专题二三角函数解三角形平面向量

1、学习必备欢迎下载三角函数、解三角形、平面向量第 1 讲三角函数的图象与性质【高考真题感悟】(2011 北·京 )已知函数f(x) 4cos xsin x 6 1.(1)求 f( x)的最小正周期； (2)求 f( x)在区间 ，上的最大值和最小值64解： (1)因为 f(x) 4cos xsin x1 4cos x3sin x1cos x 1 3sin 2 x 2cos2x1622 3sin 2xcos 2x 2sin 2x 6 ，所以 f(x)的最小正周期为. 2(2)因为 x ，所以62x 3.646 于是，当2x 62，即 x6时， f( x)取得最大值2；当 2x6 6，即

2、x6时， f(x)取得最小值 1.考题分析本题主要考查利用二倍角公式和辅助角公式化简求解三角函数的解析式，并求三角函数在给定区间上的值域考查了考生分析问题与解决问题的能力和运算求解能力易错提醒(1) 对三角恒等变换公式掌握不牢，化简方向不明确(2)求 f(x)在给定区间上的值域，易忽视对函数单调性的讨论【热点分类突破 】题型一三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用例 1已知点 P( 3,4)是角 终边上的一点3·sin3sin ·tan2(2 )tan( )22的值求：cos ·cos 224解： P( 3,4)是角 终边上的一点， tan .3学习必备欢迎下

3、载( cos ) ·( cos ) ·tan2(tan )4 原式 tan 3.sin ·( sin )3探究提高在应用诱导公式时，需要先将角变形，有一定技巧，如化2 为 (2 )或 2 2 .变式训练 133已知点P(sin4， cos 4 )落在角 的终边上，且 0,2)，则 的值为 _3cos4 cos4337解析： tan 3 1，又 sin4 >0，cos 4<0， 为第四象限角且 0,2)， 4 .sin4sin4题型二三角函数图象变换及函数y Asin( x )的解析式例 2 函数 y Asin( x)(A>0 ，>0， |&

4、lt; )的一段图象 (如图所示 )，求其解析式2思维启迪先由图象求出函数的周期，从而求得 的值，再由关键点求 ，最后将(0， 2)代入求 A 的值T，则3 7 32解： 设函数的周期为4T 8 8 4， T ， T 2.又 2×8 2k 2(k Z) ， 2k4 (k Z) ，又 |<2， 4. 函数解析式为yAsin(2x 4)又图象过点 (0，2)， Asin42，2 2 A2，A2. 所求函数的解析式为y2sin(2 x4)探究提高(1)已知函数 y Asin(x )(A>0， >0) 的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求 A

5、；由函数的周期确定 ；由图象上的关键点确定 .(2)求函数的周期时， 注意以下规律： 相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，1最高点 (或最低点 )的横坐标与相邻零点差的绝对值为4个周期变式训练2学习必备欢迎下载 5(1)(2010 天·津改编 )右图是函数 yAsin( x )(x R)在区间 ，6上的图象为了得到这个函数的图6象，只要将 ysin x(x R)的图象上所有的点向左平移_个单位长度， 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 _倍，纵坐标不变解析： 由图象可知 A 1，T 526 (6)， T2.图象过点 (223，0) ， sin( 3 ) 0， 3 2k，

6、 kZ ， 3 2k，k Z.y sin(2 x 2k)sin(2x33)故将函数 ysin x 先向左平移13个单位长度后， 再把所得各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，可得原函数的图象(2)(2011 江·苏 )已知 f(x) Asin(x )(A， ， 为常数， A>0 ，>0) 的部分图象如图所示，则f(0) 的值是_T7 2解析： 由题图知 A 2， 412 34， T ， 2. 2× 3 2k ， 2k3.令 k 0，得 3.6 函数解析式为 f(x) 2sin 2x 3 ， f(0)2sin32 .题型三三角函数图象与性质的综合应用例 3已知

7、函数23，且 f(0)3， f1.f(x)2acos x bsin xcos x2242(1)求 f( x)的最小正周期；(2)求 f( x)的单调递减区间；(3)函数 f(x) 的图象经过怎样的平移才能使所得图象关于原点对称？解： (1)由 f(0) 3，得 2a33，故 a322 22 .由 f 4 12，得 23 b2 2312，所以 b 1.2331可得 f(x)3cos x sin xcos x 2 2 cos 2x2sin 2x sin 2x3 .2所以函数 f(x)的最小正周期T 2 . 37(2) 由 2 2k 2x3 2 2k， k Z，得 12 kx 12 k，k Z.所以

