安徽省合肥一中高二下期中数学试卷理科解析版

1、2015-2016学年安徽省合肥一高二（下）期数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的1若z1=（m2+m+1）+（m2+m4）i，mr，z2=32i，则m=1是z1=z2的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件2设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f（x）的图象可能是（）abcd3由曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为（）ab4cd64用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有有理根，那么a，b，c至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是

2、（）a假设a，b，c不都是偶数b假设a，b，c都不是偶数c假设a，b，c至多有一个是偶数d假设a，b，c至多有两个是偶数5已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论错误的是（）axr，f（x）=0b函数y=f（x）的图象是心对称图形c若x是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（，x）单调递减d若x是f（x）的极值点，则f（x）=06用数学归纳法证明等式：1+2+3+2n=n（2n+1）时，由n=k到n=k+1时，等式左边应添加的项是（）a2k+1b2k+2c（2k+1）+（2k+2）d（k+1）+（k+2）+2k7已知函数f（x）在r上满足f（x）=2f（2x）x2+8x8，则曲线y=

3、f（x）在点（1，f（1）处的切线方程是（）ay=2x1by=xcy=3x2dy=2x+38下面使用类比推理正确的是（）a直线ab，bc，则ac，类推出：向量，则b同一平面内，直线a，b，c，若ac，bc，则ab类推出：空间，直线a，b，c，若ac，bc，则abc实数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a24b类推出：复数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a24bd以点（0，0）为圆心，r为半径的圆的方程为x2+y2=r2类推出：以点（0，0，0）为球心，r为半径的球的方程为x2+y2+z2=r29点p是曲线y=x21nx上任意一点，则点p到直线y=x2的距离的最小值是（）a

4、1bc2d210c+c+c+c+c的值为（）acbcccdc11若f（n）为n2+1（nn）的各位数字之和，如142+1=197，1+9+7=17，则f（14）=17，记f1（n）=f（n），f2=f（f1（n）fk+1=fk（f（n），kn则f2016（8）=（）a3b5c8d1112已知函数y=f（x）对任意的x（，）满足f（x）cosx+f（x）sinx0（其f（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）a f（）f（）b f（）f（）cf（0）2f（）df（0）f（）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13由1，2，3，4可以组成个没有重复数字的正整数14

5、二维空间圆的一维测度（周长）l=2r，二维测度（面积）s=r2；三维空间球的二维测度（表面积）s=4r2，三维测度（体积）v=r3；四维空间“超球”的三维测度v=8r3，则猜想其四维测度w=15已知an=（）n，把数列an的各项排成如下的三角形：记a（s，t）表示第s行的第t个数，则a（11，12）=16已知f（x）=x36x2+9xabc，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0现给出如下结论：f（0）f（1）0；f（0）f（1）0；f（0）f（3）0；f（0）f（3）0其正确结论的序号是三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设复数z=lg（m2+

6、2m14）+（m2m6）i，求实数m为何值时？（）z是实数；（）z对应的点位于复平面的第二象限18（1）已知0x，证明：sinxxtanx；（2）求证：函数f（x）=在x（0，）上为减函数19设数列an的前n项和为sn，且对任意nn都有：（sn1）2=ansn；（1）求s1，s2，s3；（2）猜想sn的表达式并证明20在数列an，已知a1=2，an+1=（）证明数列1为等比数列，并求数列an的通项公式；（）求证： ai（ai1）321已知向量=（ex，lnx+k），=（1，f（x），（k为常数，e是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与y轴垂直，f（x）=xexf（x）

7、（1）求k的值及f（x）的单调区间；（2）已知函数g（x）=x2+2ax（a为正实数），若对任意x20，1，总存在x1（0，+），使得g（x2）f（x1），求实数a的取值范围22已知函数f（x）=的图象为曲线c，函数g（x）=ax+b的图象为直线l（1）当a=2，b=3时，求f（x）=f（x）g（x）的最大值；（2）设直线l与曲线c的交点的横坐标分别为x1，x2，且x1x2，求证：（x1+x2）g（x1+x2）22015-2016学年安徽省合肥一高二（下）期数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的1若

