高数微分方程PPT课件

1、1一阶线性微分方程 第四节 第十二章第十二章 2一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxqyxpxy若若 q(x) 0, 0)(ddyxpxy若若 q(x) 0, 称为称为非齐次方程非齐次方程 .1. 解齐次方程解齐次方程分离变量分离变量xxpyyd)(d两边积分得两边积分得cxxpylnd)(ln故通解为故通解为xxpecyd)(称为称为齐次方程齐次方程 ;3对应齐次方程通解对应齐次方程通解xxpecyd)(齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解xxpced)(2. 解非齐次方程解非齐次方程)()(ddxqyxpx

2、y用用常数变易法常数变易法:,)()(d)(xxpexuxy则则xxpeud)()(xpxxpeud)()(xq故原方程的通解故原方程的通解xexqexxpxxpd)(d)(d)(cxexqeyxxpxxpd)(d)(d)(y即即即即作变换作变换xxpeuxpd)()(xxpexqxud)()(ddcxexquxxpd)(d)(两端积分得两端积分得4.2. 12的通解的通解求求例例xxeyxy 22:xxeqxp 令令解解 xdxe2)21(22cxex 2xe )(:)()( cdxexqeydxxpdxxp通解通解)(22cdxexexdxx )(cdxx 512.xdyeydxxx例求的

3、解xeqxpx 1:令令解解 dxxey1)(1cdxexx )(1cexx )(1cdxexedxxx 6.ln. 3的解的解求求例例xxyyx xyxyln11: 解解)ln1(11cdxexeydxxdxx x )ln(lncxx )ln1(lnlncdxexexx )ln1(cdxxx x17.1|,31:12的的特特解解求求 xyxyxyex)3(:121cdxexeydxxdxx 解解)23(2cxx 21 cxxy21233 11xy由，代入得8.0)2(. 42的的解解求求例例 ydxdyyxyxydydx 2:解解)(:22 cdyyeexdyydyy通通解解)(132 cd

4、yyy)41(142cyy 224 cyy9).(),()(,)(. 520 xfxfxdtttfxfx求求满满足足方方程程连连续续设设例例 )(:xxf解解xxxfxf2)()( 即即)2()(cdxxeexfxdxxdx )2(2222cdxxeexx )2(2222ceexx 222 xce0)0( f2 c22)(22 xexf求导求导分析：等式两边对分析：等式两边对x)(2xfx （一阶线性方程）（一阶线性方程）10二、伯努利二、伯努利 ( bernoulli )方程方程 伯努利方程的标准形式伯努利方程的标准形式:)1,0()()(ddnyxqyxpxynny以)()(dd1xqyx

5、pxyynn令令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd则)()1 ()()1 (ddxqnzxpnxz求出此方程通解后求出此方程通解后,除方程两边除方程两边 , 得得换回原变量即得伯努利方程的通解换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程线性方程)11例例6. 求方程求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解的通解.解解: 令令,1 yz则方程变形为则方程变形为xaxzxzlndd其通解为其通解为ez 将将1 yz1)ln(22xacxyxxd1exa)ln(xxd1cx d2)ln(2xacx代入代入, 得原方程通解得原方程通解: 12内容小结内容小结1. 一阶线性方程一阶线性方

6、程)()(ddxqyxpxy方法方法1 先解齐次方程先解齐次方程 , 再用常数变易法再用常数变易法.方法方法2 用通解公式用通解公式cxexqeyxxpxxpd)(d)(d)(,1 nyu令化为线性方程求解化为线性方程求解.2. 伯努利方程伯努利方程nyxqyxpxy)()(dd)1,0(n13思考与练习思考与练习判别下列方程类型判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分离可分离 变量方程变量方程xyxyxylndd齐次方程齐次方

7、程221dd2xyxxy线性方程线性方程221dd2yxyyx线性方程线性方程2sin2ddyxxyxxy伯努利伯努利方程方程14备用题备用题1. 求一连续可导函数求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程使其满足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令令txuuufxxfxd)(sin)(0则有则有xxfxfcos)()(0)0(f利用公式可求出利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf152. 设有微分方程设有微分方程, )(xfyy其中其中)(xf10,2 x1,0 x试求此方程满足初始条件试求此方程满足初始条件00 xy的连续解的连续解.解解: 1) 先解定解问题

8、先解定解问题10, 2xyy00 xy利用通解公式利用通解公式, 得得xeyd1dd2cxex)2(1ceexxxec12利用利用00 xy得得21c故有故有) 10(22xeyx162) 再解定解问题再解定解问题1,0 xyy1122) 1 (eyyx此齐次线性方程的通解为此齐次线性方程的通解为) 1(2xecyx利用衔接条件得利用衔接条件得) 1(22ec因此有因此有) 1() 1(2xeeyx3) 原问题的解为原问题的解为y10),1 (2xex1,) 1(2xeex17( 雅各布第一雅各布第一 伯努利伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利伯努利(1654 1705)瑞士数学家瑞士数学家, 位数学家位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年年 版了他的巨著版了他的巨著猜度术猜度术,上的一件大事上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程年提出了著名的