2021-2021学年高中数学第一章坐标系1平面直角坐标系学案北师大版选修4-4

1、§1平面直角坐标系对应学生用书P1自主学习1. 平面直角坐标系与曲线方程(1) 平面直角坐标系中点和有序实数对的关系：在平面直角坐标系中，点和有序实数对 是对应的.(2) 平面直角坐标系中曲线与方程的关系：曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程 f(x, y) = 0的实数解建立了如下的关系： 曲线C上的点的坐标都是方程 f (x, y) = 0的解； 以方程f (x, y) = 0的解为坐标的点都在曲线 C上.那么，方程f(x, y) = 0叫作曲线C的方程，曲线 C叫作方程f(x, y) = 0的曲线.(3) 一些常见曲线的

2、方程： 直线的方程： ax+ by+ c = 0 ； 圆的方程：圆心为(a, b)，半径为r的圆的方程为 (x a)2 + (y b)2 = r2； 椭圆的方程：中心在原点，焦点在2 2x y2+ 2= 1 ；a b_x轴上，长轴长为2a,短轴长为2b的椭圆方程为双曲线的方程：中心在原点，焦点在2 2程为与-y2= 1;a 一b x轴上，实轴长为2a,虚轴长为2b的双曲线方抛物线的方程：顶点在原点，以x轴为对称轴，开口向右，焦点到顶点距离为p的抛物线方程为y2= 2px.2平面直角坐标系中的伸缩变换即改变x轴或y轴的单位长度,将会对图形产生影合作探究在平面直角坐标系中进行伸缩变换, 响.1如何

3、根据题设条件建立适当的平面直角坐标系？提示：如果图形有对称中心，选对称中心为坐标原点; 如果图形有对称轴，选对称轴为坐标轴； 使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上； 如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线方程为标准方程.2. 平面直角坐标系中的伸缩变换可以改变图形的形状，那平移变换呢？ 提示：平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状、大小.1平面直角坐标系中曲线方程确实定与应用例1 (1)椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为-2，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,求椭圆G的方程.(2)在边长为 2 的正 ABC中，假设 PABC内一点，且 |PA2=|PB2+ | P

4、Q 2，求点 P 的 轨迹方程，并画出方程所表示的曲线.思路点拨此题是曲线方程确实定与应用问题， 考查建立平面直角坐标系、数形结合 思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等解答此题中(1)需要根据条件用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系， 写出各点的坐标，用直接法求解， 再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线.精解详析(1)由设椭圆方程为2 2x y.2+ 2= 1(a>b>0),a b那么2a= 12,知a= 6.又离心率e= C = 3，故c = 3 3. a 2丫2 2 2b = a c = 36 27= 9.椭圆的标准方程为2 2x V +136于9

5、(2)以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系, 设 P(x, y)是轨迹上任意一点，又 | BQ = 2,.巳1,0) , C(1,0)，那么 A(0 , 3);|PA2=I pb2+ | PC2,.x2 + (y ,3)2= (x + 1)2+ y2 + (x 1)2+ y2.化简得 x2+ (y +3)2= 4.又 P在厶 ABC内,. y>0.P点的轨迹方程为x2+ (y + ,3)2 = 4( y>0).y肌 1,0 GC(J.O)JO, 73)其曲线如上图所示为以(0，- .'3)为圆心，半径为2的圆在x轴上半局部圆孤.方法规

6、後小绪尸1.求曲线方程的方法：(1) 曲线类型求方程一般用待定系数法；(2) 求动点轨迹方程常用的方法有： 直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：a. 建立适当的平面直角坐标系，并用(x, y)表示曲线上任意一点 M的坐标；b. 写出适合条件 P的点M的集合P= MP(M;c. 用坐标表示条件 RM，写出方程f(x, y) = 0;d. 化简方程f(x, y) = 0;e. 检验或证明d中以方程的解为坐标的点都在曲线上，假设方程的变形过程是等价的， 那么e可以省略. 定义法：如果动点的轨迹满足某种曲线的定义，那么可依定义写出轨迹方程.