8、z1=（m2+m+1）+（m2+m4）i，mr，z2=32i，则m=1是z1=z2的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据复数相等的条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：当m=1，则z1=（m2+m+1）+（m2+m4）i=32）i，此时z1=z2，充分性成立若z1=z2，则，即，则，即m=1或m=2，此时必要性不成立，故m=1是z1=z2的充分不必要条件，故选：a2设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f（x）的图象可能是（）abcd【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】由f（x

9、）的图象可得在y轴的左侧，图象下降，f（x）递减，y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，即有y轴左侧导数小于0，右侧导数先小于0，再大于0，最后小于0，对照选项，即可判断【解答】解：由f（x）的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f（x）递减，即有导数小于0，可排除c，d；再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数f（x）递减，再递增，后递减，即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除a；则b正确故选：b3由曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为（）ab4cd6【考点】定积分在求面积的应用【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x2的

10、交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为：s=故选c4用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有有理根，那么a，b，c至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是（）a假设a，b，c不都是偶数b假设a，b，c都不是偶数c假设a，b，c至多有一个是偶数d假设a，b，c至多有两个是偶数【考点】反证法与放缩法【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c至少有一个

11、偶数”写出否定即可【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：b5已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论错误的是（）axr，f（x）=0b函数y=f（x）的图象是心对称图形c若x是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（，x）单调递减d若x是f（x）的极值点，则f（x）=0【考点】函数在某点取得极值的条件；命题的真假判断与应用【分析】利用导数的运算法则得出f（x），分0与0讨论，列出表格，即可得出【解答】解：f（x）=3x2+2ax+b（1）当=4a212b0时，f（x）=0有两解，不妨设为x1x2

12、，列表如下x（，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）f（x）+00+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（，x2）不具有单调性，故c不正确+f（x）=+x3+ax2+bx+c=+2c，=，+f（x）=，点p为对称心，故b正确由表格可知x1，x2分别为极值点，则，故d正确x时，f（x）；x+，f（x）+，函数f（x）必然穿过x轴，即xr，f（x）=0，故a正确（2）当0时，故f（x）在r上单调递增，此时不存在极值点，故d正确，c不正确；b同（1）正确；x时，f（x）；x+，f（x）+，函数f（x）必然穿过x轴，即xr，f（x

13、）=0，故a正确综上可知：错误的结论是c由于该题选择错误的，故选：c6用数学归纳法证明等式：1+2+3+2n=n（2n+1）时，由n=k到n=k+1时，等式左边应添加的项是（）a2k+1b2k+2c（2k+1）+（2k+2）d（k+1）+（k+2）+2k【考点】数学归纳法【分析】由数学归纳法可知n=k时，左端为1+2+3+2k，到n=k+1时，左端左端为1+2+3+2k+（2k+1）+（2k+2），从而可得答案【解答】解：用数学归纳法证明等式1+2+3+2n=n（2n+1）时，当n=1左边所得的项是1+2；假设n=k时，命题成立，左端为1+2+3+2k）；则当n=k+1时，左端为1+2+3+2

14、k+（2k+1）+（2k+2），由n=k到n=k+1时需增添的项是（2k+1）+（2k+2）故选：c7已知函数f（x）在r上满足f（x）=2f（2x）x2+8x8，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程是（）ay=2x1by=xcy=3x2dy=2x+3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由f（x）=2f（2x）x2+8x8，可求f（1）=1，对函数求导可得，f（x）=2f（2x）2x+8从而可求f（1）=2即曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率k=f（1）=2，进而可求切线方程【解答】解：f（x）=2f（2x）x2+8x8，f（1）=2f（1）1f（1）=1f（

15、x）=2f（2x）2x+8f（1）=2f（1）+6f（1）=2根据导数的几何意义可得，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率k=f（1）=2过（1，1）的切线方程为：y1=2（x1）即y=2x1故选a8下面使用类比推理正确的是（）a直线ab，bc，则ac，类推出：向量，则b同一平面内，直线a，b，c，若ac，bc，则ab类推出：空间，直线a，b，c，若ac，bc，则abc实数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a24b类推出：复数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a24bd以点（0，0）为圆心，r为半径的圆的方程为x2+y2=r2类推出：以点（0，0，0）为球心，r为

