信号频谱的概念. 2 利用傅里叶级数的定义式分析周期信号的离散频谱. 3 利用傅里叶积分(变换)分

2、析非周期信号的连续频谱. 4 理解信号时域与频域间的关系. 5 用傅里叶变换的性质进行正、逆变换. 6 掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理.3.2周期信号的傅里叶级数分析(频谱分析)周期信号的傅里叶级数两种表现形式: 1: 三角函数级数 2: 指数形式一：周期信号展开成三角函数形式的傅里叶级数. 1 周期信号: 2 傅里叶级数展开表达式: fwnnttftft12111, 0)()()2sin()2cos()sin()cos()(121211110twbtwatwbtwaatf（1） 无限项和1110)sin()cos(nnntnwbtnwaa（2） n正整数1001)(10ttttdttfa

3、信号的平均值、直流分量 （3）1001)cos()(12ttttndttnwtfa的偶函数是1nw（4） 1001)sin()(12ttttndttnwtfb的奇函数是1nw（5）补充： 正交）（）（）（）（三角函数系：tnwtnwtwtw1111sincossincos1上的积分为零乘积在区间任何不同的两个函数的2211tt即有： mnmndttmwtnwtttt0)cos()cos(2111100mnmndttmwtnwtttt0)sin()sin(2111100nmdttmwtnwttt,0)sin()cos(10011所有nnba ,导系数利用正交函数系性质推3 满足狄利克雷条件:(充

4、分条件)在一个周期内，若有间断点存在，间断点数目应该是有限个 在一个周期内,极大值和极小值数目应该是有限个 在一个周期内,信号绝对可积 100)(tttdttf注:我们遇到的周期信号都能满足狄利克雷条件.4 三角函数形式的另一种表达形式.(同频率项加以合并)110)cos()(nnntnwcctf的函数都是122sincosarctannwcbcabacnnnnnnabnnnnnn5 画频谱图(幅度谱、相位谱)p91页,图3-1 单边谱谱线:每条线代表某一频率分量的幅度.包络线:连接各谱线顶点的曲线.反映各频率分量的幅度变化情况 6 周期信号频谱特点.离散谱:离散频率点上，出现在1113 ,2

5、 ,0www 收敛性.谐波性: 是各谐波频率11113 ,2 ,nwwww二 指数形式的傅里叶级数1 展开式:）（6)()(111ntjnwnntjnwefenwftf 证明:思路由三角形式指数形式）（7)sin()cos()(1110nnntnwbtnwaatf）（8)()sin()()cos(1111211211tjnwtjnwjtjnwtjnweetnweetnw)9)()(122011（ntjnwjbatjnwjbaeeatfnnnn）（令103 , 2 , 1)()(211njbanwfnn利用欧拉公式:得 ）（的奇函数是的偶函数，是11)()(21111nnnnjbanwfnwbn

6、wa把(10),(11)代入(9)得）（12)()()(111011ntjnwtjnwenwfenwfatf)0(0fa 令111111)()(ntjnwntjnwenwfenwfntjnwenwftf1)()()12(1式写为nfnwf)(1计算傅里叶系数整数)()(1001111ndtetffnwfttttjnwtn 证明:把(4)(5)代入(10)即可.2:000caf)(21nnjnnjbaeffn)(21nnjnnjbaeffnnnnnncfbaf212221nnncff3 两种傅氏级数系数间的关系. 4 画复数频谱. p93页 双边谱5 周期复指数信号频谱图的特点:引入了负频率变量

7、,没有物理意义.只是数学推导的结果. 一般是复函数nf 和相位谱合一相位，幅度谱和的正负表示是实函数时，可以用当0nnff 三、函数的对称性与傅立叶系数关系是偶函数：)(tf）tftf()(0nb是奇函数：)(tf）tftf()(只含正弦项000naa是奇谐函数：)(tf)2()(1ttftf 1 只含直流项、余弦项 3 2 波形沿时间轴平移半个周期，并相对该轴上下反转，此时波形沿时间轴平移半个周期，并相对该轴上下反转，此时波形不发生变化。波形不发生变化。)(tft00a为偶数nbann0只含基波，奇次谐波，正弦余弦分量是偶谐函数：)(tf)2()(1ttftf4 若波形沿时间轴平移半个周期后

