垂直于弦的直径(3)

1、瓮安第三中学教学设计垂径定理蔡邦琴2016 年 11月 14 日垂径定理授课学科数学 授课班级 九（ 7）班 1 课时时数设计者蔡邦琴所属学校瓮安第三中学本节（课）教学内容分析本节课要研究的是圆的轴对称性与垂径定理及简单应用，垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。本节（课）教学目标知识和技能：通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；掌握辅助线的作法过圆心作一条与弦垂直的线段。过程

2、和方法：通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；向学生渗透 “由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。情感态度和价值观：激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望，以及对学生进行数学美的教育学习者特征分析一般特征：学生是农村校的九年级学生，班级学生在学习方面之间存在一定的差异；但学生对生活中隐含的数学问题兴趣浓厚。初始能力：学生在小学学习 “圆的认识 ”和 “轴对称图形 ”时，已经对圆的轴对称性有了基本的认识与了解。但对对称轴及轴对称的性质应用理解不足。2信息素养：大部分学生的信息素养一般。知识点学习目标描述知识点编学习号目标1感知2理解3理解4应用5应用6理解教学重点和难

3、点具体描述语句让学生从一些简单实例中不断体会从现实世界中寻找数学模型,建立数学关系的方法.学生通过线段AB 的运动变换很自然地渡到垂直于弦的直径，经历了由特殊到一般的探索过程，并通过实验- 观察 - 分析 - 猜想，主动地探索垂径定理的知识能通过教师的引导对上述的猜想进行证明，并通过观察定理的变式图形加深对定理的理解和掌握通过题组训练使学生对垂径定理有了更进一步认识，并掌握了有关计算、证明等方面的简单应用引导学生运用所学知识加以解决，注重培养学生解决实际问题的能力师生共同回顾学习内容，有助于学生将知识系统化，条理化，帮助学生全面理解、掌握所学知识项目内容解决措施通过动手操作，对比已有的知识，从

4、一般到特殊的方法让教学重点垂径定理及其应用学生经历了动手操作、观察、猜想、归纳等方法垂径定理的证明与垂径通过学生动手做“找圆心 ”的游戏再利用多媒体播放整个折教学难点定理的理解及灵活应叠过程用 .3教学环境要求1每个学生准备若干张圆形纸片；2教师自制的多媒体课件；3 上课环境为多媒体大屏幕环境。教学媒体（资源）选择知识点编学习媒体媒体内容要点号目标类型1感知图片欣赏图片动手折叠圆形2理解 纸片及教师提纸片出的问题图片的折图片3理解 叠演示得出定文本理的猜想教学使用方占用媒体所得结论作用式时间来源IG感知赵州桥1 分钟下载圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线A F 3分钟自制（或直径所在的直线）

5、都是它的对称轴CF得出定理3 分钟自制媒体在教学中的作用分为：A. 提供事实，建立经验；B.创设情境，引发动机；C.举例验证，建立概念；D.提供示范，正确操作；E.呈现过程，形成表象；F.演绎原理，启发思维；G.设难置疑，引起思辨；H.展示事例，开阔视野；I. 欣赏审美，陶冶情操；J.归纳总结，复习巩固；K.自定义。媒体的使用方式包括：A.设疑 播放 讲解； B.设疑 播放 讨论； C.讲解 播放 概括； D. 讲解 播放 举例； E.播放 提问 讲解； F.播放 讨论 总结； G.边播放、边讲解；H. 边播放、边议论； I. 学习者自己操作媒体进行学习；J.自定义。板书设计课题：垂径定理4垂

6、径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。已知（ 1 ）CD 过圆心（ 2） CD AB 于 E ，则（ a） AE=BE （b ） AD=BD （c）AC=BC垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。已知（ 1 ）CD 过圆心（ 2） AE=BE （ AB 不是直径）则（a ）CD AB 于 E (b ）AD=BD （ c）AC=BC2）垂径定理的应用：（ 1 ）解决有关弦、弧、半径等问题的计算、证明（和作图）（ 2 ）解决某些实际问题（如拱桥等）强化应用意识。（ 3）常用的辅助线：（ 1）作半径； （ 2）过圆心作弦的垂线段。（ 4）常

7、用解法：（ 1）勾股定理 ；（ 2）解直角三角形教学策略阐述1.情景创设策略：通过生活中的图片，有效激发学生学习的兴趣和求知欲，创设宽松活泼的课堂教学气氛，维持学生学习的动机。2类比启发策略：在完成教学要求的基础上，通过设置与生活实际紧密联系的问题情境，巩固提高学生运用知识解决生活问题的能力。3引导探究策略：学生通过小组合作，探索出垂径定理，充分发挥学生的主体作用。课堂教学过程结构设计教学教学教师的活动学生的活动设计意图、依据环节媒体1 介绍和展示中国石聆听背挂图以同学们所熟知的赵州桥入拱桥中由隋代工匠李春建景介绍和欣赏手 , 并从该实例中建立与本课题密一情景导造的赵州桥（如挂图）。石拱桥的图

8、切有关的数学问题 .这样既能激发入，激疑2 该实例中建立与本形，并思考教学生的兴趣 ,又能引发学生更深层引趣课题密切有关的数学问题师提出的问题次的思考 .使学生认识到数学总是与现实问题密不可分 , 将实际问题数学化 , 可让学生从一些简单实例5（二尝试诱导，发现定理1、活动 1：让学生学生通拿出事先准备好的圆形纸过找圆心的游片，想想能否通过折叠的戏复习了圆的方法找到该圆的圆心？为轴对称性什么？学生通2、教师演示线段 AB过线段 AB 的的运动变换。运动变换很自3、让学生大胆提出然地渡到垂直猜想。于弦的直径，经历了由特殊到一般的探索过程，并通过实验 - 观察 -分析 - 猜想，主动地探索垂径定理

