理科数学考前必记的54个知识点

1、二、考前必记的 54 个知识点集合(1)集合间关系的两个重要结论AB 包含 AB 和 AB 两种情况， 两者必居其一， 若存在 xB 且 xA， 说明 AB，只能是 AB.集合相等的两层含义：若 AB 且 BA，则 AB；若 AB，则 AB 且 BA.提醒1任何一个集合是它本身的子集，即 AA.2对于集合 A，B，C，如果 AB 且 BC，则有 AC.3含有 n 个元素的集合有 2n个子集，有 2n1 个真子集，有 2n2 个非空真子集4集合中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性(2)集合之间关系的判断方法ABAB 且 AB，类比于 abab 且 ab.ABAB 或 AB，类比于 aba0

2、且 a1)ylogax(a0 且 a1)定义域R(0，)值域(0，)R图象关系指数函数对数函数奇偶性非奇非偶非奇非偶单调性0a1 时，在 R 上是增函数0a1 时，在(0，)上是增函数提醒直线 x1 与所给指数函数图象的交点的纵坐标即底数，直线 y1 与所给对数函数图象的交点的横坐标即底数函数零点的判断方法(1)利用零点存在定理判断法：如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0)，(logax)1xln a(x0，a0，且 a1)(ex)ex，(ax)axln a(a0，且 a1)(2)导数的四则运算法则(uv)uvf1(x)f2(x)fn(x)f

3、1(x)f2(x)fn(x)(uv)vuvu(cv)cvcvcv(c 为常数)uv vuvuv2(v0)提醒1若两个函数可导，则它们的和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导2利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)nxn1中 nQ*，(cos x)sin x.3注意公式不要用混，如(ax)axln a，而不是(ax)xax1.4导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形，即u(x)v(x)w(x)u(x)v(x)w(x)5一般情况下，f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)f(x)g(x)，f（x）g（

4、x） f（x）g（x），f（x）g（x） f(x)g(x)10极值与最值(1)判断极大、极小值的方法当函数 f(x)在点 x0处连续时如果在 x0附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则 f(x0)是极大值如果在 x0附近的左侧 f(x)0，则 f(x0)是极小值提醒1可导函数极值点的导数为 0， 但导数为 0 的点不一定是极值点， 如函数 f(x)x3，x0 时就不是极值点，但 f(0)0.2极值点不是一个点，而是一个数 x0，当 xx0时，函数取得极值在 x0处有 f(x0)0 是函数 f(x)在 x0处取得极值的必要不充分条件3函数 f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极

5、大值与其端点函数值中的最大值，函数 f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点函数值中的最小值(2)极值与最值的区别与联系区别：函数的极值函数的最值函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点使函数取得最大值，最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点函数的极值是通过比较极值点附近的函数值得出的函数的最值是通过比较整个定义域内的函数值得出的函数的极值可能不止一个，也可能一个没有函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个函数的极大值不一定大于函数的极小值函数的最大值一定大于函数的最小值联系：(i)当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函

6、数的最值点；(ii)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值11定积分(1)由定积分的定义可得定积分错误错误!f(x)dx 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量没有关系，即错误错误!f(x)dx错误错误!f(t)dt错误错误!f(u)du.(2)定积分满足性质：错误错误!kf(x)dxk错误错误!f(x)dx(k 为常数)；错误错误!f1(x)f2(x)dx错误错误!f1(x)dx错误错误!f2(x)dx；错误错误!f(x)dx错误错误!f(x)dx错误错误!f(x)dx(其中 ac0)个单位得到 ysin(x)的图象(当0，d0 时，Sn有最大

7、值，可由 an0 且 an10 求得 n，从而求出 Sn的最大值；当 a10 时，Sn有最小值，可由 an0 且 an10 求得 n，从而求出 Sn的最小值二次函数法：用求二次函数最值的方法求 Sn的最值值得注意的是 nN*，因此等差数列前 n 项和取得最值时 n 的值可能不是一个值，也有可能是两个值20等比数列的判断方法(1)定义法：an1anq(q 为常数且 q0，nN*)或anan1q(q 为常数且 q0，n2)an为等比数列(2)等比中项法：a2n1anan2(an0，nN*)an为等比数列(3)通项公式法：ana1qn1(其中 a1，q 为非零常数，nN*)an为等比数列提醒判断一个