8、，此时波形不发生变化。)(tft0na为奇数nbn0只含偶次谐波分量、直流分量ntttdttftnpf100)(1212内容：周期信号的平均功率等于傅立叶级数展开式中各谐波分 量有效值的平方和，即时域和频域能量守恒。四、帕塞瓦尔定理（能量守恒）公式： 证明：表达式代入将)(tf dttnbtnaatptnnn20111011)sin()cos(1dttntnbatnbtnatnbtnaaattnnnnnnnnnn101112112111110201)sin()cos(2)sin()cos()sin()cos(21dttnbtnatatnnnn10211211120)sin()cos(11222

9、021nnnbaanncf21nnnnnnnnffffffp212122012202是正交函数系tt11sincos11)(0)()(11020titjidttgjidttgtg又注：满足nnnnnnntjnnntnbtnaatftnbtnaaeftf11101110)sin()cos()()sin()cos()(1)()()(tftftn)(2tenn)(tfn时，波形等于当任意周期函数表示为傅立叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。实际采用有限项级数代替无限项级数有了误差, 方均误差衡量误差：方均误差：说明：五、傅立叶有限级数与最小方均误差越丰富烈，所包含的高频分量波形变化越剧的跳变沿，

10、高频分量主要影响脉冲)(tf包含的低频分量越丰富波形变化越缓慢，所的顶部，低频分量主要影响脉冲)(tf)(tf的不连续点。当信号中任一频率分量的幅度和相位发生相对变化时，波形 发生失真。吉布斯现象当选取傅立叶有限级数的项愈多，在所合成的波形中出现的峰起愈靠近总跳变值的，并从不连续点开始起伏振荡形式衰减下去。当所选取的项数n很大时，该峰起值趋于一个常数，大约等于3.3典型周期信号的傅里叶级数(频谱)一:频谱图 双边谱单边谱为正整数ntjnwnnnnnnnefntnwcctnwbtnwaatf11101110)cos()sin()cos()(信号f(t)可以分解成一系列正弦分量的加权和,要想观察f

11、(t)中包含哪些频率分量,以及各分量的相对大小关系.从表达式看不直观,采用另一种表征方式.即频谱图的方式.nw相位频谱二:周期性方波信号的频谱121t1t1t 奇函数 只含正弦项奇谐函数 奇次谐波项,奇次正弦项幅度频谱nnfc1w13w12ww1110)sin()cos()(nnntnwbtnwaatf000naa为偶数为奇数nndttnwtfbntttn0)sin()(20121)5cos()3cos()cos()5sin()3sin()sin()(2151213121215113112twtwtwtwtwtwtf2nwwww11153nc2231251wwwwww111115432的频谱画

12、)2cos()cos(2)sin(1)(4111twtwtwtf1512212110cbacc421015. 0arctan011abnc51www112www112n15. 04三: 110)cos()(nnntnwcctf四:周期性脉冲频谱3)(,ttfet决定ntjnwenwftf1)()(1)(sin)()(2221111111122111212111nwtenwnwtetjnwttjnwtnsadteedtetffnwftt )(tftt22e)()3(3)()2(2)()(1)0(01111111121sawfnwsawfnsawfnfntetewtete06311处为 wwwww

13、wwww11111165432221te)(1nwf642121222, 02, 1, 00)sin(0)(111nwnwkksaknwnwnw既过零点：1111432wwww五:结论：1 :周期信号的频谱具有离散性，谐波性，收敛性。离散性，谐波性对于所有信号都成立，收敛性不是对于所有信号成立，对工程应用上的实际信号都成立。六:参数变化对频谱的影响。变化不变，1t线疏密程度不变。即谱线间隔不变，即谱不变不变,1211twt1. 减小幅值过零点向高频端移动，增大幅值过零点向低频端移动，变化过零点变化112tete信号的频带变宽收敛性变差尺寸扩大收敛性变化：)(21nwsa重要概念：信号的有效频带

14、b信号的频带有多种定义方式，工程中常用的有几种人为规定： 以信号最大幅度的1/10为限，其他部分忽略不计. 以信号功率的1/2为限，其他部分忽略不计.(半功率点频宽) 以信号振幅频谱中的第一个过零点为限.(本书) 以信号能量的90%为限，其他部分忽略不计.选用哪种频带定义方式,根据工程需要选用,本书选(3).kbbww2第一个过零点有重要的物理意义：.,.,.,对系统要求就高带宽度也要加宽所以要求实际系统的频频带宽由于信号本身的要传送高频信号这是一对矛盾通信系统来说在互相制约成反比和信号的频带宽度说明信号的变化速度wb变化不变，t收敛性不变包络线不变波形形状不变过零点不变不变,2变化度大小谱线