8、 f(x)的单调递减区间是7( kZ) k， k1212学习必备欢迎下载(3)因为 f(x) sin2x，所以由奇函数y sin 2x 的图象向左平移y f(x) 的图象， 故函6个单位即得到 k k6数 f(x)的图象向右平移6 2 k( Z)个单位或向左平移3 2 k(Z) 个单位后，对应的函数即成为奇函数，图象关于原点对称探究提高(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为 yAsin(x) B 的形式，然后再求解(2)对于形如 y asin x bcos x型的三角函数，要通过引入辅助角化为ya2 b2sin( x)(cos

9、 a2， sin b)的形式来求222a ba b变式训练 3已知函数 f( x) 3sin(x ) cos(x )(0< <， >0)为偶函数，且函数y f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 2.(1)求 f 8 的值；4 倍，纵个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的(2)将函数 y f(x)的图象向右平移 6坐标不变，得到函数y g(x)的图象，求 g(x) 的单调递减区间解： (1)f(x) 3sin(x ) cos(x )231cos(x) 2sin.2sin( x )x 26因为 f(x)为偶函数，所以对 x R， f( x) f(x)恒成立，因此 si

10、n x 6 sin x6，即 sin xcos 6 cos xsin 6 sin xcos 6 cos xsin 6，整理得 sin xcos 60.因为 >0，且 x R，所以 cos 6 0.又因为 0<<，故 6 2.所以 f(x) 2sin x 22cos x.由题意得2 2·，所以 2.2故 f(x) 2cos 2x.因此 f 8 2cos4 2.学习必备欢迎下载(2) 将 f(x)的图象向右平移6个单位后，得到 y f x6的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4 倍，x 纵坐标不变，得到 yf 46 的图象所以g(x) fx46 2cos 2x4 62

11、cosx2 3.x 当 2k 23 2k k( Z) ，28即 4k3 x4k3 (k Z)时， g(x)单调递减因此 g(x)的单调递减区间为4k28(k Z) 3， 4k3【规律方法总结 】1 求函数 y Asin(x)(或 y Acos(x )，或 y Atan(x )的单调区间(1)将 化为正(2)将 x 看成一个整体，由三角函数的单调性求解2已知函数y Asin(x ) B(A>0， >0) 的图象求解析式ymax yminy(1)A，Bmax ymin22.2(2)由函数的周期T 求 ， T .(3)利用与 “五点法 ”中相对应的特殊点求.3函数 y Asin( x )

12、的对称轴一定经过图象的最高点或最低点4求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y Asin(x ) B 的形式，进而结合三角函数的性质求解(2)将三角函数式化为关于sin x， cos x 的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解【名师押题我来做 】1关于函数f(x) sin 2x cos 2x有下列命题： y f(x)的周期为； x 4是y f(x) 的一条对称轴；8， 0是y f(x) 的一个对称中心；将y学习必备欢迎下载 f(x)的图象向左平移y 2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是_( 把你认个单位，可得到4为正确命题的序号都写上)押题依据本小题以多项选择的形式考查了三

13、角函数的性质、三角函数式的化简重点突出，形式新颖，难度适中，是高考的热点，故押此题押题级别解析： 由 f(x) sin 2x cos 2x 2sin 2x24，得T2 ，故 对；f 4 ± 2，故 错； 2sin 4f 8 2sin 0 0，故 对；yf(x)的图象向左平移4个单位，得 y 2sin 2x 4 4 2sin2x4 ，故 错故填.2求函数 y sin 4x cos 4x6 的周期、单调区间及最大、最小值3押题依据将三角函数化为 y Asin( x)的形式，再求其周期、单调区间、最值等，一直是高考的热点考向，也是三角函数的重要内容本题考查内容重点突出，难度适中，故押此题押

14、题级别解： 34x 6 4x 2， cos 4x 6 cos6 4x cos 2 3 4x sin3 4x . y 2sin2 4x 3 ，周期 T 4 2. 当 2 2k 4x 3时，函数递增，2 2k k( Z) 函数的递增区间为5 k k24，24(kZ) 22 32 2k k( Z) 时，函数递减，当 2 2k4x 3 函数的递减区间为k7k(k Z)242，242 k当 x 24 2 (k Z) 时， ymax 2；5 k当 x 24 2(k Z) 时， ymin 2.学习必备欢迎下载第 2 讲三角变换与解三角形【高考真题感悟】(2011 山·东 )在 ABC 中，内角 A

15、，B， C 的对边分别为a，b， c.已知cos A 2cos C2c acos Bb.sin C的值；(1)求 sin A1(2)若 cos B 4， ABC的周长为 5，求 b 的长解： (1) 由正弦定理，可设abcsin A sin B sin Ck，2c a2ksin C ksin A2sin C sin A则，bksin Bsin Bcos A 2cos C2sin C sin A所以cos Bsin B，即 (cos A 2cos C)sin B (2sin C sin A)cos B，化简可得sin(A B) 2sin(B C)sin C又 A B C ，所以 sin C 2s

