更高更妙的物理：专题18电容器

1、专题18 电容器这里，我们将会更多地了解导体的电荷及带电后的导体。 一个孤立的带电量为、半径为的金属球；它具有电势，这在我们已然熟知。稍加注意不难发现，带电金属球的电势与所带电量具有这样的关系：和的比值等于球半径的分之一，也就是说，比值是一个只与带电导体的大小形状有关而与其带电多少无关的物理量。它表征了导体这样一种特性：使导体得到单位电势所必须给予的电量。这种特性被定义为导体的电容，定义式。孤立导体的电容一般很小，地球是我们可以接触到的最大导体，其半径约，它的电容，也就（微法）左右，所以，孤立导体的电容没有实际意义。两个彼此靠近而又相互绝缘的导体组成的电容器在电工及电子设备中得到广泛应用。因为

2、电容器可以具有很大的电容，即在一定的电势下带有更多的电量。电容器的电容，为一个导体（极板）上带电量，为两导体间电势差。电容器的电容是反映电容器储存电荷的能力的物理量，取决于电容器自身的构建。确定一个电容器电容的途径：一是从定义出发，一是通过等效变换。对电容器的研究，多涉及电容、电压、电容器两极间电场、电容器充、放电及电容器中电场的能量。最简单的电容器是由靠得很近、互相平行的同样大小的两片金属板组成的平行板电容器。两板间距离为，两板正对面积为，每板带等量异种电荷与，由于板面很大而板间距离很小，故除边缘部分外，电荷均匀分布在两极板内表面，面密度，根据高斯定理。“无限大”带电平面两侧电场，故平行板电

3、容器板间电场强度由每板电荷引起的场强同向叠加：，两板间电势差，。球形电容器也是常规的电容器，由半径分别为、的两个同心导体球壳所组成，如图所示。设内球壳带电，外球壳带电，两球壳之间有球心对称的电场，方向沿径向向外，由高斯定理可知，在距球心为（）处场强大小，电势梯度是非均匀变化的。考虑在一小段（），将其上场强视作不变，电势降落，则从到总的电势降落再由电容定义式即得球形电容器的电容公式为（），说明球形电容器的电容也仅由其几何形状及结构决定。 由两个同轴金属圆柱面组成的圆柱形电容器也是常见电容器。一根同轴的电缆就形成一个圆柱形电容器，如图所示为同轴电缆剖视，它的铜芯线和外包铜线相当于圆柱形电容器的两个

4、极板。电缆单位长度的电容是电缆的一个重要的特性参数，对圆柱形电容器电容的计算也是很有实际意义的，读者可试解本专题小试身手题。 当将两个电容器如图所示串联时，等效于增大了板间距离，给板充电量、板充电量，右板及左板因静电感应而分别有电量及电量且与连接导线共成一等势体，设串联后等效电容为，则，。即电容器串联后的等效电容值取各相串电容的调和平均，等效电容变小。 当将两个电容器如图所示并联时，等效于增大了极板的正对面积，各电容器板间电压均为，设并联后等效电容为，那么，即电容器并联后的等效电容值为各相并联电容的和。等效电容变大。 下面我们来计算两个异形电容器的电容。【例1】如图所示，两块长与宽均为与的导体

5、平板在制成平行板电容器时稍有偏斜，使两板间距一端为，另一端为（），且，试求该空气电容器的电容。【分析与解】这里涉及的电容器是板间距离有微小变化的平板电容器，自然想到用微元法；将该电容器看作是个正对面积极小的电容器并联而成，每个元电容器极板间距视作恒定，用平行板电容器公式示出其电容，总电容为。先取微元。由于微元量，求这样一个调和级数的和是很困难的，故我们将总电容进行分割，每个元电容，如图所示，设第个小电容器极板间距离、正对面积，则，即，此式说明各电容相同的小电容器其板间距离是呈等比数列地从变为的，即。利用极限，得，于是 。【例2】如图所示，两个半径均为的导体球相互接触形成一孤立导体，试求此孤立导

6、体的电容。（）【分析与解】孤立导体的电容取决于其几何构建，球导体电容为，两个半径均为的导体球切合，其电容是多少？我们从寻求等效下手。设系统的电势为，如若确定此电势下系统的荷电量，即可由定义求得电容先考虑若只一个金属球，当带电量时，有，两球相互接触时。每球球心电势将要增加对方球所带电荷（视作集中在球心）引起的那部分电势，可以设想在两球心连线上适当位置放上适当电荷所谓像电荷来抵消，以便每球的电势依然保持为。如图所示，为了消除处对处电势的影响，可在与距离处放置（参见专题例结论）。同样，为了消除处对处电势的影响，可在与距离处放置；但在消除对方对自身影响的同时，却又在对方引起新的电势，仿照前面做法。再引