15、间隔发生变化，幅变化tewt21加密谱线间隔变小，即谱线t谱线幅度将变为无穷小变为非周期信号周期信号连续谱离散谱t2 3: 信号边沿变化对频谱影响由1缓慢变化为021)(1tf分量信号中包含更多的高频收敛性差频带宽度宽的收敛性越差信号边沿越陡峭，信号立即由1跳变为021)(2tf110012111)(1)(tttttjnnwdtetftfnf时：1t离散谱演变为连续谱谱线间隔01谱线图将化为乌有谱线的长度0)(1tnf非周期信号的频谱分析 周期信号演变为非周期信号。 3.4 傅立叶变换 周期信号的频谱： 从物理概念上考虑：既然成为一个信号，必然含有一定的能量。无论信号怎么样分解所含能量不变。不

16、管周期增大到什么程度，频谱分布依然存在。从数学角度上看：无限多的无穷小量之和仍可等于一个有限值，此有限值取决于信号的能量。 所以对非周期信号进行频谱分析将引入一个新的量频谱密度函数。一:从周期信号的傅立叶级数，推导出非周期信号的傅立叶 变换极限方法 1)(ttf周期设：周期信号enftfntjn1)()(12211111)(1)(tttjndtetftnf0)(11tnft1)2(t式两边乘做一下变形，dtetfnftnftjn2211111)()(2)(dtetfnfimtnfimftjt111)()(2)()(1101111)(nf 定义 称为频谱密度：指单位频带的频谱值。110)(2)(

17、1nfimf )(tf)4()()(1dtetfftj称为原信号即 傅立叶正变换的频谱密度函数，简称频谱函数。任何变换都应存在逆变换，即：)()(tff还原由）（5)()()(11111ntjnnenftf12)()()(011111nfnfdnn111)()()(1110ntjnnenfimtf)6()(21dwewfjwt傅立叶逆变换dtetftfftftj)()()()()(wftf的频谱求记为：defffttftj)(21)()(1)()(tfwf的时间函数求说明：看p100图3-18)()()()()(jefftfwf函数的频谱函数，一般是复是 非周期信号的幅度频谱。 非周期信号 频

18、谱是连续谱，形状与相应的周期信号频谱包络线相同。非周期信号的相位频谱。二：傅立叶变换的条件：绝对可积dttf)(的傅里叶变换一定存在)(tf充分条件：一定绝对可积？的傅里叶存在，反过来若)()(tftf不一定某些不满足绝对可积条件的信号如周期信号、阶跃信号、符号函数，借助冲激函数概念，也存在傅立叶变换。)(f w)( w三:傅立叶变换的几点说明1.傅立叶正变换给出了非周期信号的频谱数学表达式；)(tf时间函数可以表示为频率在区间内的指数函数连续和；傅立叶变换提供了信号的频率描述和时间描述之间相互变换工具。2:关于连续谱说明具有离散频谱的信号，其能量集中在一些谐波分量中； 具有连续频谱的信号,其

19、能量集中在所有的频率中,每一频率分量包含的能量则为无穷小量 对周期信号是用实际振幅nc作出的；对非周期信号是用密度函数)(f作出的。3.5典型非周期信号的傅里叶变换（ft）一 :单边指数信号为正实数attetfat)0(0)0()()(tf1t求ftjwajwtatjwtdteedtetfwf10)()(0)(0)()(0)(1122wfwwfwwfwwfawa22)()(0)(0)arctan()(wwwwwwwaw22是奇函数是偶函数，谱是连续谱，收敛性。说明：非周期信号的频)()(wwft1)(tf二 双边指数信号为正实数atetfta)(求ft222)()(waajwttajwtdte

20、edtetfwf0)()(0)(2222wfwwfwwfawaaa2)(wf0)(w三 矩形脉冲信号)()()(22tutuetf)()()(222wjwtjwtsaedteedtetfwft22)(tffwbbfw2:12频带宽度)()(2wsaewf)1(4)12(2)12(240)(nnnnwww)(wfe22说明：一个零点以内但主要信号能量处于第围上分布在无限宽的频率范规律变化而它的频谱却以有限范围内矩形脉冲在时域集中于,)(,2wsa)12(242) 12(2kkwwkk)22(2)12(22)22() 12(kkwwkk注：位谱合在一张图上为实函数，幅度谱和相)(wf四:符号函数0