7、 代入法(相关点法)：如果动点P(x, y)依赖于另一动点 Qxi, yi)，而Qxi, yi)又在 某曲线上，那么可先列出关于 x, y, xi, yi的方程组，利用 x, y表示Xi, yi,把xi, yi 代入曲线方程即为所求. 参数法：动点F(x, y)的横坐标、纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其 轨迹方程.2根据曲线的方程画曲线时，关键根据方程判定曲线的类型，是我们熟知的哪种曲线，但要注意是曲线的全部还是局部.L一 Ii.在 ABC中，底边BC= i2,其他两边 AB和AC上中线CE和BD的和为30,建立适当的坐标系，求此三角形重心G的轨迹方程.解：以BC所在直线为x轴，B

8、C边中点为原点，过原点且与BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，那么 B(6,0)，C - 6,0) , |BD + |CE = 30,2可知 | GB +1 GC = 3(1 BQ + | CE) = 20,3重心G的轨迹是以(6,0) , (6,0)为焦点，2a= 20的椭圆，且yz0,其轨迹方程为：2 2x y硕 + 64= 1(xz±10).利用坐标法解决平面几何问题1 . 1例2 如图，以Rt ABC勺两条直角边 AB BC向三角形外作正方形 ABD和正方形BCFG连接EC AF,且EC AF交于点 M 连接BM求证：BML AC思路点拨此题考查坐标法在解决平面几何中垂直

9、、平行、线段相等、平分等问题中的应用，解答此题需要先建立适当的平面直角坐标系,设出相关点的坐标,求出相关线的方程，求出kBM, kAC,证明kBM - kAC= 1,即可.精解详析如图，以两条直角边所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系.设正方形ABDE正方形BCFG勺边长分别为a, b,贝U A(0 , a),$0,0), qb,0),曰a, a), F( b, b).直线AF：y + b x bOTL = 0b，即(a+ b)x + by ab= 0；直线ECy - 0 a 0x ba b，即 ax+ (a+ b) y ab= 0.a+ b x + by ab= 0, 解方程组ax+ a+

10、b y ab= 0,a2bx= a2+ ab+ b2， 得.2aby= a2+ ab+ b2 -ab2即M点的坐标为a2，齐亦-ab 0b，kBM kAC=1,., b0 a故 kBM= -.又 kAC= a BMAC方法*规律*小结坐标法解决几何问题的“三部曲：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素， 将几何问题转化为代数问题； 第二步，通过代数运算解决代数问题；第 三步，把代数运算结果翻译成几何结论.2正厶ABC的边长为a,在平面上求一点 P,使|PA2+ |PB2+ I PQ2最小，并求出此最小值.解：以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴，建立如下图的平面直

11、角坐标系,那么 AO,岁a , B 2, 0 ,=x2 + y "23 *a 2 +=3x2 + 3y2 3ay+5a2设 P(x, y),那么| pa2+ | pb2+ I PC2x + 2 2 + y2 + x 2 2+ y当且仅当x = 0, y=#a时，等号成立，所求最小值为a2,此时P点坐标为P 0, -a，它是正厶ABC勺中心.平面直角坐标系中的伸缩变换62 2x y 例3在以下平面直角坐标系中，分别作出亦+ - = 1的图形.(1) x轴与y轴具有相同的单位长度；(2) x轴上的单位长度为 y轴上单位长度的2倍;(3) x轴上的单位长度为 y轴上单位长度的*倍.思路点拨

12、此题考查平面直角坐标系中的伸缩变换对图形的影响及数形结合思想，解决此题只需根据坐标轴的伸缩变换找出变换后x轴、y轴单位长度的变化情况，再作出图形即可.2 2x y精解详析(1)建立平面直角坐标系使 x轴与y轴具有相同的单位长度，那么25+ g = 1的图形如图的图形如图(3)如果y轴上的单位长度不变,x轴上的单位长度缩小为原来的2 2那么25+寿=1的图形如图.般地，在平面直角坐标系 xOy中:(1)使x轴上的单位长度为 y轴上单位长度的k倍(k>0)，那么当k= 1时，x轴与y轴具x '= x,有相同的单位长度；即为的伸缩变换,y' = y当k>1时，相当于x轴上

