2019-2020学年北京市清华附中高一(上)期末数学试卷

1、1.2.3.4.5.6.7.&9.10.V11.12.13.2019-2020学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）已知集合A = xx < lf Ka A.则“的值可能为（）A. 2B. 1C.0D. 1下列函数在定义域内单调递增的是（)A. y = X$B. y = IanXC. y = 0.5XD y = IgX若点、P（4,3）在角的终边上，则CoSa=()CWDl在a = log30.1, b = tan? c = 2W, d = sin2中，最大的数为()A. UB. bC. CD. diia + = + 2k, keZf

2、9 是“Sina = CoS(T 的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件第4页共12页下列区间包含函= % + log2% - 5零点的为（）A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)函数几E=缶的泄义域为（）A. (-lj0) U (0, +)C1/+8)B. 1JO) U (0j+)D. (7+8)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产件，则平为使平均每件产品的生产均仓储时间为扌天，且每件产品每天的仓储费用为1元.准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A.60 件B.80 件C. 100

3、 件D. 120 件已知0 = (OF), sin2 =；贝IJSm cos =() 今ScfD-T若函数f（x）的图象上存在一点A（Xo满足%0 +yo = 0,且XoyO 0,称函数f（x） 为"可相反函数” 在：y = sinxy = Inxxy = x2 + 4% + 1:y = e"X 中，为"可相反函数”的全部序号是（）A.B.C.D.填空题（本大题共6小题，共3（H）分）已知幕函数张）=计经过点（乙扌），51J（2） =已知&为第二象限角，且sin =则sin（ + 5.3乙已知函数f（x） = ASinx + A > 0, >

4、0, < Tr）的部分图象如图，则函数 >）的单调递增区间为14. 关于函数f) = SinXtIg(Xy) = CoS兀有下而三个结论： 函数f()的图象可由函数g()的图象平移得到： 函数y(x)与函数g (%)在& Tr)上均单调递减： 若直X = I与这两个函数的图象分别交于不同的A, B两点，则AB<1.其中全部正确结论的序号为.15. 已知函数f(x) = F丁 2x,l,若函= Z(X) _ k恰有两个不同的零点.则实X f X X数R的取值范围为.16. 左义：如果函数y = f(x)在泄义域内给定区间,b上存在x°(Vx°Vb),

5、满足/(%o) = Z(a)>贝9称函数y = f(x)是a,b上的"平均值函数”是它的一个均值点，若函f(X)=X2+mx是-1,1上的平均值函数，则实数加的取值范围是三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)17. 计算：(1) IOg64 + 21oge3 (2) 2 × V2 × 2(3) CoSl20° + tanl350.J . stna-CQSa1 ' sina+cosaCL)若a为第三象限角，求CoSa的值;(2)求 tan(a + f)的值:(3)求cos2a的值.19. 已知函= | 1OgaXI(>O,l)(1)

6、 若f(2)=扌，求实数"的值；(2) 若 O V 衍 V 咒2，Kf(XI) = /(%2)* 求衍2 的值：(3) 若函数f(x)在扌,3的最大值与最小值之和为2,求实数“的值.20. 已知函数f) = 4cosxsin(x + £)b(1) ()的值；(2) 求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程：(3) 对于任意XG O,n均有f(x) f(0)成立，求实数加的取值范用.21. 若函的沱义域为R,且存在非零实数T,使得对于任意xER, f(x + T)= "(X)恒成立，称函数f(x)满足性质P(T).(1) 分別判断下列函数是否满足性质P(1)，

7、并说明理由； f (%) = sin2x g(x) = cosx (2) 若函数f(x)既满足性质P(2).又满足性质P(3),求函数f(x)的解析式；(3) 若函数几幻满足性质P(l01).求证：存在勺 R使得(%0)l < 0-001.22. 已知集合 A 为非空数集，泄义屮=% = a + bfa9 b A, Ar = xx =IQ- bfa. b A.(1) 若集合力=-l,l,直接写岀集合力+及力一；(2) 若集合力=xlf X2f X34*xl <X2 <x3 VX4,且力-=4,求 ilE% + X4 = %2 + 3 (3) 若xOx2O2O.x7V,且A+H