21、10001)sgn()(tttttf分析：公式去求存在，不过不能用但不满足绝对可积条件，ftftt)sgn(taettf)sgn()(11先构造一个函数）（)()(0)(11tftfatf的特点：)()(: )2(11wftf求)(lim)()(10wfwftfa思路： 解：)()(11wftf求222001111)()(wajwjwtatjwtatjwtdteedteedtetfwfwjwajwaawfwf22010)(lim)(lim)(220)()(0)(2wfwwfwwfw00)(22www ：t11)sgn()(ttft11taettf)sgn()(1w)(wfw22)(w 3.6冲

22、激函数和阶跃函数的傅里叶变换奇异信号在信号与系统的时域分析和频域分析中占有同样重要作用ftt 的)()()()(wfttf1)()(dtettftjwt0)()(00jwtjwtedtettttft一: 1:正变换 )(0tt 1tt0)(wf1w)(w0wtw21211)()()(dwewwfttfjwt)()(tfw找2:逆变换)(2121wdteftjwt)(2 1 wft去理解矩形脉冲)(2weeft)()(ttf1t1w)(wft)(tf)(wf1w 说明: (1)白色谱(均匀谱)在整个频率范围内频谱是均匀分布的 (2)(t)的频谱等于常数,白色谱包含幅度相等的所有频率分量 (3)在

23、时域变化异常激烈的信号(t),在频域将包含所有频率分量 (4)时域和频域具有对称性ftt 的)(的推导（由)()wft 1)(tft) 1 (1)(dwejwt21t二:思路:(1)式两边对t求导 )()()(tjwftdwejwtjwt可看出21用公式表达求jwdwedwejwtftjwtjwt)()(21 同理:ndtdjwtftnn)()()()(2wjtftnndwdnn存在但不满足绝对可积条件ftdttutu)()()sgn()(2121ttujwjwwwtftfttfttuft12212121212121)()(2)sgn()sgn()(思路：方法一：利用符号函数，构造辅助函数三:

24、阶越函数的ft说明：处出现冲激所以在中含直流分量将包含高频分量，并且点有跳变，变化迅速，在0,)(0)(wtuttut1)()(tutfw)(wf0000)(1attetfat)()()(0)()()(11tutftfatftutf的关系：与:构造辅助函数 方法二:利用单边指数函数取极限)()(11wftf求)()(10limwfwfajwatfft11)(：解：t1)()(tutftate)(1tf 0a3.7傅里叶变换的基本性质)(2)()()()(2)()()(wftffttftfwftffttfftwf则若则)(2)()()(wftfwftf即一:对称性 1)(t)(21w例 1：例

25、2:已知 )()(2wsaewfe2w)(tfet22)(tfe2t)(2wfe2w222cwcw2t12cw2cw21222eweccwcw作频谱函数先把wttf)() 1 ()()()2(tfwf的原函数找)(2)() 3(wftf的频谱则思路：1jtaft求jwawt1) 1 ()()2(1tfjwa的原函数找awwajwajwaatewfee2)(22)(11例 4: 分析： niftfftii, 3 , 2 , 1)()(若niiiniiifatfaft11)()(则二:线性 即相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。wwtee211122wteft211即211tft求例 3：

26、222waatae21121wte分析：例:求图所示信号的ft。)()(2121)()()()()()()(:222222wwwsawsasasatfftwftututututf解12)(tft22三:奇偶虚实性考虑一般情况：设f(t)是t的复数。即 )()()()()()(21wjxwrwftjftftf）（wjwrdtwtjwttjftfwtjwtedtetjftfwfjwtjwt)()sin)(cos()(sincos)()()(2121即有：dtwttfwttfwxdtwttfwttfwrcos)(sin)()(sin)(cos)()(2121特殊情况讨论：的奇函数是的偶函数是有的奇函

27、数的偶函数是实函数wwtdttfwxwwtdttfwrwwwwxwrwftftftftfawrwxsin)()(cos)()(:arctan)()()()()()(0)()(:)()(2212结论：）即wftfwftfwftfwjxwrwfwjxwrwfwxwxwrwr()()()()()()()()()()()()()()(的奇函数。的偶函数，相位谱是的幅度谱是wwtfwfwf)()()(实信号的频谱具有很重要的特点，正负频率部分的频谱是相互共轭的。)()()(:tftftfb是实偶函数00cos)(2)(0sin)()(cos)(2cos)()(wtdttfwfwtdttfwxwtdttf