13、的单位长度保x1持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，即为k y=x,i=ky的伸缩变换，当0<k<1时,x'= kx, 相当于y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的k倍，即为，y = y的伸缩变换.(2)在平面经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线；圆伸缩后可能是圆或椭圆；椭圆伸缩后可能是椭圆或圆；双曲线伸缩后仍为双曲线；抛物线伸缩后仍为抛物线本例中假设x轴的单位长度为y轴上单位长度的3,那么椭圆25 +弋=1的图形如何?解：如果y轴上的单位长度不变，x轴的单位长度缩小为原来的 3,53=5x，2y_2那么25+9= i的图形变为圆.本节热点命题关注满足本课时主

14、要考查平面直角坐标系中曲线的求解，常与平面几何知识结合.考题印证设入0,点A的坐标为1,1，点B在抛物线y= x2上运动，点 =入QA，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M点QQM =入磋 ，求点P的轨迹方程.命题立意此题考查直线和抛物线的方程、平面向量的概念、-1 OII *性质与运算、动点的轨迹方程等根本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力,全面考核综合数学素养.自主尝试由xMP|知Q M P三点在同一条垂直于 x轴的直线上,2故可设 P(x, y), Qx, yo), M(x , x),那么 x2 yo=入(y x2),即yo= (1 + X ) x Xy.uur=x QA,

15、再设0X1,即(X X1,yo yi) = X (1 x, 1 yo),X1=1+X x X ,解得y1 =1+Xyo X .将式代入式，消去yo，得X1=1 + X x X ,2 2y1=1 + X x X 1+ X y X .又点B在抛物线y= x2上，所以 屮=x2 , 再将式代入y1 = x?,2 22得(1 + X ) x X (1 + X )y X = (1 + X )x X ,2 2 2 2 2(1 + X) x X (1 + X )y X= (1 + X ) x 2 X (1 + X )x + X ,2X (1 + X )x X (1 + X )y X (1 + X ) = 0

16、.因X >o ,两边同除以 X (1 + X ),得2x y 1 = o. 故所求点P的轨迹方程为y = 2x 1.VTScTTDlitT对应学生用书P4一、选择题1.方程x2 + xy = o的曲线是C.两条直线D. 个点和一条直线解析：选C 方程变形为x(x + y) = 0,. x = 0或x + y= 0，而方程x= 0, x + y = 0 表示的是直线， C正确.2. ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点 A是动点，且1sin B sin C= qsin假设以底边BC为x轴、底边BC的中点为原点建立平面直角坐标系，那么点A的轨迹方程是)2 2x yA. = 19272

17、2x yB.927=1(x< 3)2x_92 2x yC = 12792 2x yD.27土 = 1(x< 3)解析：选B由题意知，耳6,0) , C(6,0)1 1由 sin B sin C= qsin A得 b c = qa= 6,所以点A的轨迹是以B( 6,0) , Q6,0)为焦点，2a= 6的双曲线的左支且 y丰0.其方程2y27= 1(x< 3).3.一椭圆的方程为16+ 7 = 1,如果x轴上的单位长度为 y轴上单位长度的1,那么该椭圆的形状为()TLd<y 14h -io2-16)1解析：选B如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的 ？

18、，那么该椭圆的形状为选项 B中所示.4.平面内有一条固定线段 AB |AB = 4,动点P满足| PA TPB = 3, O为AB的中点, 那么|OP的最小值是()B.2A.2C. 2D. 3解析：选A 以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，那么点P的轨迹是以A, B为焦点的双曲线的一局部2,2 a= 3,a a= |.74.2 c = 4, c=点P的轨迹万程为y-7-4173 -3由图可知，点p为双曲线与x轴的右交点时，iop最小，iop的最小值是2.二、填空题5. 点 A 2,0),政一3,0)，动点P(x, y)满足 PA 趙= x2 + 1那么点P的轨迹方

