D11-3格林公式(2)

1、11. 二重积分与曲线积分的关系：二重积分与曲线积分的关系：格林公式格林公式;()d dddDDQPx yP xQ yxy 2. 格林公式的应用：格林公式的应用：(1) 简化计算曲线积分简化计算曲线积分(2) 利用曲线积分计算平面图形的面积利用曲线积分计算平面图形的面积闭区域闭区域D的面积的面积+ 1dd .2DAx yy x )d(d ddDDQPyxx yPQ yx 注意定理使用的条件：注意定理使用的条件： 有向性；有向性；连续性；连续性；封闭性封闭性.2 dd1.2.LIP xQ y 直直接接法法计计算算方方法法格格林林公公式式法法的的:L 补补充充曲曲线线使使其其闭闭合合后后用用格格林

2、林公公式式或或用用直直接接法法. .ddddL llIP xQ yP xQ y 则则1.,满满足足连连续续性性的的条条件件则则可可直直接接用用格格林林公公式式. .2.,不不满满足足连连续续性性的的条条件件则则添添加加曲曲线线挖挖去去洞洞眼眼. . ddddL llIP xQ yP xQ y 则则补补充充曲曲线线的的原原则则： 1.xy尽尽可可能能与与 、 轴轴平平行行；2.DD 与与原原来来的的图图形形围围在在一一起起为为或或3( )(1):,:( )xtLtyt 积积分分路路径径 的的参参数数方方程程为为， dd ( ), ( ) ( ) ( ), ( )( )dLP xQ yPtttQt

3、ttt 则则(2)积分路径积分路径L的方程为：的方程为：( ):yy xx ab ，则则(3)积分路径积分路径L的方程为：的方程为：( ):xx yy cd ，则则 dd , ( ) , ( ) ( )d .bLaP xQ yP x y xQ x y x y xx dd ( ), ( ) ( ), d .dLcP xQ yP x yy x yQ x yyy 计算第二类曲线积分的直接法计算第二类曲线积分的直接法4,F 一一力力场场由由沿沿横横轴轴正正方方向向的的恒恒力力所所构构成成222mxyR试试求求当当一一质质量量为为 的的质质点点沿沿圆圆周周按按逆逆时时针针方方向向.移移过过位位于于第第一

4、一象象限限的的那那一一段段弧弧时时场场力力所所做做的的功功( , )d( , )dABWP x yxQ x yy ( , )( , )FP x y iQ x y jAB 变变力力沿沿所所作作的的功功为为：解：解：FF i dLWFx cos,:0sin2xRtLtyRt 其其中中 ：20sin dWFRt t 20sin dF Rt t F R 积分路径的方程积分路径的方程,方向方向5第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用 第十一章 62 2dd1Lxy xxy ，总结总结:(1)(2)(3)(4)2 2d

5、d0Lxy xxy 问题：问题：终点终点也也相同，相同，被积函数相同，被积函数相同，但路径不同而积分结果相同但路径不同而积分结果相同.起点起点和和2yx xyo)0 , 1(A)1 , 1(B2xy 例例5.2xy 计算计算,dd22 yxxxyL 其中其中L为为(1)抛物线抛物线上从上从o(0,0)到到B(1,1)的一段弧；的一段弧；2yx (2)抛物线抛物线上从上从o(0,0)到到B(1,1)的一段弧；的一段弧；(3)有向折线有向折线OAB， 这里这里OAB依次是依次是(0,0),(1,0)(1,1)；(4)闭曲线闭曲线OABO.回回 顾顾7yxo1 ddLP xQ y (一一)曲线积分与