28、wtdttfwr结论：实偶函数的傅里叶变换仍然是实偶函数)()()(:tftftfc是实奇函数00sin)(2)(sin)(2)(0)(wtdttfjwfwtdttfwxwr)()(0)()(:21tjftftftfd是纯虚函数为虚奇函数是虚偶函数，则为实偶函数是虚奇函数，则结论：)()()()(wftfwftf)()()()(:wfwfwftfe具有共轭对称性则为实函数还是虚函数，无论奇函数的频谱为奇函数偶函数的频谱为偶函数:f结论：实奇函数的傅里叶变换仍然是实奇函数函数的奇偶部。:g)()()(tftftfoewtdttfjwtdttfdtetftfwfoejwtoesin)(cos)()

29、()()()(im)()(re)(wfjtfftwftfftoe ).()(,)(ln),(tftfwwfwfft为实奇函数，求又已知并且有为某连续时间函数的)()()()()(wfwfwfwftf必为虚奇函数，且有为实奇函数wewfwwf)()(ln)()()()()()()()(wjwjwjewfewfwfewfwf则设2)()()(0)(cos2wweewjwj00)(00)(wjewjejwfwjewjewfwwww或解： )1(0210212)() 1 (ttjwtwjwtwdwejedwejetf例：)1(2)()2(tttf)1(2)(tttf)()()()(1awafatfwf

30、tf则倍幅值增大倍时域扩展对应频域压缩倍幅值压缩倍时域压缩对应频域展宽褶时域反褶对应频域也反aawftfaaawftfawftfa/1,)()(1/1,)()(1)()(1四:尺度变换特性物理解释：信号波形压缩a倍，说明信号随时间变化加快a倍。所以，它包含的频率分量增加a倍，即频谱展宽a倍，但幅值减小a倍。等效脉宽与等效频宽（另一角度说明尺度变换特性） 面积)0()()0()()(fdttffdtetfwfjwt面积212121)0()()0()()(wjwtbfdwwffdwewftf2)0()0(2)0()0(2wwwbbbffff结论：信号占有的等效频带宽度和等效脉冲宽度成反比，即通信速

31、度和通信带宽成反比，这是一对矛盾。)0(f)0(f)(tf等效脉宽)0(f)(wfwbw等效频宽)2(tfft求)()()2()()(221221wwfftfftwftf则设0)()()()(0jwtewfttfftwftf则0)()(0jwtewfttfftatjwawaeftatfft0)()(10五:时移特性0.0wtejwt产生附加变化即幅度谱不变，相位谱谱乘以因子移，等效于在频域中频信号在时域沿时间轴右例:解:例:求图示信号的ft.) 1() 1()(0tututf设)(2)(21)(220wsasawfw)2cos()(4)()()2()2()(202000wwsaewfewftf

32、tftfwjwj)cos(21jwtjwteewt)(tft3211231)()(wftf)()(00wwfetffttjw则)()(00wwfetffttjw0)()()(0wwftfetftjw沿频率轴右移频谱等效于乘以时间信号六:频移特性 1： 解:高频低频，)cos()()()()cos()(021000twtfeetffttwtffttjwtjw)()(002121tjwtjwetfftetfft2:频谱搬移技术原理： )()(021021wwfwwf调制过程)()(0021wwfwwf 进行了搬移。的频谱即把平移沿频谱轴向右，向左各一分为二，的频谱等效于乘以若时间信号)()(,)(

33、)()cos()(00wftfwwftftwtf)()()sin()(0020wwfwwftwtfftj3:调制，解调在通信系统中，为实现信号的传输，往往需要调制和解调。为什么信号要进行调制才能发送出去？信号传输中遇到的问题。与电磁波的传播规律有关：无线电通信系统是通过空间辐射方式传送信号的，由电磁波理论可知：天线尺寸为被辐射信号波长的十分之一或更大些，信号才能被有效辐射。例:要传送信号f=1khz(低频)，求天线长度。解：米）秒米(103/10358fvvfv 天线长度：l=30000（米）实际上不可能制造这么长的天线。高，天线长度越短。频率成反比，频率越天线长度与传送信号的fvllfv10

34、10/声音信号的频率范围（20hz2khz）,这样的信号直接辐射 出去，那么各电台的发射频率就会相同，它们是混在一起， 接收者无法选择所需接收信号。调制低频相乘调幅信号高 频 载波)cos(0tw)cos()()(0twtftg)(tf)()()()(wgtgwftf)()()(0021wwfwwfwg这两个问题如何解决？需要对信号进行调制，即频谱搬移。wwwnn)(wf1)(wg21nnwwwwww0000信号f(t)的频谱就被搬到载波w0频率附近。二:解调：从调制信号中恢复原始信号f(t)的过程。)cos()cos()()cos()()(0000twtwtftwtgtg)()()cos()