16、in A因此 sin A 2.sin C1(2)由 sin A 2，得 c 2a.由余弦定理及cos B4，得 b2 a2 c2 2accos B a2 4a2 4a2 ×14 4a2.所以 b 2a.又 ab c 5，所以 a 1，因此 b 2.考题分析本题考查了正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识考查了考生的运算能力，以及运用知识综合分析、解决问题的能力题目典型常规、难度适中易错提醒(1) 注意化归思想的应用，即将题中的条件都转化为角的关系或都转化为边的关系(2)不能正确进行三角恒等变换(3)易忽略隐含条件：三角形内角和为.【热点分类突破 】题型一三角变换及求值学习必备欢迎

17、下载例 1(1)已知 0<<<<，且 cos() 1， sin( ) 2，求 cos()的值；229231， tan 1，求 2 的值(2)已知 ， (0， )，且 tan() 27 思维启迪 (1)( 2) (2 ) 2；(2) () ， 2 ( ) 解： (1) 0< <2<<， 4<2 <2， 4< 2<，25cos(2 )1 sin (2 )3 ，2 45sin( 2)1 cos (2) 9，cos2 cos(2) (2 ) cos(2)cos( 2 ) sin( 2)sin( 2 )154 5×27 5

18、( 9)× 3 93 27，2 49× 5239cos( )2cos2 1 2× 729 1729.11tan( ) tan 27(2)tan tan( ) 1，1 tan( )tan 1 1× 1 32711tan tan()32tan(2 ) tan ( ) 1.1 tan tan()11×1321tan 3>0， 0<<2， 0<2<.又 tan 2 2tan 31 tan24>0， 0<2 <2.1 tan 7<0， 2<<，3 <2 <0. 2 4 . 探究

19、提高(1)注意角的变换，(2) ( 2 )2 ；(2)先由 tan tan( )，求出 tan 的值，再求 tan 2的值，这样能缩小角2的取值范围；学习必备欢迎下载(3)善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系，整体运用条件中角的函数值可使问题简化变式训练 1sin 7 °cos 15 sin° 8°(1) cos 7 °sin 15 sin° 8_；°解析sin 7 °cos 15 sin° 8°sin(15°8°) cos 15 sin° 8°cos 8 si

20、n° 15°°1 cos 30 °cos 7 °sin 15 sin° 815 tan 152 3.°cos(15 °8°) sin 15 sin° 8°cos 8 cos°°sin 30 °2，tan 1(2) 已知 tan( )4.求 tan 的值544解： 4 ( ) 4 ，tan( ) tan 2 1 tan454 3.4 tan ()41 tan( )tan 12× 122454题型二正、余弦定理例 2(2011 ·大纲全国

21、) ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， asin Acsin C 2asin C bsin B.(1)求 B；(2)若 A75°， b 2，求 a， c.解： (1) 由正弦定理得a2 c2 2ac b2，由余弦定理得b2 a2 c2 2accos B，故 cos B 22 .又 B 为三角形的内角，因此B 45°.(2)sin A sin(30 °45°) sin 30cos° 45 °cos 30sin° 45 °2 64.bsin A2 6bsin Csin 60°故 a

22、13， c2×6.sin B2sin Bsin 45°探究提高正、余弦定理与三角函数恒等变换综合考查是高考的一个方向本题突破的关键是先根据三角变换化简，再利用正、余弦定理求解变式训练 2在 ABC 中， a， b，c 分别是角 A， B， C 的对边，且 cos Bbcos C2a c.(1)求角 B 的大小；(2)若 b13， a c 4，求 ABC 的面积学习必备欢迎下载解： (1) 方法一由正弦定理，可得 a 2Rsin A，b 2Rsin B，c 2Rsin C，cos Bb将上式代入已知的 cos C，2a ccos Bsin B得 cos C2sin A sin

23、 C，即 2sin Acos B sin Ccos B cos Csin B 0，即 2sin Acos B sin(B C) 0.因为 A BC ，所以 sin(B C) sin A，1故 2sin Acos B sin A 0.因为 sin A 0，故 cos B 2，B 为三角形的内角，所以B2又因为3.方法二由余弦定理，得a2 c2b2a2 b2 c2cos B2ac， cos C2ab.将上式代入 cos Bb，cos C2a ca2 c2 b22abb，得×2aca2 b2 c22a c整理得 a2c2 b2 ac，222ac1a c b所以 cos B2ac 2ac 2

24、，因为 B 为三角形内角，所以 B23.(2)将 b 13， ac22a2 c2 2accos B 的变形式：4， B 3代入余弦定理bb2 (a c)2 2ac 2accos B.所以 13 16 2ac11，即得 ac 3，2所以 S133.ABC acsin B24题型三正、余弦定理的实际应用学习必备欢迎下载例 3如图所示，为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为1 km 的两个观察点 C，D，在某天 10 00 观察到该航船在 A 处，此时测得 ADC 30°， 3 min 后该船行驶至B 处，此时测得 ACB 60°， BCD 45°，