6、路径无关的定义曲线积分与路径无关的定义:2 ddLP xQ y 即只与即只与起点起点和和终点终点有关有关.则称曲线积分则称曲线积分与路径无关与路径无关. LyQxP dd否则与路径有关否则与路径有关.GB A1L2L显然显然ddLGP xQ y 在在 内内与与路路径径无无关关dd0,CP xQ y .CG 任意的闭曲线任意的闭曲线如果在区域如果在区域G内对任意的内对任意的 有有12,L L在在G内内12dd0LLP xQ y 由由定定知知：8(二二)曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件2定定理理 ( , )( , ) GP x y Q x yG设设开开区区域域是是一一个个单单连连通

7、通区区域域, ,函函数数, ,在在内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数， dd LP xQ yG 则则曲曲线线在在积积分分内内与与路路径径( )G或或沿沿 内内任任意意闭闭曲曲线线的的曲曲线线积积分分为为零零的的无无关关充充要要条条件件是是： PQyx .G在在内内恒恒成成立立证明证明:充分性充分性 ,PQGyx 在在内内恒恒成成立立ddLGP xQ y 在在 内内与与路路径径无无关关ddCP xQ y ,CG 任任意意的的闭闭曲曲线线=0()d dDQPx yxy ?,G由由于于开开区区域域 是是单单连连通通区区域域CDG 则则 所所包包围围的的区区域域，( , ),( , ),P x

8、yQ x yG又又函函数数在在 内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数( , ),( , ),P x yQ x yD所所以以在在 内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数由由格格林林公公式式得得：0 充分性得证充分性得证9下面证明必要性下面证明必要性要要证证的的问问题题是是：dd0,CP xQ y 若若CG PQGyx 在在 内内恒恒成成立立. .反证法反证法PQGyx 假假设设在在 内内, ,000(,)GM x y那那么么在在 内内至至少少存存在在一一点点，使使得得：0()0 MQPxy，0()0, MQPxy 不不妨妨假假设设QPGxy 由由于于、在在 内内连连续续, ,0GM则则在在

9、 内内取取得得一一个个以以为为圆圆心心, ,()K 半半径径足足够够小小的的圆圆 正正向向边边界界为为形形闭闭域域 ，K使使得得在在 上上恒恒有有：. 2QPxy 则则有有格格林林公公式式及及二二重重积积分分的的性性质质有有：ddP xQ y dKQPxy 2 0, .矛矛盾盾0M K证毕证毕 10QPGxy 由由于于、在在 内内连连续续, ,000(, )(,)lim()()0, Mx yxyQPQPxyxy ,( , )2Kx yK 即即取取 =,=, 区区域域对对于于, ,()2QPxy 有有成成立立，0M( (因因为为在在处处不不去去心心) )()2QPxy 即即，(),22QPxy

10、- -2,2QPxy 则则- -2QPxy 即即， 0QPMxy 所所以以、在在处处连连续续, ,11有关定理的说明：有关定理的说明：1.定理的成立有两个条件：定理的成立有两个条件：(1)G开开区区域域 是是单单连连通通区区域域；(2)( , ),( , )P x yQ x yG函函数数在在 内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数. .两条件缺一不可两条件缺一不可.由由此此可可得得：G若若 是是一一单单连连通通区区域域, ,( , ), ( , )P x y Q x yG在在 内内连连续续, ,且且具具有有连连续续偏偏导导数数，则则下下列列命命题题等等价价(1)dd0,.LP xQ yLG

11、是是 内内任任意意分分段段光光滑滑闭闭曲曲线线(2),GL对对 内内任任一一分分段段光光滑滑曲曲线线ddLP xQ y 曲曲线线积积分分与与路路径径无无关关，.L起起点点和和只只的的终终点点有有关关与与.(3)PQyGx 在在 内内任任意意一一点点处处，都都有有122.定理的用途：定理的用途：(1)可以判定线积分是否与路径无关可以判定线积分是否与路径无关;ddLP xQ yG 如如果果在在 内内与与路路径径无无关关Cd + d0.P x Q y CG QPGxy 在在 恒恒成成立立ddLP xQ y 在在G内与路径无关内与路径无关G单单连连若若 是是一一通通区区域域, ,( , ), ( ,

