第14章 振动3

1、第第1414章章 振动振动6-16-1 简谐振动简谐振动机械振动：机械振动：物体在某一位置附近来回往复的运动物体在某一位置附近来回往复的运动广义振动：广义振动：一个物理量在某一定值附近的往复变化一个物理量在某一定值附近的往复变化iQHEr振动的形式振动的形式共振共振振动振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动有阻尼有阻尼无阻尼无阻尼无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动无阻尼自由谐振动一、简谐振动方程一、简谐振动方程 线性恢复力线性恢复力kxF动力学方程动力学方程 22txmkxdd简谐振动简谐振动kmoxx02xx mk固有角频率固有角频率tAxcos简谐振动的运动学方程简谐振动的

2、运动学方程 二、简谐振动的特征量二、简谐振动的特征量 位移位移x广义：广义：振动的物理量振动的物理量A振幅振幅圆频率，角频率圆频率，角频率频率频率2T周期周期T1t相位相位亦称位相、周相亦称位相、周相初相位初相位初相与时间零点的选择有关初相与时间零点的选择有关22txmkxdd谐振动的特征参量谐振动的特征参量 A与初始条件无关，系统的属性与初始条件无关，系统的属性由初始条件决定由初始条件决定22020vxA00010 xtgv三、三、简谐振动的描述简谐振动的描述1.1.解析法解析法tAxcos2.2.曲线法曲线法oxtAATA2 a时时的的位位移移和和速速度度00 tx0v,oxtAT2 tT

3、t 2)2cos( tAx vxtAx22)cos( a 比比 x 超前超前 / 2 a和和x反相反相 3.3.旋转矢量法旋转矢量法A 0 x0t规定规定AA |以角速度以角速度 逆时针旋转逆时针旋转端点端点在在x轴上的投影轴上的投影)cos(tAx txotx tAxcosxo例：质量为例：质量为m的质点和劲度系数的质点和劲度系数 为为k 的弹簧组成的弹簧谐振的弹簧组成的弹簧谐振 子。子。t = 0时，质点过平衡位时，质点过平衡位 置且向正方向运动置且向正方向运动求：物体运动到负的二分之一振求：物体运动到负的二分之一振 幅处时所用的幅处时所用的最短时间最短时间 0t 67t例：作简谐振动质点

4、的例：作简谐振动质点的x t 曲线如图，求质点的运动方程曲线如图，求质点的运动方程cm)(xs)(t1240解：解：)cos(tAx0tcm2xcm4A30v 3cms21xt33 0v 32 )332cos(4tx对两同频率的简谐振动对两同频率的简谐振动 111costAx222costAx相位差相位差 1212)()( tt0 同相同相 反相反相0 12xx超前 0|12xx落后四、四、简谐振动的能量简谐振动的能量221kxEp221vmEk221kAEEEkpopptEEd12411kAtEEokkdpEkEx241kAEp221kAE o)(cos2122tkA)(sin2122tkA

5、241kA2tE决定了运动范围决定了运动范围五、简谐振动的判据五、简谐振动的判据动力学判据动力学判据kxF022xmktxdd运动学判据运动学判据)cos(tAx能量判据能量判据常数222121x mkx例：竖直弹簧振子例：竖直弹簧振子oo自然自然长度长度xlxgmfmglkxmmgxlk )(xmkx 2mk令02xx 平衡平衡长度长度)(xlkf)cos(tAx机械能守恒机械能守恒02221)()(21Emlxmglxkx 常数222121x mkx能量判据能量判据不是弹性势能不是弹性势能!221kx例：复摆的运动例：复摆的运动o Cgm解：解：lOCJ转动惯量sin2Jmgltdd2si

6、nmglM摆角很小时摆角很小时02Jmgltdd2JmglmglJT2tcos0等值摆长？等值摆长？振动中心？振动中心？例：空气弹簧由活塞和绝热密封气缸例：空气弹簧由活塞和绝热密封气缸( (截面积截面积A, ,长长l, ,压强压强P0) )组组 成。成。活塞质量为活塞质量为m，气体比热比为气体比热比为 。证明活塞在平衡位置。证明活塞在平衡位置 附近的运动为谐振动。附近的运动为谐振动。证明：证明：cPVVVPPddlxPP0d平衡时平衡时0PPlAVV0lxPAPAF0d0222xtxddmlAP0zlxoxF例例: :劲度系数为劲度系数为k的轻弹簧挂在质量为的轻弹簧挂在质量为m，半径为半径为R