25、 ADB 60°，则船速为 _km/min.解：方法一(常规思路 )在 ACD 中，有ADCD，sin(60 °45°) sin180°(60 ° 45°) 30°AD 3 12.在 BCD 中，有BDCD， BD 1.sin 45°°(60° 30°) 45°sin180在 ABD 中，有222·BDcos 60 °31 22 2×3 1×1×1 32AB AD BD 2AD2 12 2，所以 AB6，故船速为6 km/mi

26、n.26方法二(特殊思路 )由题意，得 BDC 30° 60° 90°，又因为 BCD 45°，所以 BC2CD 2.因为 ACB ADB 60°，所以 A，B，C，D 四点共圆， 且以 BC 为直径，所以 AB BC·sin 60 °66 2 ，故船速为6 km/min.探究提高应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中

27、，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案变式训练 3在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山，山顶上有一个观察站，上午11 时，测得一轮船在岛的北偏东30°，俯角 30°的 B 处，到 11 时 10 分又测得该船在岛的北偏西60°，俯角 60°的 C 处，则轮船航行速度是_千米 /小时解析： 如图所示，设海岛的底部为点D.在 RtABD 中， BD 1 3；tan 30°学习必备欢迎下载在 RtACD 中， CD 13tan 60 ° 3 .故在 Rt BCD 中，

28、 BC313033 .303所以轮船的速度为1 230.6【规律方法总结 】1证明三角恒等式的常用方法(1)从一边开始证它等于另一边，一般由繁到简(2)证明左右两边都等于同一个式子(或值 )(3)运用分析法，证明其等式成立2三角恒等变形的基本思路(1)“ 化异为同 ” ， “切化弦 ”， “ 1”的代换是三角恒等变换的常用技巧“ 化异为同 ” 是指 “ 化异名为同名 ” ， “ 化异次为同次 ” ， “化异角为同角 ”(2)角的变换是三角变换的核心，如( ) ， 2( ) ( )等3已知两边及其一边的对角，判断三角形解的情况以已知 a， b，A 为例(1)当 A 为直角或钝角时，若a>b

29、，则有一解；若a b，则无解(2)当 A 为锐角时，如下表：a<bsin Aa bsin Absin A<a<ba b无解一解两解一解4.三角形中的常用结论(1)三角形内角和定理：A B C .(2)A>B>C? a>b>c? sin A>sin B>sin C.(3)a bcos C ccos B.学习必备欢迎下载5在 ABC 中，三边分别为a， b， c(a<b<c)(1)若 a2 b2>c2，则 ABC 为锐角三角形(2)若 a2 b2 c2，则 ABC 为直角三角形(3)若 a2 b2<c2，则 ABC 为钝

30、角三角形【名师押题我来做 】12sin2 2的值是 _1已知 cos13，4是第一象限角，则4sin4押题依据同角三角函数的基本关系式，诱导公式及倍角公式都是高考的热点，本题题点设置恰当，难度适中，体现了对基础和能力的双重考查，故押此题押题级别5解析： 4 是第一象限角， sin 4 13，sin2 2sin 2 4 2sin10于是4 13.sin 4 cos 4 2在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边长分别为a，b， c，已知2sin A 3cos A.(1) 若 a2 c2b2 mbc，求实数 m 的值；(2) 若 a 3，求 ABC 面积的最大值押题依据本题将三角函数、 余弦定

31、理及基本不等式巧妙地结合在一起，突出了对重点知识的重点考查体现了高考题在知识的交汇处出题的理念，故押此题押题级别221解： (1) 2sin A 3cos A， 2sinA 3cos A，即 2cos A 3cos A 2 0，解得 cos A 2或 2(舍去 )，又 0<A<， A3.由余弦定理，知b2 c2 a2 2bccos A.又 a2c2 b2 mbc，可得 cos A m2， m 1.(2) 由余弦定理及a3， A 3，可得 3 b2 c2 bc，再由基本不等式221133 3，b c 2bc， bc 3， SABC bcsin A bcsinbc42234学习必备欢迎

32、下载3 3故 ABC 面积的最大值为 4 .第3讲平面向量【高考真题感悟】(2010 天·津 )如图，在 ABC 中， AD AB，BC3 BD，|AD| 1，则 AC·AD _.解析：方法一设 BD a，则 BC3a，作 CE BA 交 BA 的延长线于E，可知 DAC ACE，1 1 在 Rt ABD 中， sin B BD a.在 Rt BEC 中， CEBC·sin B 13a· 3，a3 cos DAC cos ACE AC . AD ·AC |AD | |AC· |cos DAC AD·AC· 3 3.AC 方法二 AC AB BC AB3BD AB 3(BA AD ) (13)AB 3AD 2