深圳一模理科数学试题答案

1、2015年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数一、选择题：本大题每小题5分，满分40分12345678cdacbcda二、填空题：本大题每小题5分，满分30分9

2、 ； 10 ； 11； 12；13； 14； 15 三、解答题16（本小题满分12分）解：（1）的周期，即， 1分， 由，得，即 3分 5分（2）由得， 7分 又， 8分 ， 9分 12分17（本小题满分12分）解:（1）根据数据，完成表格如下：空气质量优质良好轻度污染中度污染aqi值范围0,50)50，100）100,150)150,200)城市频数21261 2分 （2）按分层抽样的方法， 从“良好”类城市中抽取个， 3分 从“轻度污染”类城市中抽取个， 4分 所以抽出的“良好”类城市为个，抽出的“轻度污染”类城市为个 根据题意的所有可能取值为：, ，8分的分布列为：所以 11分答：的数学

3、期望为个 12分18 （本小题满分14分）az图1o(b)pycx19 解：（1）三棱锥直观图如图1所示；由三视图知和是直角三角形 3分（2）（法一）：如图2，过作交于点，由三视图知为等腰三角形， ，取的中点，过作且交于点，连接，efhaz图2o(b)pycx因为，由三视图知面，且面，所以，又由，所以面，由面，所以，所以面，由面，所以，所以是二面角的平面角6分， 8分在直角中，有所以，二面角的正切值为 9分（法二）：如图3，过作交于点，由三视图知为等腰三角形，haz图3o(b)pycx，由图3所示的坐标系，及三视图中的数据得：，则， ,设平面、平面的法向量分别为、设，由，得，令， 得，即 6分

4、设，由，得，令， 得，即 7分，8分而二面角的大小为锐角，所以二面角的正切值为9分（3）（法一）：记到面的距离为，由（1）、（2）知， ， 12分三棱锥的体积， 13分由，可得： 14分（法二）：由（2）知，平面的法向量，记到面的距离为， 14分19 （本小题满分14分）解：（1）（法一）：数列的首项，公差， 2分， 3分整理得解得或（舍去） 4分因此，数列的通项 5分（法二）：由题意得， 1分数列是等差数列， 2分，即 3分又，解得或（舍去） 4分因此，数列的通项 5分（2）， 6分令，则有，当时， 8分因此，数列的通项 9分， 10分若数列为等比数列，则有，即，解得或 11分当时，不是常数

5、，数列不是等比数列，当时，数列为等比数列所以，存在实数使得数列为等比数列 14分20（本小题满分14分）解：（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得， 故椭圆的方程可设为，则椭圆的右焦点坐标为， 过右焦点倾斜角为的直线方程为 2分设直线与椭圆的交点记为，由消去，得，解得， 因为，解得 故椭圆的方程为 4分（2）（法一）（i）当切线的斜率存在且不为时，设的方程为，联立直线和椭圆的方程，得， 5分消去并整理，得， 6分因为直线和椭圆有且仅有一个交点， 7分化简并整理，得 8分因为直线与垂直，所以直线的方程为：，联立 解得 9分，把代入上式得 11分（ii）当切线的斜率为时，此时，符合式 12分（iii

6、）当切线的斜率不存在时，此时 或，符合式 13分综上所述，点的轨迹方程为 14分（法二）：设点的坐标为，（i）当切线的斜率存在且不为时，设的方程为，同解法一，得， 8分因为直线与垂直，所以直线的方程为：，联立 解得 9分代入并整理，有，10分即，由点与点不重合， ， 11分（ii）当切线的斜率为时，此时，符合式 12分（iii）当切线的斜率不存在时，此时 或，符合式 13分综上所述，点的轨迹方程为 14分（法三）：设点的坐标为，（i）当切线的斜率存在且不为时，设的方程为，整理，得的方程为， 5分联立直线和椭圆的方程，得， 消去并整理，得， 6分因为直线和椭圆有且仅有一个交点， 7分化简并整理，

7、得， 8分因为与直线垂直，有， 9分代入并整理，有，10分即，点与点不重合， ， 11分（ii）当切线的斜率为时，此时，符合式 12分（iii）当切线的斜率不存在时，此时 或，符合式 13分综上所述，点的轨迹方程为 14分21（本小题满分14分）解：（1）为奇函数，当时，则， 2分时， 的值域为 3分图a（2）函数的图象如图所示，当时，方程有三个实根；当或时，方程只有一个实根；当或时，方程有两个实根（法一）：由，解得， 的值域为，只需研究函数在上的图象特征设，令，得，当时，当时，又，即，由，得，图b的大致图象如图所示根据图象可知，当时，直线与函数的图像仅有一个交点，则函数在上仅有一个零点，记零

8、点为，则分别在区间、上，根据图像，方程有两个交点，因此函数有两个零点 5分类似地，当时，函数在上仅有零点，因此函数有、这三个零点 6分当时，函数在上有两个零点，一个零点是，另一个零点在内，因此函数有三个零点 7分当时，函数在上有两个零点，且这两个零点均在内，因此函数有四个零点 8分当时，函数在上没有零点，因此函数没有零点 9分（法二）： ，令，得， ，当时，当时，当时，取得极大值 图c（）当的极大值，即时，函数在区间上无零点，因此函数无零点 （）当的极大值，即时，函数的图像如图所示，函数有零点图d由图可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点（）当的极大值且，即时，在上单调递增，因为，函数的图

9、像如图所示，函数在存在唯一零点，其中由图可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点（）当的极大值且，即时：由，得，由，得，图e根据法一中的证明有 （）当时，函数的图像如图所示，函数在区间有唯一零点，其中图f由图可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点（）当时，函数的图像如图所示，函数在区间有唯一零点由图可知方程有三个不等的实根，因此函数有三个零点（）当时，函数的图像如图所示，函数在区间有唯一零点，其中图g由图可知方程有两个不等的实根，因此函数有两个零点 （）当时，函数的图像如图所示，函数在区间有图h两个零点，分别是和，其中由图可知方程有一个实根，方程 有两个非的不等实根，因此函数有三个零点 （）当时，图i函数的图像如图所示，函数在区间有两个零点、，其中由图可知方程、都有两个不等的实根，且这四个根互不相等，因此函数有四个零点 综上可得： 当时，函数有两个零点；5分当、时，函数有三个零点； 7分 当时，函数有四个零点； 8