7、的匀质圆柱体的匀质圆柱体的对称轴上，使圆柱体作无滑动的滚动，证明：圆柱体的对称轴上，使圆柱体作无滑动的滚动，证明：圆柱体 的质心作谐振动。的质心作谐振动。水平面水平面kc证明：证明：xcxo弹簧原长处为坐标原点弹簧原长处为坐标原点c212121222cccJmkxE221mRJcRccmkxcc224321cxmkxcc222121简谐振动简谐振动03222ccxmktxddmkmk32例3 一轻弹簧在60 N的拉力下伸长30 cm。现把质量为4 kg的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止，再把物体向下拉10 cm，然后由静止释放并开始计时。求 (1) 物体的振动方程； (2) 物体在平衡位置上方

8、5 cm时弹簧对物体的拉力； (3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到平衡位置上方5 cm处所需要的最短时间。-解(1)选平衡位置为坐标原点O，x轴向下为正方向 在任意位置x处 220)(dtxdmxlkmg0l平衡位置处弹簧伸长量 00 klmg22dtxdmkx mk设222d0dxxt得0l判断是否简谐振动？ (1) 物体的振动方程；cos()xAt确定方程中的常数: 2003 . 060lfkNm1 07. 7mkrads1 由t = 0时，(m)，1 . 00 x00v,得 22002vAx， = 0.10 m 振动方程为 x = 0.10 cos(7.07t) m= 0

9、(2) 求物体在平衡位置上方5 cm时弹簧对物体的拉力 x=5 cm时， 假设物体受拉力f 向上，如图 fmgma222.5m sax 得弹簧对物体的拉力 2 .29)5 . 28 . 9(4fN f 所得值为正，说明与假设方向相同。kxfmgmgkxf-或(3) 求物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到平衡位置上方5 cm处所需要的最短时间。根据此旋转矢量图得 26/12Ttt61212Tttt0.074 s 25c021Amxx14-214-2 阻尼振动阻尼振动受阻力的作用，能量受阻力的作用，能量(振幅振幅) 随时间逐渐衰减的振动随时间逐渐衰减的振动阻尼：消耗振动系统能量的原因阻尼：消

10、耗振动系统能量的原因摩擦阻尼摩擦阻尼辐射阻尼辐射阻尼考虑与速率成正比的阻力考虑与速率成正比的阻力 阻尼系数阻尼系数xftxkxtxmdddd22阻尼振子阻尼振子0220 xxx mk20m2固有频率固有频率202) 1 ()cos(0teAxt220teAA0欠阻尼欠阻尼xt0减幅振动减幅振动0220222T欠阻尼欠阻尼teAA0粘性阻力粘性阻力二阶常系数奇次微分方程二阶常系数奇次微分方程202)2()(tttrreAeAex212022r振幅指数衰减，不再振动振幅指数衰减，不再振动过阻尼过阻尼过阻尼过阻尼202) 3()(21tccext和过阻尼情形相比，临界阻尼情形下，物体回到平和过阻尼情

11、形相比，临界阻尼情形下，物体回到平衡位置所需时间最短衡位置所需时间最短 )(teAxtcos0振幅的对数减缩振幅的对数减缩)(exp)exp(ln00TtAtAT临界阻尼临界阻尼xt0欠阻尼欠阻尼临界阻尼临界阻尼 例 有一单摆在空气（室温为 ）中来回摆动. 摆线长 ，摆锤是半径 的铅球.求（1）摆动周期；（2）振幅减小10所需的时间；（3）能量减小10所需的时间；（4）从以上所得结果说明空气的粘性对单摆周期、振幅和能量的影响. （已知铅球密度为 ， 时空气的粘度 ）C20m 0 . 1lm 100 . 53r33mkg 1065. 2sPa 1078. 15C20解（1）10s 13. 3lg

12、vvCrF6r142s 1004. 6492rmC0s 2220220Tm, 0 . 1lm, 100 . 53r33mkg 1065. 2sPa 1078. 15C,20已知求（1）T（3）tAAe1e9.0tAAmin 3s 174)9 . 01ln(1ttAAEE22e)(22e9.0tmin 5 . 1s 872)9 . 01ln(2t已知求（2）?,9 . 0tAA （3）?,9 . 0tEE （2） 有阻尼时解m, 0 . 1lm, 100 . 53r33mkg 1065. 2sPa 1078. 15C,206-3 6-3 受迫振动受迫振动 共振现象共振现象系统在周期性外力系统在周