7、入对电荷，其位置距球心，电量；如此往复无穷直至系统电势为，此时系统总电荷，则该双金属球系统的电容为。 至此，我们所讨论的电容器两极间均无其他物质，为真空绝缘。当改变两导体的绝缘物质时，电容器的电容也将发生变化。电介质的电学性质是几乎没有自由电子、由中性分子构成，每个分子带等量异种电荷。通常情况下，整个电介质物体不显电性。当把电介质物体放在电场中，带等量异种电荷的中性分子受电场力作用成为按电场方向顺序排列的电偶极子，如图所示，这就使电介质的两端呈局部带电现象：电场线进入的一端表面带负电，电场线穿出的一端表面带正电，这种现象叫做电介质极化，电介质两端面上的电荷称极化电荷。电介质与导体在电场中的表现

8、是不同的：极化电荷不同于自由电荷，它不能自由移动；极化电荷建立的电场削弱了外电场，电介质里的电场为，真空中场强与处在该场里的电介质内部被极化电荷削弱后的场强之比值定义为这种电介质的介电常数，介电常数大于。空气的介电常数，一般的计算中将空气的介电常数取作。 当平行板电容器两极板间均匀充满介电常数为的电介质时，其电容将增加为原来的倍，即计算电容的公式成为。【例3】如图所示，一平行板电容器，充以三种介电常数为分别、和的均匀介质，板的面积为，板间距离为。试求电容器的电容。【分析与解】这样一个电容器的电容可等效为由电容与的电容串联后与电容的电容器并联的电容值，这个等效电容为。 离子型晶体的电介质如石英、

9、电气石等，当受到拉伸或压缩而发生机械形变时，也能产生电极化现象，这被称为压电效应。例如石英晶体处在的压强下时，承受正压力的上下两个表面间出现正负电荷，产生约的电势差。石英晶体的压电现象被用来变机械振动为电磁振荡，它是标准时间石英钟的运作原理。 多个电容器按不同方式连接后充电，各电容器极板上的电量及两板间的电压将由电容器的电容制约，例如当几个原来不带电的电容器串联后，加上电压，将按各电容器的电容反比例分配在各电容器上，这是因为各串联电容器电量相同，而之故；当几个原来不带电的电容器并联后，充电到总电量为，各电容器将按电容正比例地分配电量，因为相同，在下面较为复杂的背景下，电容对两板间的电压及极板上

10、的电量的制约还是解决问题的瓶颈。【例4】四块同样的金属板，每板面积为，各板带电量分别为、。各板彼此相距为，平行放置如图所示，比板的线尺寸小得多，当板、板的外面用导线连接，求板与板之间的电势差。【分析与解】“比板的线尺寸小得多”这个条件使我们可以忽略板的边 缘效应而将各板间电场均看作匀强电场。要求板、间电势差，关键须确定由板、构成的这个电容器的电量。当将板、板以导线相连，有两点；一是板与板成为等势体；二是板与板总电量守恒为、板2与板3电量不变。我们可以假设各板左右两侧电荷分布如图所示，其中 ，（） 各板间电场线方向如图所示，即电势从板到板降落，从板到板回升，从板到板回升，因为板与板等势，所以。同

11、时每对金属板构成的电容器电容均为，故有， 由、三式解得板右侧与板左侧带电量，于是可求出、板间的电压。【例5】如图所示，两块金属平板平行放置，相距，一板上电荷面密度，另一板上电荷面密度，在两板之间平行地放置一块厚的石蜡板，石蜡的介电常数。求两金属板之间的电压。【分析与解】这个问题中，两块金属板均带正电荷，如果在每个金属板上附加面密度为的电荷，电容器的带电就成为“标准状况”了。两板带等量异种电荷，而附加电荷在板间引起的电场互相抵消，并不影响原来的板间电场，也不会改变电容器的电势。因为这个电容器等效于一个电容的电容器与一个电容 的电容器串联，总电容为，在带电量为的情况下，两板电势差。电荷间存在相互作

12、用的电场力，而任何带电过程，都是电荷之间的相对移动过程，所以带电系统的形成过程或改变、削减过程，必定伴随着电场力做功、其他形式的能与带电系统电场能的转换。例如用电池对电容器充电时，消耗电池中的化学能，充了电的电容器获得静电能；电容器放电时，它所储存的电能，就会转化为热、光、声等其他形式的能。带电系统静电能的变化是用电场力的功来量度的，以平行板电容器为例，我们来研究当一个电容为的电容器通过电压充电，带上等量异种电量时具有的能量。这个充电过程，可等效为将电荷逐个地从原本电中性的两极板中的一个板移到另一个板从两板都不带电，电势为零开始，每移动一个电荷元，板间电压升高一个微量，最后移过总电量，电压达到

13、，由于电容恒定，电压的升高随电量的增加线性变化，故我们取平均电压，由功能原理：电场力移动电荷做功等于电容器获得的电能，即。 下面的问题涉及电容器充、放电过程中的电场、力与能。【例6】如图所示的电路中，电池电动势为，不计内阻，与为已知量。先在断开的条件下，接通、，令电池给三个电容器充电；然后断开、，接通，使电容器放电，求：放电过程中，电阻上总共产生的热量及放电过程达到放电总量一半时，上的电流。【分析与解】断开，、接通的条件下，三个电容器并联在电源上，电路情况如图所示，容易确定，充电后每个电容器极板上的电量依次为、。 然后断开、，接通，电容器通过电阻放电，电容器有部分静电能转变为热量。设稳定后各电