8、 =0,求集合A中元素的个数的最大值.第4贞.共12页答案和解析1. 【答案】C【解析】解：集合4 = xx2 < 1 = x - 1 < X < 1,四个选项中，只有0月，故选：C.化简集合A，利用元素与集合之间的关系即可得出.本题考査了元素与集合之间的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题2. 【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A, y =2,是二次函数，在英定义域上不是单调函数，不符合题意：对于B, y = tanx,是正切函数，在其泄义域上不是单调函数，不符合题意：对于C, y = 0.5-,是指数函数，在上义域内单调递减，不符合题

9、意：对于D，y = Igx是对数函数，在建义域内单调递增，符合题意； 故选：D.根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案.本题考査函数单调性的判断，注意常见函数的单调性即可，属于基础题.3. 【答案】A【解析】解：点P(4,3)在角的终边上，贝IkoSa = P故选:A.由题意利用任意角的三角函数的左义，求得c。Sa的值. 本题主要考查任意角的三角函数的左义，属于基础题.4. 【答案】B【解析】解：a = log30.1 < 0, b=tanf=l, c = 2 (0,1)» d = sin2Vl,则最大的是b = 1.故选:B.分别判断三个数的大小，进行比较即可.

10、本题主要考查函数值的大小比较，分别判断四个数的取值范用是解决本题的关键.比较 基础.5. 【答案】A【解析】解：Sina = cos => COS(-CT) = cos,. = 2k ± (G a),k E Z.化为：a + = y + 2k, k E Z, - = y + 2k, k E Z,. ita + = + 2k, kEZ “是 iiSina = cos "的充分不必要条件.故选:A. Sina = cos => COSe ) = CoS0、可得“ =2k + (- ), k Z.即可判断出结论. 本题考査了三角函数方程的解法、简易逻辑的判泄方法，考査

11、了推理能力与计算能力, 属于基础题.6. 【答案】C【解析】解：经计Sf(I) = I-5 =-4 <0, /(2) = 2+1-5 =-2 <0, /(3) = 3 +Iog2 3 5 = Iog2 3 2 V 0, /(4) = 4+ 2 5 = l>0,故函数的零点所在区间为(3,4),故选：C.此类选择题可以用代入计算出函数值，利用零点判左左理解决本题考査函数零点判定建理，属于基础题.7. 【答案】A【解析】解：要使函数有意义，则ln(x + l)O, Jlx+1>0,即X > -1且 X 0,故函数的泄义域为xX > 1且X 0,故选：A.根据函数

12、成立的条件，即可求岀函数的定义域.本题主要考查函数的左义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础.8. 【答案】B【解析】解：根据题意，该生产X件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800 + x =800 +钗2这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为f() = 8°0÷2 =晋+詁(X为正整数) 由基本不等式，得f(x)2 J譽钗=20当且仅当宁=詁=10时，f(x)取得最小值、可得X = 80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故选:B.若每批生产X件，则平均仓储时间为扌天，可得仓储总费用为詁2元，再加上生产准备费 用为800元，可得生产X件产品的生

13、产准备费用与仓储费用之和是800 + xp 800 + 扌兀2元，由此求岀平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，再用基本不等式求出最小 值对应的X值本题结合了函数与基本不等式两个知识点，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取 等号的条件，才能准确给出答案.9. 【答案】D【解析】解：e = (O,f), sin28 = ? sin cos < Ot第6页共12页 sin _ cos = yf(Sin cosy)2 = -fl Sin2 = _ Il -=故选：D.由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解.本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三

14、角函数化简求值 中的应用，属于基础题.10. 【答案】D【解析】解：由泄义可得：函数>)为“可相反函数”，即函数 ()与直线y = -X有交点且交点不在 坐标原点.结合图象可得：只有符合要求: 故选：D.根据已知条件把问题转化为函数f(x) 与直线y = -X有交点且交点不在坐 标原点，结合图象即可得到结论 本题考査可相反函数的判断，考查函 数性质等基础知识，考查运算求解能 力，考査函数与方程思想，是基础题IL【答案】I【解析】解：幕函= Xm经过点(2订),即2l = l 解= -2,4所以/(X)=X-2;所以 f(J) = (2)2 =扌.故答案为：扌.把点的坐标代入幕函数解析式求