16、半径的球的方程为x2+y2+z2=r2【考点】类比推理【分析】本题考查的知识点是类比推理，我们根据判断命题真假的办法，对四个答案类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案【解答】解：对于a， =时，不正确；对于b，空间，直线a，b，c，若ac，bc，则ab或ab或相交，故不正确；对于c，方程x02+ix0+（1±i）=0有实根，但a24b不成立，故c不正确；对于d，设点p（x，y，z）是球面上的任一点，由|op|=r，得x2+y2+z2=r2，故d正确故选：d9点p是曲线y=x21nx上任意一点，则点p到直线y=x2的距离的最小值是（）a1bc2d2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方

17、程；两点间的距离公式【分析】画出函数的图象，故当点p是曲线的切线与直线y=x2平行的直线的切点时，然后求解即可【解答】解：由题意作图如下，当点p是曲线的切线与直线y=x2平行的直线的切点时，最近；故令y=2x=1解得，x=1；故点p的坐标为（1，1）；故点p到直线y=x2的最小值为=；故选：b10c+c+c+c+c的值为（）acbcccdc【考点】组合及组合数公式【分析】利用组合数公式解答【解答】解：原式=+c+c+c+c=+c+c+c=+c+c=+c=；故选d11若f（n）为n2+1（nn）的各位数字之和，如142+1=197，1+9+7=17，则f（14）=17，记f1（n）=f（n），f

18、2=f（f1（n）fk+1=fk（f（n），kn则f2016（8）=（）a3b5c8d11【考点】归纳推理【分析】根据题的对应法则，算出f1（8）、f2（8）、f3（8）、f4（8）的值，从而发现规律fk+3（8）=fk（8）对任意kn成立，由此即可得到答案【解答】解：82+1=65，f1（8）=f（8）=6+5=11，同理，由112+1=122得f2（8）=1+2+2=5；由52+1=26，得f3（8）=2+6=8，可得f4（8）=6+5=11=f1（8），f5（8）=f2（8），fk+3（8）=fk（8）对任意kn成立又2016=3×672，f2016（8）=f2013（8）=f

19、2000（8）=f3（8）=8故选：c12已知函数y=f（x）对任意的x（，）满足f（x）cosx+f（x）sinx0（其f（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）a f（）f（）b f（）f（）cf（0）2f（）df（0）f（）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论【解答】解：构造函数g（x）=，则g（x）=（f（x）cosx+f（x）sinx），对任意的x（，）满足f（x）cosx+f（x）sinx0，g（x）0，即函数g（x）在x（，）单调递增，则g（）g（），即，即f（）f（），故a

20、正确g（0）g（），即，f（0）2f（），故选：a二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13由1，2，3，4可以组成64个没有重复数字的正整数【考点】计数原理的应用【分析】根据数位的个数分为4类，根据分类计数原理得到结果【解答】解：根据数位的个数分为4类，故a41+a42+a43+a44=64故答案为：6414二维空间圆的一维测度（周长）l=2r，二维测度（面积）s=r2；三维空间球的二维测度（表面积）s=4r2，三维测度（体积）v=r3；四维空间“超球”的三维测度v=8r3，则猜想其四维测度w=2r4【考点】类比推理【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是

21、底一维的测度，从而得到w=v，从而求出所求【解答】解：二维空间圆的一维测度（周长）l=2r，二维测度（面积）s=r2，观察发现s=l三维空间球的二维测度（表面积）s=4r2，三维测度（体积）v=r3，观察发现v=s四维空间“超球”的三维测度v=8r3，猜想其四维测度w，则w=v=8r3；w=2r4；故答案为：2r415已知an=（）n，把数列an的各项排成如下的三角形：记a（s，t）表示第s行的第t个数，则a（11，12）=【考点】归纳推理【分析】观察发现：数阵由连续的项的排列构成，且第m行有2m1个数，根据等差数列求和公式，得出a（11，12）是数阵第几个数字，即时数列an的相序，再利用通项

22、公式求出答案【解答】解：由数阵可知，a（11，12）是数阵当第1+3+5+17+19+12=112个数据，也是数列an的第112项，而a112=，所以a（11，12）对应于数阵的数是故答案为：16已知f（x）=x36x2+9xabc，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0现给出如下结论：f（0）f（1）0；f（0）f（1）0；f（0）f（3）0；f（0）f（3）0其正确结论的序号是【考点】命题的真假判断与应用；函数在某点取得极值的条件【分析】f（x）=x36x2+9xabc，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点1，3及a、b、c的大小关系，由此可得结论【解答】解：求