35、(00210wwgwwgtwtgft)2()()()2(0041wwfwfwfwwf)2()()2(04121041wwfwfwwf低通同步解调)(tf)(0tg)cos()()(0twtftg)cos(0twmmww02w02w)cos)(0twtgft2141mmww21)(tf)()(tftf)()(fjdttdfft则)()()(fjdttfdftnnndwwdfdwwdfjttftfjtft)()(1)()()(nnnnndwwfdjnndwwfdtfttfjtft)()(1)(1)()()(七:微分特性 时域微分：说明在时域中f(t)对t取n阶导数等效于在频域中f(w)乘以（jw）

36、n 频域微分：例:)2(122)1(4tttftteft及）求（212) 1 (wte解： 2222212)1 (4)1 (22wjwwwdwdtjjtew22)1(4wwtjte2222)1(41)1(4wwtjwjwttete考虑wttjwe222)1(4wttjweft222)1(4（2）利用对称性 )()(wftf)()0()()(wfjfdft则不一定但则若0)0()()(0)0(fjfdfft八:积分特性.,)()(0ftwbawftf的为实系数，求下列信号已知twtfdftdtbatdf02)(sin)() 3()12()2() 1 (abjwawaefbatf)()(1abjw

37、awadtbatdfefjw)(1)(21)() 12(221jwweftf)()0()12(21221)(wfdtfjweftjww)()()(212wfwftf例： 解:（1） （2） （3）3.8卷积特性)()()()(2211wftfwftf)()()()(2121wfwftftf则一:时域卷积定理说明:在时域中两信号的卷积等效于在频域中频谱相乘.二:频域卷积定理)()()()(2211wftfwftf )()()()(212121wfwftftfft则说明:两时间函数频谱的卷积等效于两函数的乘积.2220)1 ()(ttetftt22e)(tf例:利用卷积定理求三角脉冲的频谱)()(

38、)(tgtgtfexxe222)()()()()()()2(42222222wewesasawgwgtgtgftwft44e2)(tg解: (1)三角脉冲形成:两个同样宽度矩形脉冲进行卷积例:利用卷积定理求余弦脉冲频谱220)cos()(ttetftttgtfcos)()() 1 (余弦脉冲形成：解: 2t)cos(2tt2222et)(tfe)(tf22t)(1 )cos(2222212122)()(cos)(cos)()(wwewttwwsaeftwgtgftwf(3)画频谱:efwa2)0(0:最大值点25232252322,0)(?:wwkwfwbkw过零点频率0)(:wfwc看趋势(

39、2)3.9周期信号的傅里叶变换周期信号不满足绝对可积条件,但在允许冲激函数存在并认为它是有意义的前提下, 周期信号的傅里叶变换是存在的.ftetjw的1)(21 111wweftefttjwtjw)(21 111wweftefttjwtjw一:几种典型周期信号的ft1： )()()(cos1121111wwwweefttwfttjwtjw)()(sin111wwwwjtwftwww112:正余弦信号的ft)cos(1twt12112)()(1fwttftftntjnwneftf1)(212111)()(11ttdtetfnwfftjnwtn其中nnntjnwnntjnwnnwwfeftfeff

40、ttfft)(2)(1111112www02 f12 f22 f二:一般周期信号的ft1:证明: 说明:谐波的。是离散的周期信号的频谱倍的的傅里叶级数相应系数于每个冲激函数的强度等处，冲激函数位于这些冲激函数组成的傅里叶变换是由一些周期信号,.2)(,2,0,)(11nftfwwtf) 1 ()(2121111ttdtetffftjnwtnn的定义式求由)2()()()(212100ttdtetfwftfjwt11)(01nwwtnwff2 求fn的方法 方法:从周期信号中截取一个周期,得到单脉冲f0(t)非周期信号比较(1),(2)式,得: (2)利用单脉冲的傅里叶变换来求fn是由一些冲激函

41、数组成离散性谐波性收敛性周期信号的特点:(1)ntnttt)()(11121)(tntjnwntweftttjnwttjnwttnttttdtetdtetf111212111212111)()(ntjnwttetfs111)(：111122tttt 1)(ttwwwww11112211tnf例:求周期单位脉冲激序列的傅里叶级数fs和ft 解: 1:求fs通过把周期信号进行傅立叶级数展开形式，分析它的频谱，离散、谐波、但不收敛。1211)(2)(tnntwnwwftft1)()2()() 1 (121211111tftdtetffttjnwttnntt利用单脉冲求11111ttnfnnttnww