8、数列是否是等比数列， 还有一种直观的判断方法， 即前 n 项和公式法：若 Sn表示数列an的前 n 项和，且 Snaqna(a0，q0，q1)，则数列an是公比为q 的等比数列但此方法不能用于证明一个数列是等比数列21数列中项的最值的求法(1)根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数 f(n)an，利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解，但要注意自变量的取值必须是正整数的限制(2)利用数列的单调性求解，由不等式 an1an(或 an1an)求解出 n 的取值范围，从而确定数列单调性的变化，进而确定相应的最值(3)转化为关于 n 的不等式组求解：若求数列an的最大项，则可解不等

9、式组anan1，anan1；若求数列an的最小项，则可解不等式组anan1，anan1，求出 n 的取值范围之后再确定取得最值的项22不等式的解法(1)分式不等式的解法分式不等式f（x）g（x）0(或0(0(a(x)f(x)(x)(a1)或 f(x)(x)(0aloga(x)f(x)(x)0(a1)或 0f(x)(x)(0a0(0(a0)，且0(a0，b0)，当且仅当 ab 时，等号成立整式形式：abab22(a，bR)，a2b22ab(a，bR)，(ab)24ab(a，bR)，ab22a2b22(a，bR)，以上不等式当且仅当 ab 时，等号成立分式形式：baab2(ab0)，当且仅当 ab

10、 时，等号成立倒数形式：a1a2(a0)，当且仅当 a1 时，等号成立；a1a2(a0)，当且仅当a1 时，等号成立(2)利用基本不等式求最值对于正数 x，y，若积 xy 是定值 p，则当 xy 时，和 xy 有最小值 2 p.对于正数 x，y，若和 xy 是定值 s，则当 xy 时，积 xy 有最大值14s2.已知 a，b，x，y 为正实数，若 axby1，则有1x1y(axby)1x1y abbyxaxyab2 ab( a b)2.已知 a，b，x，y 为正实数，若axby1，则有 xy(xy)axby abayxbxyab2 ab( a b)2.提醒利用基本不等式求最大值、最小值时应注意

11、“一正、二定、三相等”，即：所求式中的相关项必须是正数；求积 xy 的最大值时，要看和 xy 是否为定值，求和 xy的最小值时，要看积 xy 是否为定值，求解时，常用到“拆项”“凑项”等解题技巧；当且仅当各项相等时，才能取等号以上三点应特别注意，缺一不可25空间几何体的表面积和体积(1)直棱柱的侧面积：S侧cl(c 是底面周长，l 为侧棱长)正棱锥的侧面积：S侧12ch(c 是底面周长，h为斜高)正棱台的侧面积：S侧12(cc)h(c，c分别是上、下底面周长，h为斜高)圆柱的侧面积：S侧cl2rl(c 是底面周长，l 为母线长)圆锥的侧面积：S侧12clrl(c 是底面周长，l 为母线长)圆台

12、的侧面积：S侧12(cc)l(rr)l(c，c分别是上、下底面周长，l 为母线长)球的表面积：S4R2.(2)柱体的体积：V柱Sh(S 为底面积，h 是柱体的高)锥体的体积：V锥13Sh(S 为底面积，h 是锥体的高)球的体积：V球43R313S表R.26球的组合体(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长(3)球与正四面体的组合体： 棱长为a 的正四面体的内切球的半径为612a(正四面体高63a的14)，外接球的半径为64a(

13、正四面体高63a 的34)27证明空间位置关系的方法(1)线面平行：abbaa，aa，aaa.(2)线线平行：aabab，abab，abab，abaccb.(3)面面平行：a，babOa，b，aa，.(4)线线垂直：abab.(5)线面垂直：a，babOla，lbl，la，ala，aa，abab.(6)面面垂直：aa，aa.提醒利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征，尤其要注意灵活利用正棱柱、正棱锥等特殊几何体的性质，进行空间线面关系的相互转化28空间向量的坐标运算设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则(1)aba1b1a2b2a3b3；(2)aba1b1，a2b2，

