函数的图象,零点,二分法与周期

1、函数的图象，零点，二分法与周期一 .基础知识回顾，则 a 的取值范围是已知f ( x)x22xa, 在 1,2上至少存在一个实数m,使得 f (m) 0a81.2. 方程 lg x82x的根 x0(k ,k 1),kZ ，则 k3函数 f ( x)x2(1)x 的零点有3个2变：f( )tanxsinx在(,) 有 1个零点x22函数 f ( x)ax212x9在1,2上有且仅有一个零点，则a 的取值范围是 3,15) 44若函数 f ( x)x24kxk的两个零点是 log a b，logb a(ab 1) ，则 a, b 满足的关系式 ab 233 f ( x) 的图象部分如图所示：f (

2、x) 是周期函数，则 f (x) 的定义域为 x | x4k2,kZ ，y1值域为-1,1)，周期为4x-3-2-10123-14 下列函数的周期 T的有4个(1)y| sin x |,(2) y | sin x1tan x( xk, x2k , kZ),(4) y | tan x |,(3) y221(5) ysin | x |,(6) ytan | x |,(7) ysin x cos x,(8) ytan x,(9) ysin 4 x cos4 xsin 4 xcos4tan x(10) yxy5函数 f (x)A sin( wx) k (w0,02 ) 的部分图象如图所示 ，3则 f

3、( x) = 2 sin(13)1x32844-16 若函数 yf (2 x1) 的图象关于 y 轴对称，则 yf (2 x) 的对称轴方程是1x27将 f (x) 的图象上每点横坐标扩大到原来的2 倍，纵坐标不变，然后再将图象向右平移45 )y 3sin( x) 重合，则 f (x) = 3sin( 2x612y8已知 f (x) 是定义域为 (,0)(0,) 的奇函数，当 x0时， f (x) 的图3xx f ( x)f ( x)0 ，则 x 的取值范围是 (0象如图所示，若3,0) ( 0,3)9已知函数f (x)cos x, x(,3 ) ，若方程 f ( x)a 有三个不同的根x1

4、, x2 , x3 ( x12x，所得图象恰与x2x3 ) ，且x22x1 x3 ，则 a 的值为12对于实数x, y,定义运算x yx 1,( x y) ，方程 sin xcosx cos x sin x 的解集为102 y,( xy)x | x k, kZ4二.例题精选例 1、已知函数 f ( x)3 sin x cos xcos2 x1 (x R)2（ 1）求函数 f ( x) 的周期（ 2）函数 f (x) 的图象可由 y sin x 的图象经过怎样的变换得到？（ 3）作出f (x) 在 0, 上的简图，并指出它在0, 上的单调增区间答案：（ 1） T=（2） ysin x 向左平移个

5、单位，横坐标变为原来的一半，纵坐标不变, 26（3） 0,6,3例 2、已知函数 f ( x)Asin( wx), x R, ( A 0, w 0,x) 的图象到 y 轴右侧的第一个最高点（函数的最大值点）为M(2,23)与 x 轴在原点左侧的第一个交点为N（ -1，0）（ 1）求函数解析式（ 2）求函数 f (x)在 x 2,2 的值域答案 ： f ( x)23 sin(x), 值域为 3,23 ；66或 f ( x)23 cos2x,值域为 2 3,23： -或 f ( x)2 3 sin( 5x5),值域为 23,2366例 3、已知函数 f ( x)mx2(m3) x1的图象与 x 轴

6、交点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围？变：将原点改为（1， 0）呢？答案 ：1 m0, f ( x)0, x1 ,满足32 m 0, f (x)0至少有一个大于 的根00若没有，则或m30, m0, m102mf (0)00 m 13 m0, f (0)1, f ( x)必有一根大于0综上， m1例 4、已知函数 f ( x)ax2bxc(a0, bc0). F ( x)f (x),( x0)f ( x),( x0)f (x)f (1)0, 且 f(0) 1，求（F2） F（ 1）若的最小值是2）的值（ 2）在（ 1）的条件下，当x3,1 时 f (x) 的图象恒在直线y xk 的上

7、方，求（ 3）令 g (x)2axb ,若 g(1)0, 又 f ( x) 的图象在 x 轴上截得弦的长度为 m ,且 0符号？（ ）a1,b2,c1,f(x) (x1) 2,F(2)F( 2)8答案： 1k 的取值范围？m2 ,试确定 cb的（ 2） h( x)f ( x)xk, h(x)0在3, 1上恒成立， h( x)min0, k1（3） cb0三巩固练习1.f ( x) xlg a 2x 2在(1,2)内有且只有一个零点，那么实数a的取值范围是1，10已知函数22.用二分法求函数f (x)3xx4 的一个零点，其参考数据如下：f (1.6000)0.200f (1.5875)0.13

8、3f (1.5750)0.067f (1.5625)0.003f (1.5562)0.029f (1.5500)0.060据此数据，可得方程3xx4 0 的一个近似解（精确到0.01）为1.563.若f ( x)Asin( wx)1,( w0,|) ，对于任意实数 t都有 f (t)f ( t), 记33g (x)A cos(wx)1,则 g ()-134.函数 f ( x)3sin( 2 x)1的图象为 C，图 C 关于直线 x11对称，函数 f ( x)在区间 (,5) 内3121212是增函数，图象C关于点( 2,0) 对称，由 y3sin(2x) 的图象向右平移个单位可以得到 C，以上

9、结论33正确的有5、设1,1,1 ,3 ，则使函数 yx的定义域为 R，且它的图象关于原点对称，则所有的值为1 或 326.已知函数 f ( x )A sin( wx)k ( A0, w0,0) 的图象两个相邻的最值点为2, 1) ，则这个函数的表达式为f ( x)2 sin(2x)1( ,3),(6367.图中阴影部分的面积S 是 h 的函数 (0hH ) ，则该函数的大致图象的序号是（ 2）SSSShHoHhoHhoHhohH(1)(2)(3)(4)20 解可视为函数 yx2 与 y148.方程 x2x 1x 的图象交点的横坐标， 若方程 xax 4 0 的各个实数 x1 , x2 , x

10、k k4 所对应的点xi ,4i 1,2, k 均在直线 yx 的同侧，则实数a 的取值范围xi是(,6)(6,)9.已知定义在 R 上的函数 yf ( x) 的图象关于原点对称且对于任意xR，都有 f (x 3)f ( x) ，若f (1) 1,tan2, 求 f (2005sincos) 的值。（ f (2005 sincos)1）答案：10.已知 f ( x) 2sin x cos x2 3 cos2 x23 (1)用五点法作出f ( x) 在一个周期上的简图(2) f ( x) 的图象可由ycos x 的图像经过怎样的变换得到？(3) 求 f ( x) 的周期，并指出当x 为何值时 f

11、 (x) 取最值答案 ： (1)f ( x)2 sin(2x)3531（ 2）向右平移个单位，横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的2 倍，向上平移3 个单位625（3） T,当 xk时，取最大值 23121当 xk时，取最小值231211已知函数 f (x)loga (x1),a1且 f(x)与 g(x) 的图象关于原点对称（ 1）求 g( x) 的解析式（ 2）解不等式： 2 f ( x) g (x) 0答案: 1( x, y )在g ( x)上则( x,y )在f ( x )上，g ( x)log a ( x 1),22 f ( x)g( x)log a( x1) 20 log a 1, 又 1x 1 解集为 0,1)x112已知二次函数f (x)ax2bxc（ 1）若 f ( 1)0 ，试判断函数f ( x) 的零点个数（ 2）是否存在 a,b, cR ，使 f