13、期性外力(驱动力驱动力)作用下的振动作用下的振动 振动方程振动方程 tFxkxxmcos0 thxxxcos220 mk20m2mFh0受恒定外力作用 0Fxkxxm km 阻尼振子阻尼振子kFx0令令)cos()cos(02200tAteAxt2220222)()2(hA2202 arctgA0 0, , 0 0取决于系统的初始条件取决于系统的初始条件振动方程的解振动方程的解暂态解暂态解 定态解定态解 共振现象共振现象2220222)()2(hA时r2202220max2hA位移位移(振幅振幅)共振共振若阻尼很弱若阻尼很弱00r将将很很大大maxA0若maxA)2cos(txAvv22202

14、2)(4hAv时02hAmaxvv速度共振速度共振驱动力总作正功驱动力总作正功 2202arctg2PAo共振频率0大阻尼小阻尼阻尼0共振共振:在受迫振动中位移振在受迫振动中位移振幅出现极大值的现象幅出现极大值的现象称为位移共振称为位移共振, 简称简称共振共振小号发出的波足以把玻璃杯振碎小号发出的波足以把玻璃杯振碎1940年华盛顿的塔科曼大桥建成年华盛顿的塔科曼大桥建成同年同年7月的一场大风引起桥的共振月的一场大风引起桥的共振 桥被摧毁桥被摧毁我国古代对我国古代对“共振共振”的认识：的认识： 蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣，蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣，公元五世纪公元五世纪天中记天中记：问张华。问张

15、华。张华曰：此盘与宫中钟相谐，张华曰：此盘与宫中钟相谐， 故声相应，故声相应，可改变其薄厚。可改变其薄厚。26 当一个物体同时参与几个谐振动时就需考虑振动的合当一个物体同时参与几个谐振动时就需考虑振动的合成问题。成问题。12cos()xxxAt 线性叠加线性叠加21xxx111cos()xAt 222cos()xAt 两个两个同方向同频率同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动合成后仍为同同频率的频率的简谐简谐振动振动 合振动的振幅合振动的振幅2212122cosAAAA A2111221122sinsintgcoscosAAAA 合振动的初相位合振动的初相位27 同方向同频率简谐振动的合成的同

16、方向同频率简谐振动的合成的11A1xx021xxx11221122sinsintgcoscosAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(111tAx222cos()xAtAx2x2A2)cos(tAx在在t t =0 =0 时刻：时刻：在任意在任意t t 时刻：时刻：28120cos()xxxAt 2212122cosAAAA A 对合成谐振动的讨论对合成谐振动的讨论（1 1）相位差相位差212k), 2 1 0( ，k12AAA( (同相同相) )xxtooA1A2AT相互加强相互加强29（2 2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，kxxtooT2A21AA12A

17、AA ( (反相反相) )相互削弱相互削弱（3 3）一般情况一般情况1212AAAAA 12 其其它它值值3011Axo 多个同方向同频率简谐运动多个同方向同频率简谐运动的的合成合成2A23A3)cos(tAxnxxxx21)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(nnntAxA多多个个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成仍为仍为简谐简谐运动运动31例：已知例：已知一质点同时参与了三个简谐振动，一质点同时参与了三个简谐振动，x1=Acos( t+ /3), x2=Acos( t+5 /3), x3=Acos( t+ )。求求其合振动方程。其合振动方程。X=05cos()

18、cos()33xAtAt 解法一：解法一：3Xxx 解法二：解法二：旋转矢量法旋转矢量法xo335AAAx1+x222cos()cos()3At cos()At cos()cos()AtAt 0 例：例：三个同方向，三个同方向，同频率的简谐运动为同频率的简谐运动为求求： （1）合振动的角频率、振幅、初相及振动表达式；）合振动的角频率、振幅、初相及振动表达式；（2）合振动由初始位置运动到）合振动由初始位置运动到 （A为合振为合振动振幅）所需最短时间。动振幅）所需最短时间。65314cos08. 02314cos08. 06314cos08. 0321txtxtxAx2232A3 /6A1A2 /