9、的知识中不断体会从现实世界中寻找数学模型 , 建立数学关系的方法 .利教学内容重新整合，将圆的用多轴对称性的学习变成了操作性强，媒体又具有趣味性的 “找圆心 ”问题，激播放发了学生的求知欲望，调动了学生折叠学习的积极性，通过线段AB 的运过程动变换很自然地渡到垂直于弦的直和线径，让学生经历了由特殊到一般的段 AB 探索过程，这符合学生的认知规的运 律，引导学生通过实验 - 观察 -分动变 析 - 猜想，主动地探索垂径定理的换过 知识。这一过程突出知识地产生过程程，教会学生动眼看、动手做、动脑想、动口说，主动参与到教学活动中，这样做有利于发挥学生的主动性，发展他们的创造性，为达到本课的教学目标奠

10、定了坚实的基础教师板书出已知、求学生在1、在学生动手操作 折纸和证并引导学生从以下两方教师的引导下课件演示的基础上，利用圆的轴对面寻找证明思路，然后利进行定理的证称性，采用叠合法证明垂径定理是用叠合法即可证出。明学生容易接受的，根据上面的证明，请根据上目的是既使学生重视证明表学生自己用文字语言和符面的证明，学述，又加深对它的发现与理解。三引导探号语言进行归纳，并将其生自己用文字2、让学生经历了实验 观察究，证明命名为 “垂径定理 ”。语言和符号语猜想 证明，学生的思维逐步被定理让学生观察图形（如言进行定理归展开，现在可以引导学生证明并归6图 4(a)(d)）中， AB 是纳O 的弦， CD 是

11、 O 的学生观弦，它们是否适用于“垂察教师给出的径定理 ”？若不适用，说定理的变式图明理由；若适用，能得到形，以强化对什么结论。定理基本图形的理解1、教师出示例题：在教师例 1 如图，已知在 O的分析引导下中，弦 AB 的长 8cm ，圆学会利用垂径心 O到 AB的距离为定理解决相关3cm ，求 O 的半径 .的数学问题讲完例 1 后，教师把握解总结：半径、圆心到弦的决此类问题的距离及弦长三者有何关关键点四例题示系？范，变式2、例 2 在例 1图形练习的基础上，以 O 的圆心再画一个圆交弦 AB 于C、 D，则 AB 与 CD 可能存在的关系？试证明教师总结：在圆中，解弦的有关问题时，常常需要

12、作 “垂直于弦的直径 ”作为辅助线，实际上，往往只须从圆心作一条与弦纳定理，归纳定理时采用了文字语言和符号语言两种形式3、强化对基本图形的理解，从特殊到一般，培养学对几何图形的化归思维能力。几何定理中文字语言、符号语言，图形语言的相互联系与转换也是学生应具备的能力。将例 2 作为例 1 的延伸，渗透了从 “特殊 ”到 “一般 ”解题思想方法，使学生体会到由浅到深，由表及里的学习过程 ，符合学生的认知规律，引导学生的解法要突出“七字口诀 ”的重要性及垂径定理的优越性， .通过题组训练使学生对垂径定理有了更进一步认识，并掌握了有关计算、证明等方面的简单应用，教师教学时应突出作圆心到弦的垂线段，是应

13、用垂径定理时常用的添加辅助线方法。7垂直的线段。教师出示课前所留的学生独数学来源于实践，又应用于有关赵州桥桥拱半径的问立思考，当堂实践。在例题中，老师把新课引入题。练习的实际问题，在结束前引导学生运赵州桥的桥拱呈圆弧用所学知识加以解决，注重培养学五巩固练形的（如图 1 ），它的跨生解决实际问题的能力。首尾呼习 化疑度（弧所对的弦长）为应，形成一个课堂教学的整体。解难37.4 米，拱高（弧的中点到弦 AB 的距离，也叫弓高）为 7.2 米。请问：桥拱的半径（即 AB 所在圆的半径）是多少？通过本节课的学习你小组讨师生共同回顾学习内容，有有哪些想法和收获？论后师生共同助于学生将知识系统化，条理化，

14、六课堂回小结帮助学生全面理解、掌握所学知顾 画龙识，同时可说明弦的中点、弧的中点睛点都集中在垂直于弦的直径上，对学生进行数学美育教育。结合学生的实际情及时巩固知识，达到课堂内容的延（七况，为了更好地因材施伸，调动学生学习积极性，提高学课后作业教，我的作业题分为必做生思维的广度，培养学生良好的学题与选做题，习习惯及思维品质。个性化教学为学有余力的学生所做的调整:为了更好地因材施教，我的作业题分为必做题与选做题，选做题：有一石拱桥是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m ，水面到拱顶距离CD=18m ，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m 是否需要采取紧急措施？请说明问题8为需要帮助的学生所做

15、的调整:教师参与到讨论当中，做弱势小组的组织者和指导者形成性检测知识点编学习检测题 的内 容号目标让学生拿出事先准备好的圆形纸片，想想能否通过折叠的方法找到该圆1理解的圆心？为什么？根据上面的证明，请学生自己用文字语言和符号语言进行归纳，并将其2应用命名为 “垂径定理 ”与.同伴交流。思考、探究赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为3迁移37.4 米，拱高（弧的中点到弦AB 的距离，也叫弓高）为7.2 米。请问：桥拱的半径（即AB 所在圆的半径）是多少？形成性评价形成性练习题中的基础题完成得很好，但对于知识迁移的思考题，部分学生解答得不是特别好。通过课堂教学发现学生的知识点掌握较好，学习中投入性与主动性非常高，也乐于发表自己的见解，取得了很好的教学效果。多媒体课件能较好的解决教学的重难点，