14、容器极板电量情况如图所示，由电荷守恒有， 。 而由左板与，右板等势有。 由此三式解得，于是可得，将各电容器放电前后带电量代入此式即得总共产生的热量。 再分析放电一半时，电阻两端电势差亦即电容器左板与电容器右板电势差从减为，那么通过电阻的电流是。【例7】在光滑绝缘水平面上，平行板电容器的极板固定，极板用绝缘弹簧固定在侧壁上，如图所示，若将开关闭合，极板开始平行地向极板移动，到达新的平衡位置时两极板间距离减少了。如果开关闭合极短时间后就立刻断开（此间设极板未及从原位置移动），求此后极板到达新的平衡位置时两极板间距离减少的百分比。【分析与解】设电源提供的电压为。若开关始终闭合，则板移动过程中两板间电

15、压保持不变为，但由于两板间距减小，电容将增大，故电源将不断对电容器充电，致使两板上电量增加、板间场强增大，当板上电荷受到板电荷的静电力与弹簧对板的拉力等大时，板重新平衡。设板原间距为，电容为，弹簧劲度系数为。当两极板间距离减少时，电容为，板间场强为，而板上电荷引起的场强应为。又，、两板各带有的正、负电荷，则板受到电场力为，平衡的板受力满足。 如果开关闭合极短时间后就立刻断开，随着板的移动，不变量是两极板上的电量及板间场强，变化的是电容及两板间电压。这种情况下到达新的平衡位置时，受力满足。 比较、两式可得，。【例7】两块平行金属板面积都是，相距为，其间充满介电常数为的均匀介质，把两块板接到电压为

16、的电池两极上。现在把板间介质沿平行于边慢慢抽出一段，如图所示，略去边缘效应及摩擦，求电场把介质拉回去的力。【分析与解】把介质慢慢拉出过程，可视作外力克服电场力做功消耗电场能的过程，设将介质沿拉出两板边缘，外力大小为，根据功能关系，其中，介质充满板间时电容器的电容；介质抽出时电容器的电容，那么，故，而电场把介质拉回去的力大小亦为此矣。1、如图所示，由五个电容器组成的电路，其中，求间的总电容。2、在极板面积为，相距为的平行板电容器内充满三种不同的介质，如图所示。如果改用同一种介质充满板间而电容与之前相同，这种介质的介电常数应是多少？如果在和、之间插有极薄的导体薄片，问的结果应是多少？3、球形电容器

17、由半径为的导体球和与它同心的球壳构成，球壳内半径为，其间一半充满介电常数为的均匀介质，如图所示，求电容。4、如图是一个无限的电容网络，每个电容均为，求、两点间的总电容。5、如图所示为共轴的两导体圆柱面组成的电容器。长、半径分别为和。两圆筒间充满介电常数为的电介质。求此电容器的电容。6、半径分别为和的两个球形导体，分别带有电荷、，将其相距很远地放置，现用一金属导线连接，试求连接后每球上的电荷量及系统的电容。7、平行板电容器的极板面积为，板间距离为。其间充满介质，介质的介电常数是变化的，在一个极板处为，在另一个极板处为，其他各处的介电常数与到介电常数为处的距离成线性关系，如图所示。试求此电容器的电

18、容。8、电容为的平行板电容器的一个极板上有电量，而另一个极板上有电量，求电容器两极板间的电势差。9、三个电容分别为、的未带电的电容器，如图示方式相连，再接到点、上。这三点电势分别为、。则公共点的电势是多大？10、如图所示的两块无限大金属平板、均接地，现在两板之间放入一点电荷，使它距板为，距板。求、两板上的感应电荷电量各如何？11、三块相同的平行金属板，面积为，彼此分别相距和。起初板上带有电量，而板和板不带电。然后将板、分别接在电池正、负极上，电池提供的电压为。若板、用导线连接如图所示，求、各板所带电量。12、极板相同的两个平行板空气电容器充以同样电量。第一个电容器两极板间的距离是第二个电容器的

19、两倍。如果将第二个电容器插在第一个电容器的两极板间，并使所有极板都互相平行，问系统的静电能如何改变？13、静电天平的原理如图所示，一空气平行板电容器两极板的面积都是，相距为，下板固定，上板接到天平的一头，当电容器不带电时，天平正好平衡。然后把电压加到电容器的两极上，则天平的另一头须加上质量为的砝码，才能达到平衡。求所加的电压。14、三只电容均为的电容器，互相串联后接到电源上，电源电动势为。当电容器完全充电后跟电源断开，然后接入两只电阻均为的电阻器，如图所示。试问每只电阻上释放的热量有多少？当中间一只电容器的电压减小到电源电动势的的瞬间，流过电阻的电流和各为多大？15、如图所示，两个电容均为的电容器和，一个双刀双掷开关，一个可提供恒定电压的蓄电池。将它们适当连接并操作开关