19、程是解析：由题意得 PA_ = ( 2 x, y), _PB = ( 3 x, y). PA_ jpB = ( 2 x)( 3 x) + ( y)2= x2 + 1.2即 y + 5x+ 5 = 0.答案：y2+ 5x+ 5 = 06. 在平面直角坐标系中，O为原点，两点A(4,1),耳1,3)，假设点C满足0£ =mOA + nOB，其中 m, n 0,1，且耐n=1,那么点C的轨迹方程为解析：由题意知，A, B, C三点共线且 C在线段AB上，点A, B所在的直线方程为 2x+ 5y 13= 0，且点C的轨迹为线段 AB,所以，点 C的轨迹方程为2x + 5y13= 0, x 1

20、,4.答案：2x+ 5y 13= 0( K x<4)7. 在平面直角坐标系中，设点P(x, y)，定义| OP = | x| +1 y|，其中O为坐标原点,对以下结论: 符合I OP = 1的点P的轨迹围成图形面积为 2; 设P为直线'5X + 2y 2 = 0上任意一点，那么| OP的最小值为1; 设P为直线y= kx + b(k, b R)上任意一点，那么“使| Op最小的点P有无数个的必要不充分条件是"k=± 1 .其中正确的结论有.(填序号)解析：在中，由于| Op = 1y= x+1, Ow xw 1,y= x 1, 1 w xw0,?y= x +

21、1, 1w xw 0,y= x 1, 0w xw 1,其图像如图01故其面积为2X 2X 2X1 = 2.故正确.在中，当 P, 0 时，|Op = |x| + |y| = 255< 1,|Op的最小值不为1，故错误.在中，T |x| + | y|?|x+ y| = |( k+ 1)x+ b| ,当k = 1时，| x| + | y| >1 b|满足题意，即|x| + |y| >|x y| = |( k 1)x b| ,当k = 1时，|x| + |y| >1 b|满足题意，故正确.答案：&曲线C是平面内与两个定点 R( 1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常

22、数 a2(a> 1)的点 的轨迹.给出以下三个结论： 曲线C过坐标原点； 曲线C关于坐标原点对称；1 2 假设点P在曲线C上，那么 F1PR的面积不大于-a2.其中，所有正确结论的序号是 .解析：因为原点 O到两个定点F( 1,0) , F2(1,0)的距离的积是1,而a> 1，所以曲线2C不过原点，即错误；因为Fi( 1,0) , F2(1,0)关于原点对称，所以|PF| PE| = a对应的1 1 1 2 轨迹关于原点对称，即正确；因为SA FPFa= fPF| PR|sin / RPF<| PF| PH| = -a ,1 2即面积不大于2，所以正确.答案：三、解答题9.

23、 如下图， ABC中，角A, B, C所对三边分别为 a, b, c,且0 1, 0), Q1,0).(1) 求满足b>a>c, b, a, c成等差数列时，顶点A的轨迹方程.1 一(2) 在x轴上的单位长度为 y轴上单位长度的倍的平面直角坐标系中作出(1)中轨迹.解：(1) Tb, a, c成等差数列， b+ c= 2a= 2x 2= 4.即| AB + | AC = 4>| BC = 2符合椭圆定义条件.动点A(x, y)的轨迹是椭圆，且2a=4,a= 2,2c=2,c=1,2 2 a点的轨迹方程是X4+譬=1.43由于b>c,即| AC>| AB ,可知A点

24、轨迹是椭圆左半局部，还必须除去点(0 ,护),(0 ,/3).T A B, C构成三角形，必须除去点(一2,0).2 2所求轨迹方程为 x + y = 1( 2<x<0).432 21 x y(2)如果y轴上的单位长度不变，x轴上的单位长度缩小为原来的 2,4 + 3 = 1( 2<x<0)的图形为图示.zy卅(oQ-2X2x>(0h Q10. 我海军某部发现，一艘敌舰从离小岛O正东方向80 n mile的B处，沿东西方向向O岛驶来，指挥部立即命令在岛屿O正北方向40 n mile 的A处的我军舰沿直线前往拦截,以东西方向为x轴，南北方向为y轴，岛屿O为原点，建立平面直角坐标系并标出点，假设敌我两舰行驶的速度相同,在上述坐标系中标出我军舰最快拦住敌舰的位置,并求出该点的坐标.rkc 801解：A B两点如下图，A(0,40),080,0),/ OA= 40(n mile) , OB= 80(n mile)我军舰直行到点 C与敌舰相遇