12、)P x y Q x yG在在 内内有有一一阶阶连连续续偏偏导导. .G若若 是是一一单单连连通通区区域域, ,( , ), ( , )P x y Q x yG在在 内内有有一一阶阶连连续续偏偏导导. .1ddLP xQ y 2ddLP xQ y ， 12LLG ，终点分别终点分别相同，相同，其中其中只是只是路径不同路径不同.的起点的起点和和12LL与与(2)简化计算线积分简化计算线积分(更换路径更换路径)13解：解：xyo11Asin2xy L计算计算为由点为由点O(0,0)到点到点A(1,1)的曲线的曲线， LyyxxxyxId)(d)2(422.2sinxy 其中其中L，xyxP22 因

13、为因为，42yxQ ，xyP2 ，xxQ2 则则PQyx 即即.面面上上与与路路径径无无关关故故曲曲线线积积分分在在 xoyxoyxoy在在 平面上成立平面上成立.xoy14120dxx 23.15 选择如图所示的路径选择如图所示的路径xyo11A1:0Ly 2:1Lx 0 1x由由 到到0 1y由由 到到1L2L140(1)dyy 12224(2)d()dLLxxyxxyy L选择新路径应注意：选择新路径应注意：（3）一般选与坐标轴平行的新路径）一般选与坐标轴平行的新路径.（1）新路径的起点与终点不变）新路径的起点与终点不变,（2）,G 新新路路径径224(2)d()dLIxxyxxyy 1

14、5解：解：2,Pxyy ( )( ),Qyxyxxx ,),(2xyyxP ( ,)( ),Q x yyx 100dx .21 ，xQyP 例例2. )1 , 1( )0 , 0( 22ddyyxxxyxyxy2)( Cxx 2)( 选择如图所示的路径选择如图所示的路径设曲线积分设曲线积分与路径无关，与路径无关，具有连续的导数，具有连续的导数，yxyxyxLd)(d2 ( )x 其其中中(0)0. 且且(1,1)2(0,0)d( )d .xyxyxy 计计算算由已知知由已知知即即由由，0)0( 知知C=0, 则则2)(xx 故原式故原式=xyo1)1 ,1(10dy y 161,(0,1)0,

15、FCF 例例3. 已知曲线积分已知曲线积分无关无关, 其中其中解解: 因积分与路径无关因积分与路径无关 , 故有故有cossinxFxFx sinsinyF yxFx即即因此有因此有( , ) sin dcosd LF x yyx xx y 与与路路径径( , )0F x y 求求由由确确定定的的( ).yf x 隐隐函函数数tanxyFyxFtanyyx 01xy secyx ( , )cos( , ) sin F x yxF x y yxxyy 17(三三)二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积G设设开开区区域域 是是一一个个单单连连通通域域, ,( , ),( , )P x yQ x

16、yG函函数数在在 内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, ,( , )d( , )d( , )P x yx Q x yyGu x y 则则在在 内内是是某某一一函函数数充充分分必必要要全全微微分分的的的的条条件件是是：.PQGyx 等等式式在在 内内恒恒成成立立定理定理3先先证证必必要要性性. .( , )Gu x y设设在在 内内存存在在某某一一函函数数, ,使使得得d ( , )( , )d( , )d ,u x yP x yxQ x yy 则则必必有有：ux ( , )P x y ，uy ( , ),Q x y从从而而：2ux y Py ，2uy x Qy ，.PQGyx 所所以以等

17、等式式在在 内内恒恒成成立立18(三三)二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积再再证证充充分分性性. .PQGyx 已已知知在在 内内恒恒成成立立, , dd LP xQ yG 则则曲曲线线积积分分在在内内与与路路径径无无关关, ,000(,),( , ),LM xyM x y设设曲曲线线 的的起起点点为为终终点点为为000( , )(,) dd( , )d( , )dM x yLMxyP xQ yP x yxQ x yy 则则，000(,),M xy当当起起点点固固定定时时( , ),M x y这这个个积积分分的的值值取取决决于于,x y则则它它是是的的函函数数即即G设设开开区区域域 是是