15、出加的值，求出解析式，再计算f(问的值. 本题考査了幕函数的定义与应用问题，是基础题.12. 【答案】-3【解析】解：因为8为第二象限角，且sin = P所以 cos0 = »3贝 IJSin(0 + £) = co s =宁.故答案为：空3由已知结合同角平方关系可求cos,然后结合诱导公式进行化简即可求解.本题主要考查了同角平方关系及诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题.13. 【答案】2*-£2花一弓，kez【解析】解：根据函数(x) = ASin(x + )A > O, > O, < Tr)的部分图象, 可得4 = 1， = Z =

16、再根据五点法作图，可得TrX扌+ W =兀， W =寻，/(%) = Sin(Tr % + ).2k-< x+<2k + 求2k-x2k-,故函数的增区间为2fc-2fc-, kez,故答案为：2k-t2k- kez.由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出3,由五点法作图求出®的值，可得函数 的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论.本题主要考查由函数y = Asin(x + ¢)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标 求岀A,由周期求出3,由五点法作图求出e的值，正弦函数的单调性，属于中档题.14. 【答案】【解析】解：对于，由于f(x) = SinX

17、 = CoS(X+为，所以函数/XE = S沅X的图象可 由函数g(x = COSX的图象向左平移芋个单位得到：正确：对于，函数f(x) = S沅X在G")上为减函数，函数g(x) = CoSX在G")上为减函数； 正确：对于，若直线X = t与这两个函数的图象分别交于不同的A，B两点，则AB = sint - CoStl = 2sin(t-) 血故错误；故正确结论序号为：故答案为：.根据正弦函数与余弦函数的性质逐个判断即可.本题考査三角函数的性质，图彖及三角变换，属于中档题.15. 【答案】(-1,0) U 1, 3【解析】解：条件等价于方IS(x) = k有2个不等实根

18、，也即函数f(x)与y=c的图象 有2个不同的交点， 作出函数/'(x)的图象如图：第8页，共12贞jfc(-l,O)Ul, 3,故答案为(-1,0) U 1, 3,题目等价于函数Z(X)¾ = k的图象有2个不同的交点，作出图象，数形结合即可本题考査函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题.16. 【答案】0,+8)【解析】解：根拯题意，若函f(X) = X2+上的平均值函数，则方程疋+ mx = 牛学，即x2+mx-m = 0在(1,1)内有实数根， 若函数g(x) = X2 +mx -m在(-1,1)内有零点则厶=n2+4m0,解得m 0,或m 4.g(l)

19、 = 1 > Ot g(1) = I- 2m.g(0) = -Tn.对称轴：X = -P in O时，一宁 0, g(O) = -nO, g(l) > 0,伙此此时函数g(x)在(一1,1)内一泄 有零点.nO满足条件. m 4 时，一 *2,由 jg(l) = 1 > 0.因此函 (x) = x2 + mx -m 在(一匕1)内 不可能有零点，舍去.综上可得：实数加的取值范用是0,+).故答案为：0,+8)根据题意，若函数f U) = x2 + mx-l,l±的平均值函数，方程* +HX =竿罕， 即疋+ nx-m = 0在(-1,1)内有实数根，若函(%) =

20、X2 + mx - m在(一1,1)内有零 点.首先满足：A0,解得m2 0,或m -4.(I) = I >0, (-l) = l-2m.对称轴：x=-p对加分类讨论即可得出.本题考査了新左义、二次函数的性质、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题.17. 【答案】解：(I)IOg64 + 21og63 =2- = -3= Z= 6；Igb Igb IgbIgb(2) V2 × V2 × V5 = 2 + 2 + 2 = 2+8+6 = 21 = 2 (3) CoSl20。+ tnl350 = COS(180° 一 600)

21、 + tan(180o 一 45°) = 一CoS60。一 tan450 =i 1 =【解析】(1)利用对数的运算性质求解即可得解(2) 利用指数的运算即可求解.(3) 利用诱导公式化简根据特殊角的三角函数值即可求解.本题主要考查了对数，指数的运算，考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属 于基础题.18.【答案】解：(1) V已知Sina+costn-l tan+l'tana = 3SinaCoSa第12贞，共12页 为第三象限角， COSa V O, Sina V Ot 且sin2 + cos2 = 1.-JSina = VIOCOSa =10(2)由以上可得，tan