14、a3b3(R，b0)；(3)aba1b1a2b2a3b30(b0)；(4)|a| aa a21a22a23；(5)cosa，bab|a|b|a1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23(a0，b0)；(6)点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离 d|AB|（x2x1）2（y2y1）2（z2z1）2.29空间向量的应用(1)夹角公式：设非零向量 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则 cosa，ba1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23.推论：(a1b1a2b2a3b3)2(a21a22a23)(b21b22b23)(2)异

15、面直线所成的角：cos |cosa，b|ab|a|b|a1b1a2b2a3b3|a21a22a23 b21b22b23，其中(00)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆的参数方程：xarcos ybrsin (为参数)圆的直径式方程： (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的端点是 A(x1， y1)， B(x2，y2)(2)直线与圆的位置关系直线 l： AxByC0 和圆 C： (xa)2(yb)2r2(r0)有相交、 相离、 相切三种情况 可从代数和几何两个方面来判断：代数方法(判断直线与圆的方程联立所得方程组的解的情况)：0相交；0相离；0相切；几何方法(

16、比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为 d，则 dr相离；dr相切(3)圆与圆的位置关系设圆 O1：(xa1)2(yb1)2r21(r10)，圆 O2：(xa2)2(yb2)2r22(r20)，则其位置关系的判断方法如下表：方法位置关系几何法代数法公切线的条数圆心距 d 与 r1， r2的关系联立两圆方程组成方程组的解的情况外离dr1r2无解4外切dr1r2一组实数解3相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解2内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解1内含0db0)y2a2x2b21(ab0)图形几何性质范围axa，bybbxb，aya对称性对称轴：x 轴，y 轴；对称中心

17、：原点焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)顶点A1(a，0)，A2(a，0)；B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)；B1(b，0)，B2(b，0)轴线段 A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为 2a，短轴长为 2b焦距|F1F2|2c离心率焦距与长轴长的比值：e(0，1)a，b，c的关系c2a2b2提醒椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e 的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度因为 a2b2c2，所以ba 1e2，因此，当 e 越趋近于 1 时，ba越趋近于 0，椭圆越扁；当 e 越趋近于 0 时，ba越趋近于 1，椭圆

18、越接近于圆所以 e 越大椭圆越扁，e 越小椭圆越圆当且仅当 ab，c0 时，椭圆变为圆，方程为 x2y2a2.33双曲线(1)双曲线的标准方程及几何性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形几何范围|x|a，yR|y|a，xR性质对称性对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)轴线段 A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为 2a，虚轴长为 2b焦距|F1F2|2c离心率焦距与实轴长的比值：e(1，)渐近线ybaxyabx

19、a，b，c的关系a2c2b2提醒1离心率 e 的取值范围为(1，)当 e 越接近于 1 时，双曲线开口越小；当 e 越接近于时，双曲线开口越大2满足|PF1|PF2|2a 的点 P 的轨迹不一定是双曲线，当 2a0 时，点 P 的轨迹是线段 F1F2的中垂线；当 02a|F1F2|时，点 P 的轨迹不存在(2)双曲线的方程与渐近线方程的关系若双曲线的方程为x2a2y2b21，则渐近线的方程为x2a2y2b20，即 ybax.若渐近线的方程为 ybax，即xayb0，则双曲线的方程可设为x2a2y2b2.若所求双曲线与双曲线x2a2y2b21 有公共渐近线，其方程可设为x2a2y2b2(0，焦点

20、在 x 轴上；0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形几何性质对称轴x 轴y 轴顶点O(0，0)焦点Fp2，0Fp2，0F0，p2F0，p2准线方程xp2xp2yp2yp2范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR离心率e1(2)抛物线焦点弦的常用结论设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，为直线 AB 的倾斜角，则焦半径|AF|x1p2p1cos ，|BF|x2p2p1cos .x1x2p24，y1y2p2.弦长|AB|x1x2p2psin2.1|FA|1|FB|2p.以弦 AB 为直径的圆与准线相切SOABp2