23、导函数可得f（x）=3x212x+9=3（x1）（x3）abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0a1b3c设f（x）=（xa）（xb）（xc）=x3（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）xabcf（x）=x36x2+9xabca+b+c=6，ab+ac+bc=9b+c=6abc=9a（6a）a24a00a40a1b3cf（0）0，f（1）0，f（3）0f（0）f（1）0，f（0）f（3）0故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设复数z=lg（m2+2m14）+（m2m6）i，求实数m为何值时？（）z是实数；（）z对应的点位于复平面的第二象

24、限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】（）z是实数，即虚部为零，令m2m6=0，解之即可；（）z对应的点位于复平面的第二象限，可得实部为负，虚部为正，由此关系即可解得【解答】解：（i）z是实数，则有m2m6=0，解得m=3，或m=2；又当m=2时，m2+2m140，所以z是实数时，m=3；（ii）z所对的点位于第二象限，则有0m2+2m141且m2m60解得5m118（1）已知0x，证明：sinxxtanx；（2）求证：函数f（x）=在x（0，）上为减函数【考点】利用导数研究函数的单调性；三角函数线【分析】（1）构造函数f（x）=xsinx，g（x）=tanxx，求导，即可证明；（2）

25、直接求导，讨论两种情况（利用第一问结论）【解答】证明：（1）当0x时，令f（x）=xsinx，g（x）=tanxx，则f（x）=1cosx0，g（x）=10，故f（x）和g（x）在（0，）上单调递增，故f（x）f（0）=0，g（x）g（0）=0，xsinx，且tanxx，sinxxtanx（2）f（x）=直接求导，f（x）=0x，xtanx，xcosxsinx，xcosxsinx0，f（x）0，在x（0，）上为减函数x，xcosx0，sinx0，xcosxsinx0，f（x）0，在x，）上为减函数综上所述，函数f（x）=在x（0，）上为减函数19设数列an的前n项和为sn，且对任意nn都有：（

26、sn1）2=ansn；（1）求s1，s2，s3；（2）猜想sn的表达式并证明【考点】数学归纳法；归纳推理【分析】（1）由（sn1）2=ansn，可得sn=，即可求s1，s2，s3；（2）猜想，再用数学归纳法证明【解答】解：（1）（sn1）2=ansn，sn=，又，s1=，（2）猜想下面用数学归纳法证明：1°当n=1时，猜想正确；2°假设当n=k时，猜想正确，即，那么，n=k+1时，由，猜想也成立，综上知，对一切自然数n均成立20在数列an，已知a1=2，an+1=（）证明数列1为等比数列，并求数列an的通项公式；（）求证： ai（ai1）3【考点】等比关系的确定；数列递推式

27、；不等式的证明【分析】（1）对an+1=两边求倒数得1=（1），由a1=2得出数列1是首项为，公比为的等比数列写出其通项公式化简可得数列an的通项公式；（2）利用ai（ai1）=证出即可【解答】（）解：由a1=2，an+1=得，对nn，an0从而由an+1=两边取倒数得， =+即1=（1），a1=2，1=数列1是首项为，公比为的等比数列1=1=an=故数列an的通项公式是an=（）an=，ai（ai1）=（i=1，2，n），当i2时，ai（ai1）=，ai（ai1）=a1（a11）+a2（a21）+an（an1）=+（）+（）+（）=2+1=3321已知向量=（ex，lnx+k），=（1，f（

28、x），（k为常数，e是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与y轴垂直，f（x）=xexf（x）（1）求k的值及f（x）的单调区间；（2）已知函数g（x）=x2+2ax（a为正实数），若对任意x20，1，总存在x1（0，+），使得g（x2）f（x1），求实数a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（i）利用向量平行的条件求出函数y=f（x），再求出此函数的导函数，函数在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，说明f（1）=0，则k值可求；从而得出f（x）的解析式，求出函数f（x）的定义域，然后让导函数等于0求出极值点，借助于导函数在各区间内的符号求函数f（x）的单调区间（i