42、wnwwtftwf)()(2)()(11111wwwww1111221w)(wf2: 求ft1111)(tntjnwnweftf)()/()(2111212111nwtjnwtnsatedtetffttntjnwnwteesatffs111)()(:21t1t22e)(tf例:求周期矩形脉冲信号f(t)的fs和ft 解: 1:求fs2:求ftnnnwwftfftwf)(2)()(122101111111)(nwtenwwwtnwwtnsasaewff1w12ww2)(wf1we1te)(1nwf1w12ww2nnwtenwwsawf)(2)(1211e)(0wf2w单脉冲频谱f0(w)是连续谱

43、,它的大小为有限值.周期信号的频谱f(w)是离散谱,大小用冲激表示.f0(w)是f(w)的包络1/w1.说明:单脉冲和周期信号的傅里叶变换比较.物理意义不同:fs是单个复间谐波成份、复振幅,后者是单位带宽内所有复间谐波成份和复振幅值.3.10抽样信号的傅里叶变换 一:抽样目的及所遇到的问题.(p150 图3-48)目的:把模拟信号变成比特流的数字信号. 模拟抽样量化编码数字)(tf)(tp)(tfs 有什么关系。的与原信号的抽样信号fttffttfs)()(:1).()()()(2tftftftfss续信号中无失真地恢复出原连下，可以从抽样信号条件的全部信息，即在什么中是否包含了原信号：遇到的

44、问题:如何确定。抽样间隔st:1如何恢复。如能恢复能否由样本点值原信号：,)()(2tftfs或者说： 二:理想抽样 抽样过程可以看成是由原信号f(t)和一个开关函数p(t)的乘积来描述。)()()(tptftfsntnttttp)()()()(tf)(tfs 用时域周期延拓表示时域冲激序列。设: tsssstwtwwftfwtwftfs2)()()()()(问题：时域很难确定t如何选取，也很难看出是否能够恢复原信号到频域观察，先从图形上分析，再用数学推导。关系的与的观察：fttffttfs)()()()()(ttftftsnstsnsstwsnwwfnwwwwfwwfwfs)()()()()

45、()(12121)()(wfwwfss为周期等幅地重复是以表明：在频域相加关系量为周期，所有的频谱分是以基波频率sswwf)(1: 注意: 抽样过程也是一个调制过程，理想抽样存在各次谐波分量，所以是多频调制。的强度的幅值乘以的幅值是)()()()(stwsnwwwfwfwfsssssswwfwfff)()(1)0()0(swwf系数的频带内都倍乘相同的在整个)(不足够大，会出现混叠sw器恢复通过低通滤波可由则则无混叠即所有信息的每一块中包含了原信号足够大足够小)()(,2:.,:1wftfwwwwwwtsmsmmsss即:结论:msmsffww22:2称为奈奎斯特抽样频率把信号固有的称为奈奎斯

46、特间隔:2mwwftms带宽可以取有效带宽，占有mw:3msww2)53(:4实际采样频率代替窄脉冲序列实际可用开关函数冲激序列无法产生)(,:5 )(tf)(tp)(tfs三:窄脉冲抽样（自然抽样）)()()(tptftfs幅度随信号变化nsnnsnsnwwpwfnwwpwfwpwfwf)()()(2)()()()(2121)(21snwtsnsaepnsnwtsesnwwsawfs)()()(2上式表明：信号在时域被抽样后，它的频谱fs(w)是连续信号的频谱f(w)以抽样频率ws为间隔周期性地重复而得到的，在重复过程中，幅度被抽样脉冲p(t)的傅里叶系数所加权。加权系数取决于抽样脉冲序列的

47、形状。msmmsswwwwww2的选择抽样频率结论：抽样频率必须选得大于信号频谱最高频率的两倍。四:抽样定理ssmsmsfsmmfwffwwttfwwtfm2 ,2,22.)(.),)(21最低抽样频率为抽样间隔必须不大于一表示可以用等间隔抽样值唯则的范围频谱只占据取占有带宽不受限一个频谱受限信号例:一余弦信号的周期为t0,用ts= t0/12的间隔对它进行理想抽样，求抽样信号的频谱。)()()cos(000wwwwtw周期性延拓为频域周期的使其频谱进行以对它进行抽样，也就是0242ttssw解：)(tf0t)(tfsst)(wf)(0w0w)(wfssw012wws例：.,)()2(,).(