22、( + m =豊器=吉=一2O14(3)cos2a = 2cosa 1 = 2- 1 =【解析】(1)由题意利用同角三角函数的基本关系，求得COSa的值.(2) 由题意利用两角和的正切公式，求得所给式子的值.(3) 由题意利用二倍角公式的余弦公式，求得cos2的值.本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式、二倍角公式的余弦公式的 应用，属于基础题.19. 【答案】解：依题意，loga2 =WOga2 = Ioga2 =解得 = 4或Q =-：4(2) 依题意，IIOgaXlI = IlOgaX2h 又O <X1<X2,故IOgaW +lg°%2 = °

23、;> 即IOga(XIX2)= 0» 故XlX2 = 1：(3) 显然当X = I时，函f(X) = IlOgaXl取得最小值为0,则函数f(x)在扌,3的最大值为2,若f(=loga | = 2,解得a =乎或a = 2:若f(3) = IlOga3| = 2,解得a = sKa = 3:结合(2)可知，只有a =迺或a =逅满足题意3【解析】(1)代入直接求解即可：(2) 计算可知IOga(XIX2) = 0，由此得到2 = 1：(3) 分析可知函数(x)在扌,3的最大值为2,讨论即可得解.本题主要考查对数函数的图象及性质，考查逻辑:推理能力，属于基础题20. 【答案】解:

24、Wf(Xy) = COSXSin(X + ).(2)依题盘：，得函数f (咒)=4cosxsin(x + ) = COSX (77SinX + COSXy) = 3sin2x +Icos2X 1 + 1 sin2x + cos2x) + 1 = 2sin(2x + £) + 】 它的最小正周期为 = .函数f(x)的图象的对称轴方程令2x + = k + 求得X = k + k e Z.6 2 2 6(3)对于任意尤 0,n均WZ(X) f(0)成立， /(O) = 4cos0sn- = 2.62sin(2x + 9 + 1 = 2,可得% = 时，产(扌)=2,【解析】(1)直接利

25、用已知条件求解即可.(2) 利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和对称轴求得f(x) 的最小正周期和对称轴即可.(3) 求岀函数f(0)的值，然后求解函数在(0,Tr)的范闹内，求出X的值等于f(0),即可得 到/H的最大值.本题主要考查三角恒等变换，两角和与差的三角函数，函数的最值的求法，正弦函数的 周期性和对称性，属于中档题.21. 答案】解：(1)令T = I,贝J(%+l)=(x),即该函数的周期为1, f(y) = sin2x的周期为算=1.故f (x)满足性质P(I),g(x) = COSTrX的周期为年=2,故g(x)不满足性质P(I),(2) 函数f(x)既

26、满足性质P(2).又满足性质P(3),fa + 2) = 2/(%), /(x + 3) = 3/(%), f(x + 3)=(x + l + 2) = 2f(x + 1) = 3f(x)又f(X + 2) = /(x - 1 + 3) = 3(x -1) = 2/(x)结合f(x + 1) = /(x - 1 + 2) = 2(x 一 1),联立消去f(x + 1)、f(x 一 1) 解 Wf(X) = o.(3) 因为f(x + 1.01) = 1.01 f(x)f 所以丄 U丄所i) = > 眩=0, /(0-L01) = i(0). /(0-2 X 1.01) =A-i.01)

27、= h0),/(-n × 1.01)=-Ajr(0)t (nN+)易知(-n × 1.01) = r-fr (0)I V 0.001,且随着 n 的增大(-n X 1.01)的值递减.对IA)l < O OOl两边取常用对数得:.01 +lg(O) <-3整理后得n >3+1 酎(0)|1.01,取大于3+1 创 f(0)IgLoI的整数时，对应的牝=-n× 1.0足IfOO)I V0.001.所以,存在 R使得IZ(XO)I V 0.001.【解析】根据P(I)的立义可知,该函数的周期为1,利用公式可分别求出它们的周期：(2) 根据P(2)、P(3)的性质，合理变换X的取值，结合性质，可构造岀关于f(x)的方程 解岀f(x);(3) 采用构造法，WP(I-Ol)M性质转化为Z(x) = r(x +1-01),让函数值随着X后而累加1.01,绝对值逐渐缩小，再利用赋值法求得符合题意的.本题考査了抽象函数及其应