18、一一个个单单连连通通域域, ,( , ),( , )P x yQ x yG函函数数在在 内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, ,( , )d( , )d( , )P x yxQ x yyGu x y 则则在在 内内是是某某一一函函数数充充分分必必要要全全微微分分的的的的条条件件是是：.PQGyx 等等式式在在 内内恒恒成成立立定理定理300( , )(,)( , )( , )d( , )dx yx yu x yP x y x Q x y y ，19( , )Gu x y则则在在 内内存存在在某某一一函函数数, ,使使得得( , )d ( , )( , )d( , )du x yu x y

19、P x yx Q x yGy 则则在在 内内存存在在某某一一函函数数得得, ,使使00( , )(,)( , )( , )d( , )dx yx yu x yP x y x Q x y y ，M0CM),(00yx),(yx),(yxx yxoux 0(, )( , )limxu xx yu x yx 0000(, )( , )(,)(,)0ddddlimxx yx yxyxyxP xQ yP xQ yx (, )(,)0ddlimxx yxyxP xQ yx 0( , )dlimxxxxP x yxx lim ( , )xPy ( , ),P x y.xxx 介介于于 与与之之间间( , )

20、uQ x yy 同同理理：，20与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件 ddLP xQ y 与与路路径径无无关关，PQyx ，等等价价命命题题(1)在在G内内(2)在在G内存在内存在( , )dddu x yuP xQ y 使使，(3)在在G内，内， dd0,CP xQ y (4).CG 闭闭曲曲线线在单连通区域在单连通区域G上上P(x,y),Q(x,y)具有具有连续的连续的一阶偏导数，一阶偏导数， 则以下四个命题等价则以下四个命题等价.说明：说明：1.四个等价命题四个等价命题212.多元函数的原函数：多元函数的原函数：,P Q若若满满足足定定理理的的条条件件, ,则则由由上

21、上述述证证明明中中已已经经看看到到: :000( , )(,)( , )ddM x yMxyu x yP xQ y 二二元元函函数数d ( , )( , )d( , )du x yP x yxQ x yy 具具有有性性质质: :( , )( , )d( , )d.u x yP x yxQ x yy 所所以以我我们们称称为为的的一一个个原原函函数数由此由此,可以求某个全微分的原函数，可以求某个全微分的原函数，3.( , )d ( , )ddu x yu x yP xQ y 如如何何求求使使？),(0yxC ( , )M x y xyo000(,)Mxy 00( , )(,)d( , )dx yx

22、yP xQ yu x y 0 0 ( ,)dxxP x yx 0 ( , )dyyQ x y y 0(, )D xy0( , )d(, )d()M DMP x y xyQyu xxy 或或0 0 (, )dyyQ xyy 0 ( , )dxxP x yx 00( , )(,)ddx yxyP xQ y ，0( , )d( , )dM CMP x yxQ x yy 22例例4. 验证：在整个验证：在整个xoy平面内，平面内，yyxxxydd22 是某个函是某个函数的全微分，数的全微分， 并求出它的一个原函数并求出它的一个原函数.解：解：这里这里，2xyP ;2xyyP ，yxQ2 ,2xyxQ

23、则在整个则在整个xoy平面内有：平面内有：.PQyx 于是于是在整个在整个xoy平面平面 (它是一个单连通区域它是一个单连通区域)内，内，yyxxxydd22 是某个函数的全微分，是某个函数的全微分，由公式由公式00 0 ( , )( ,)d( , )dxyxyu x yP x yxQ x y y 得得：( , )u x y 221.2x y xyo),(yxx 2 00 dxxx 2 0dyx y y 线积分法线积分法23另解：另解：2,uxyx 2duxy x 221( ),2x yy 2,ux yy 而而221( ),2ux yy 22( ),x yyx y 即即2( ),ux yyy