19、3 /3AO xmAAA16. 02108. 008. 02108. 06sin6sinA321合振动的振幅为 0合振动的初相：合振动的初相：20角频率仍为角频率仍为 314s-1所以振动表达式为：所以振动表达式为：mtx2314cos16. 0此题采用矢量多边形合成及相量图的方法求解。此题采用矢量多边形合成及相量图的方法求解。33（2）合振动矢量由初始位置旋转合振动矢量由初始位置旋转 + /4角度，角度，此角度对应的此角度对应的 ，O xAx22A20Ax22st3105 .124 旋转此角度所需时间为：旋转此角度所需时间为： 434三、三、 同方向不同频率的简谐振动的合成同方向不同频率的简

20、谐振动的合成)cos()cos(22021101tAxtAx21xxx)22cos()22cos(2122112120ttA合振动已不再是谐振动合振动已不再是谐振动考虑考虑 1 2的情况的情况1212)22cos(212120tA随时间变化很慢，随时间变化很慢，看作合振动的振幅看作合振动的振幅)(tA)22cos(1221t)2cos(12t随时间变化很快，随时间变化很快，看作谐振动部分看作谐振动部分)cos()(21ttAxxx1xt2xtxttxtx合振动可看作振幅缓慢变化的简谐振动合振动可看作振幅缓慢变化的简谐振动 频率都较大但频率差很小的两个同方向简谐振动，合频率都较大但频率差很小的两

21、个同方向简谐振动，合成时所产生的合振幅时而加强时而减弱的现象叫成时所产生的合振幅时而加强时而减弱的现象叫拍拍拍频：拍频：单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频|v |vv21拍222211)22cos(2)(12120tAtA当两振动的振幅不当两振动的振幅不等时，也有拍现象等时，也有拍现象四、相互垂直的同频率简谐振动的合成四、相互垂直的同频率简谐振动的合成)cos(,)cos(2211tAytAx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx = = 0yx合合振振动动为为同同频频率率简简谐谐振振动动轨轨迹迹是是椭椭圆圆424345234

22、74243李萨如图形李萨如图形)cos(tmAx)cos(0tnAy,22020vxA0010 xtgv 1）由初始条件求运动方程参量）由初始条件求运动方程参量00cosAx00sinAv一一.简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程)cos(0tAx2）简谐振动的速度与加速度）简谐振动的速度与加速度)2cos(0tAdtdxvxtAtAdtxda2020222)cos()cos(总结)(sin212102222tAmmvEk)(cos21)(cos212102220222tAmtkAkxEp3）简谐振动的能量）简谐振动的能量2222121kAAmEEEpk 例例 一系统作谐振动，周期为一系统

23、作谐振动，周期为 T ，以余弦函数表达振动时，以余弦函数表达振动时， 初位相为零。求在初位相为零。求在 0 t T / 2 范围内，系统动能和势能相等范围内，系统动能和势能相等的时间。的时间。解：解： 据题意，振动方程可写为据题意，振动方程可写为,2,cosTtAx谐振动的动能和势能为：谐振动的动能和势能为：).(cos21),(sin21222222tAmEtAmEpk当当 Ek = Ep 时，有时，有1)(2ttg在在 20Tt 时，有时，有t0因此因此43,41tx.83,81TTt 二二. 简谐振动的判据：简谐振动的判据：1. 动力学判据动力学判据:1）由力与位移或角位移之间的负正比线

24、性关系来判断。）由力与位移或角位移之间的负正比线性关系来判断。, xkf如弹性恢复力如弹性恢复力022xmkdtxd2）从势能与位移或角位移之间的平方函数形式判断。）从势能与位移或角位移之间的平方函数形式判断。 如水平弹簧振子如水平弹簧振子221kxpE2. 运动学判据运动学判据 :)cos(0tAx相对平衡位置的位移随时间按正相对平衡位置的位移随时间按正(余余)弦规律变化，即弦规律变化，即动力学方程动力学方程三三. 阻尼振动阻尼振动)cos()(00teAtxt220圆频率圆频率振振 幅幅teA01. 驰豫时间驰豫时间得定态解振幅得定态解振幅:相位相位:2222204)(ddxB2202dddarctg四四. 受迫振动受迫振动共振共振:2202d)(00rd时)cos(21tAxxx)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintgAAAA五五.简谐运动的合成简谐运动的合成k2)(2010) 12()(20