21、2sin (O 为抛物线的顶点)35直线与圆锥曲线的位置关系(1)弦长的求解方法设直线与圆锥曲线交于 A(x1，y1)， B(x2，y2)两点， 若直线 AB 的斜率存在(设为 k)，则|AB| 1k2|x1x2|；若 k0，则|AB|11k2|y1y2|，其中|x1x2| （x1x2）24x1x2，|y1y2| （y1y2）24y1y2.当直线 AB 的斜率不存在时，可直接求出直线与圆锥曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长(2)圆锥曲线中的最值问题利用圆锥曲线的定义进行转化，一般在三点共线时取得最值求圆锥曲线上的点到已知直线的距离的最值， 则当已知直线的平行线与圆锥曲线相切时，两平行线

22、间的距离即所求利用基本不等式求最值36频率与概率的区别与联系(1)区别频率具有随机性，在不同的试验中，同一事件发生的频率可能不同；概率是频率的稳定值，是一个确定的常数，不管进行多少次试验，同一事件发生的概率是不变的(2)联系频率和概率都是用来刻画随机事件发生的可能性大小的量；概率可看作频率在理论上的期望值， 随试验次数的增加， 频率可近似地作为这个事件的概率37事件的关系与运算(1)包含关系：如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B 包含事件 A，记作BA(或 AB)(2)相等事件：如果 BA 且 AB，那么称事件 A 与事件 B 相等，记作 AB.(3)并(和)事件：若某事件

23、发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，则称此事件为事件 A与事件 B 的并事件(或和事件)，记作 AB(或 AB)(4)交(积)事件：若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生，则称此事件为事件 A与事件 B 的交事件(或积事件)，记作 AB(或 AB)(5)互斥事件：若 AB 为不可能事件(即 AB)，那么称事件 A 与事件 B 互斥，其含义是事件 A 与事件 B 在任何一次试验中都不会同时发生(6)对立事件：若 AB 为不可能事件，AB 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件，其含义是事件 A 与事件 B 在任何一次试验中有且只有一个发生提醒互斥事件与对立事件都

24、是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件， 而对立事件除要求这两个事件不同时发生以外， 还要求二者必须有一个发生 因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件38概率的几个基本性质(1)任何事件 A 的概率都在 01 之间，即 0P(A)1.(2)若 AB，则 P(A)P(B)(3)必然事件发生的概率为 1，不可能事件发生的概率为 0.(4)当事件 A 与事件 B 互斥时，P(AB)P(A)P(B)注意没有事件 A 与事件 B 互斥这一条件时，这个公式不成立(5)若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 P(A)P(B)1.提醒当一事件的概率不易直接求，但其对立事件的概

25、率易求时，可运用(5)，即用间接法求概率39古典概型的概率公式如果随机事件 A 包含的基本事件数为 m，总的基本事件数为 n，则P(A)事件 A 包含的基本事件的个数总的基本事件的个数mn.提醒求解古典概型问题的步骤1判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件 A.2分别计算总的基本事件的个数 n 和所求的事件 A 所包含的基本事件的个数 m.3利用古典概型的概率公式 P(A)mn，求出事件 A 的概率40几何概型的概率公式在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下：P(A)构成事件 A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.提醒在几何概型中， “等可能

26、”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关41几何概型与古典概型的差异名称古典概型几何概型相同点基本事件发生的可能性相等不同点基本事件有有限个；P(A)0A 为不可能事件；P(B)1B 为必然事件基本事件有无限个；P(A)0A 为不可能事件；P(B)1B 为必然事件42均值的相关结论(1)E(k)k(k 为常数)(2)E(aXb)aE(X)b.(3)E(X1X2)E(X1)E(X2)(4)若 X1，X2相互独立，则 E(X1X2)E(X1)E(X2)(5)若随机变量 X 服从两点分布，则 E(X)p.(6)若 X 服从二项