24、( )0,y 则则得得( ),yC 221.2ux yC 则所求的函数为：则所求的函数为：事实上：事实上：22ddxyxx y y 221(2d2d )2xyxx y y 22d(+ ),x yC221.2ux yC 偏积分法偏积分法观察法观察法( )( )( )( )dFxf xF xf xx 例例4. 验证：在整个验证：在整个xoy平面内，平面内，yyxxxydd22 是某个函是某个函数的全微分，数的全微分， 并求出它的一个原函数并求出它的一个原函数.2422dd(0),x yy xxxy 验验证证在在右右半半平平面面内内是是某某个个函函数数的的全全微微分分例例5.并并求求出出这这样样一一

25、个个函函数数解：解：2222,yxPQxyxy 2222 2()PyxQyxyx 则则在在右右半半,平平面面内内恒恒成成立立则则在在右右半半平平面面内内，22dd,x yy xxy 是是某某个个函函数数的的全全微微分分xyo1( , )x y取如图所示路径：取如图所示路径： 所求函数为：所求函数为：( , )22(1,0)dd( , )x yx yy xxyu x y 22ddABx yy xxy ABC22ddBCx yy xxy 0 220dyyxxy 0arctanyyx 02d( )1 ( )yyxyx arctan .yx25判别判别: P, Q 在某单连通域在某单连通域D内有连续一

26、阶偏导数内有连续一阶偏导数,( , )PQx yDyx 为全微分方程为全微分方程 则则( , )u x y若若存存在在使使d ( , )( , )d( , )du x yP x yx Q x yy 则称一阶微分方程则称一阶微分方程( , )d( , )d0P x yxQ x yy为为全微分方程全微分方程 ( 又叫做又叫做恰当方程恰当方程 ) .1.全微分方程的定义：全微分方程的定义：( , )(),P x yQ x yG如如果果函函数数，在在某某单单连连通通域域 内内有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数( , )d( , )d( , )P x yxQ x yyuu x y 则则是是某某个个二二元元

27、函函数数的的全全微微分分PQGyx 在在 内内恒恒成成立立. .2.全微分方程的通解：全微分方程的通解：( , )()u x yCC 为为任任意意常常数数补充知识补充知识:全微分方程全微分方程3.解法：解法：( , )d ( , )( , )d( , )du x yu x yP x yx Q x yy 求求使使264.求原函数求原函数的方法的方法:方法方法1. 凑微分法凑微分法;方法方法3. 利用积分与路径无关的条件利用积分与路径无关的条件.(线积分法线积分法)00( , )(,( , )( , )d( , )dx yxyu x yP x yxQ x yy ) )方法方法2. 偏积分法偏积分法

28、;000( ,)d( , )dxyxyP x yxQ x yy 000( , )d(, )dxyxyP x yxQ xyy ( , ),( , )uuP x yQ x yxy 27解解:xyxyxyexQxyeeP2, 故是某个函数故是某个函数u(x,y) 的的全微分全微分.22xyxyPQxex yeyx . 0dd)(2 yexxxyeexyxyxy例例6.解微分方程解微分方程则在整个则在整个xoy平面内有：平面内有：，xQyP xoy是单连通区域是单连通区域.故此方程为全微分方程故此方程为全微分方程.xyo),(yxx00(,)(0,0)x y 取取 ( , )2 (0,0)( , )()ddx yxyxyxyu x yexyexx ey 则则 0dxx xyxe 2 0dyxyxey .Cxexy 则所给方程的通解为：则所给方程的通解为：282211(,)2211(,)dd(,)(,)( , ).Bxyx yAP xQ yu x yu x yu x y 证：证：:( ),( ),ABCxtytt 设设 到到 的的光光滑滑曲曲线线: :dd ( ), ( ) ( ) ( ), ( )( )dBAP xQ yPtttQtt