48、,)(:21间隔奎斯特抽样奈奎斯特抽样频率和奈的带宽及求如图所示频谱为频带宽度为为带限信号设tftfwfwtfmsradwbfwftfmww/162)()()2(: ) 1 (2211162swsf奈奎斯特频率：161sfst奈奎斯特间隔：mmww)(wfmw2mw2)(1wf解:奈奎斯特角频率：sradwwwmms/32422)2(2)()()2(221wfwftfsradwbmw/821sradwwms/822122swsf21sfnt22mmww)(2wf 奈奎斯特角频率： 奈奎斯特间隔：3.11抽样定理 )(tf)(tp)(tfsnstnttttp)()()()()()(tptftfs

49、nsnnsnsnwwfpnwwpwfwpwfwf)()(2)()()()(21211:理想抽样 抽样信号的一般规律:抽样信号的频谱是把f(t)的频谱进行周期重复,以ws为周期,系数被p(t)的傅里叶系数加权.nsnsnwwfwf)()()(21ssnwtnsae 2:自然抽样)(wswwswmsmstssmmffwwttwwtfm22:,)(2抽样间隔信号对它进行抽样的周期脉冲可用周期为是一个频谱受限信号，低抽样频率。称为奈奎斯特频率，最msff2大允许抽样间隔称为奈奎斯特间隔，最mmwtst23:抽样定理工程上ws=(35)2wm即:一个周期的间隔内至少抽样两次,抽样信号的频率至少为原 信号

50、频率的两倍.第三章 复习课)(te)(tr线形时不变一: 信号随机确定非周期信号周期信号离散时间信号连续时间信号为实数aketfat)()sin()(wtktf2 分类 1 描述:数学表达式,波形(时域),频谱.3 典型信号复指数0)()(jwttjwstkekeketftttsatfsin)()( 1)0(sa)()(tsatsa0)(sadttsa )()()5(t)()0()()(tfttf)()()()(00ttftttf1)(dtt)()(tt 抽样特性)0()()(fdtttf抽样特性)()()(00tfdttttf)()(tudtdttdut)()()()()()()()(00t

51、tftttftfttf(6)(tu 00001)(21ttttu接入特性用阶跃信号可表示其他信号反褶)( tf 尺度)(atf移位)(0ttf微分dttdf)(积分tdf)(4:信号的运算(要通过系统来完成)两信号相加相乘 同时刻(同频率)的信号相加相乘.卷积)()(21tftfdtffdtfftftf)()()()()()(122121)()()(thtetrzs 物理意义:积分相乘移位反褶图解法,:ta.:定义式求b计算: .:性质求cdttdfdttdfdtdtftftftfd)(12)(2121)()()()(:tttdftfdftfffe)()()()()()(:122121性质:a

52、:交换律 b:分配律 c:结合律dttdfttdttdfdfdftftff)(12)(2121)()()()(:)()()()()()(:00ttftttftfttfg5:信号的分解(1)直流分量和交流分量22)()()(1ttdttfftfftftdad(2)偶分量和奇分量 )()()(tftftfoe)()()(21tftftfe)()()(21tftftfo参变量:)()()(tdtftf(3)冲激信号的和)()()(thtetrdtete)()()()()(h)()(tht)()()()(thete分析线形系统的方法:信号分解成一系列基本信号的和 dtthethtedthedte)()

53、()()()()()()(周期1110sincos)(nnntnwbtnwaatf110)cos(nnntnwccntjnwenwf1)(12211)()(11dtetffnwftjnwtn非周期dwewftfjwt)()(21dtetfwfjwt)()(4:正交函数分量 第三章 傅里叶变换 一:周期信号的傅里叶级数1110sincos)(nnntnwbtnwaatf221)(10dttfat221)cos()(12dttnwtfatn1221)sin()(12dttnwtfbtn 1: 计算半波对称），可简化求的对称性（全波对称，根据nnbaatf,)(0作业3-7,可以移动函数的坐标,使波形具有某种对称性,以简化运算.直流只含有余弦项0)()(nbtftf只含有正弦项0)()(0aatftfn项只含有直流和偶次谐波为偶数为奇数nbanbatftfnnnnt00)()(21只含基波和奇次谐波项为偶数，为奇数nbanbatftfnnnnt00)()(21 110)cos()(nnntnwcctf00ca 22nnnbacnnabnarctannnncacosnnncbsin2: 单边谱n1nw相位谱nc1nw幅度谱双边谱ntjnwnntjnwefenwftf11)()(1nn