27、分布，即 XB(n，p)，则 E(X)np.提醒E(X)是一个常数，由 X 的分布列唯一确定，它描述 X 取值的平均状态作为随机变量 X 是可变的，可取不同的值43方差的相关性质结论(1)D(k)0(k 为常数)(2)D(aXb)a2D(X)(3)D(X)E(X2)E(X)2.(4)若 X1，X2，Xn两两独立，则 D(X1X2Xn)D(X1)D(X2)D(Xn)提醒1随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度，其中标准差与随机变量本身有相同的单位2方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负的44二项分布与正态分布(1)条件概率的计算公式：当 P(B)0

28、 时，在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的条件概率 P(A|B)P（AB）P（B）；类似地，当 P(A)0 时，在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率 P(B|A)P（AB）P（A）.(2)二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是 P(k)Cknpk(1p)nk，其中 k0，1，n.(3)若随机变量 X 服从正态分布 N(，2)，则 P(a0)正态分布密度函数的性质：函数图象关于直线 x对称；(0)的大小决定函数图象的“胖”“瘦”；P(x)0.682 6，P(2x2)0.954 4，P(3x3)0.997

29、4.在实际问题中进行概率、 百分比计算时， 关键是把正态分布的两个重要参数， 求出，然后确定三个区间(范围)：(，)，(2，2)，(3，3)与已知概率值进行联系求解45排列数、组合数公式及其相关性质(1)排列数1公式Amnn(n1)(n2)(nm1)n！（nm） ！(mn，m，nN*)，Annn！n(n1)(n2)21(nN*)2Amnn！（nm） ！主要有两个作用：当 m，n 较大时，可使用计算器快速算出结果；对含有字母的排列数的式子进行变形时常使用此公式(2)组合数1公式CmnAmnAmmn（n1）（nm1）m！n！m！ （nm） ！(mn，n，mN*)2Cmnn！m！ （nm） ！主要有

30、两个作用：当 m，n 较大时，利用此公式计算组合数较为简便；对含有字母的组合数的式子进行变形或证明时，常用此公式3组合数的性质CmnCnmn(mn，n，mN*)，Cmn1Cm1nCmn(mn，n，mN*)，C0nC1nC2nCrnCnn2n，C1nC3nC5nC0nC2nC4n2n1.46求解排列组合问题常用的解题方法(1)元素相邻的排列问题“捆绑”法(2)元素相间的排列问题“插空”法(3)元素有顺序限制的排列问题“除序”法，即先把这几个有顺序限制的元素及其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数(4)带有“含”“不含”“至多”“至少”的组合(排列)问题间接法， 即先不考

31、虑限制条件求出组合(排列)数，再排除不符合要求的组合(排列)数47二项式定理(ab)nC0nanC1nan1bCknankbkCnnbn(nN*)，这个公式叫作二项式定理，右边的多项式叫作(ab)n的二项展开式， 它一共有 n1 项， 其中各项的系数 Ckn(k0， 1， ，n)叫作二项式系数，式中的 Cknankbk叫作二项展开式的通项，用 Tk1表示，即通项为展开式的第 k1 项：Tk1Cknankbk(其中 0kn，kN，nN*)提醒1(ab)n的二项展开式的第 k1 项是 Cknankbk，(ba)n的二项展开式的第k1 项是 Cknbnkak.2二项式系数与项的系数是两个完全不同的概念，二项式系数与 a，b 的值无关，项的系数不仅与项数有关，也与 a，b 的值有关48三种抽样法类别共同点各自特点联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；每次抽出个体后不再将它放回， 即不放回抽样从总体中逐个抽取最基本的抽样方法总体中的个体较少系统抽样将总体分成几部分，按预先确定的规则在各部分中抽取在第一部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体较多分层抽样将总体分成几层，分层按比例进行抽取分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成提醒1用系统抽样法抽样时，如果总体容量 N 能被样本容量 n 整除，则抽样间隔为 kNn；如果总体容量 N 不能被样本