章3量子力学初步(1)

1、1主要内容：主要内容： 物质的波粒二象性物质的波粒二象性 不确定关系不确定关系 波函数及其物理意义波函数及其物理意义 薛薛定谔方程定谔方程 量子力学问题的几个简例（势阱、势垒）量子力学问题的几个简例（势阱、势垒） 量子力学对氢原子的描述量子力学对氢原子的描述第三章第三章 量子力学初步量子力学初步 2教学要求教学要求（1）知道黑体辐射的量子理论、爱因斯坦光量子假说和光电效应方程。（2）掌握德布罗意假设和波粒二象性，了解戴维孙革末实验和双缝干涉实验。（3）掌握不确定关系，并能用其解决简单的问题。（4）掌握波函数的物理意义。（5）了解薛定谔方程在量子力学中的作用，掌握定态的概念，了解求解定态薛定谔方

2、程（本征问题）的基本步骤。（6）掌握运用定态薛定谔方程求解氢原子问题的基本步骤，掌握描述电子空间运动的三个量子数。3v重点重点v德布罗依假设和微观粒子的波粒二象性德布罗依假设和微观粒子的波粒二象性v波函数的统计诠释波函数的统计诠释v不确定关系不确定关系v定态的概念定态的概念v求解定态薛定谔方程（本征问题）的基本步骤求解定态薛定谔方程（本征问题）的基本步骤v量子力学对氢原子的描述及三个量子数量子力学对氢原子的描述及三个量子数 难点难点v波函数的统计诠释v不确定关系v量子力学对氢原子的描述 4v19001900年，普朗克，黑体辐射，辐射能量量子化年，普朗克，黑体辐射，辐射能量量子化v1913191

3、3年，玻尔，氢原子光谱，量子态年，玻尔，氢原子光谱，量子态v1925192519281928年，年， 海森堡、薛定谔、玻恩、狄拉克、海森堡、薛定谔、玻恩、狄拉克、费曼费曼等等 v19241924年，德布罗意，物质波假说年，德布罗意，物质波假说发展简介：发展简介：v19051905年，爱因斯坦，光电效应，光量子年，爱因斯坦，光电效应，光量子-旧量子论旧量子论!-建立了量子力学建立了量子力学!53.1 物质的波粒二象性物质的波粒二象性一、光的波粒二象性一、光的波粒二象性 1672年，牛顿，光的微粒说年，牛顿，光的微粒说 1678年，惠更斯，光的波动说年，惠更斯，光的波动说 19世纪初，菲涅尔、夫琅

4、和费、杨氏等人证实了世纪初，菲涅尔、夫琅和费、杨氏等人证实了 光的干涉和衍射，从而确立了光的波动性光的干涉和衍射，从而确立了光的波动性 19世纪末，麦克斯韦和赫兹肯定了光是电磁波世纪末，麦克斯韦和赫兹肯定了光是电磁波 1900年，普朗克提出能量子假说年，普朗克提出能量子假说 1905年，爱因斯坦提出了光子说年，爱因斯坦提出了光子说,解释了光电效应，解释了光电效应， 并被康普顿散射实验验证并被康普顿散射实验验证6hE 光子的能量光子的能量hchmcp光子的动量光子的动量光子的质量光子的质量22chcEm结论：结论：光既具有波动性，也具有粒子性。光既具有波动性，也具有粒子性。即：即： 光具有波粒二

5、象性光具有波粒二象性。kp2k波矢波矢1波数波数7二、德布罗意假设二、德布罗意假设-粒子的波动性粒子的波动性 /hp 1924年，法国物理学家德布罗意提出：年，法国物理学家德布罗意提出：-德布罗意关系式德布罗意关系式实物粒子也具有波粒二象性。实物粒子也具有波粒二象性。 具有一定能量具有一定能量E和动量和动量p的自由粒子，相当于的自由粒子，相当于具有一定频率具有一定频率 和波长和波长 的平面波，二者的关系：的平面波，二者的关系：hE 德布罗意波或物质波德布罗意波或物质波德布罗意波长德布罗意波长mhphc220/1/cmmc0mm m18德布罗意关系式的应用德布罗意关系式的应用 (1)若将德布罗意

6、关系式应用与氢原子上，原子定态假设便和驻波联系起来，十分自然地给出角动量量子化条件。电子要想作稳定运动，电子回转一周的周长应为其波长整数倍，即 于 是有 这正是玻尔曾用过的角动量量子化条件。2 , 1,2nmhnphnnrvnhnrm2v9这正是玻尔的量子化的轨道半径。（2）如果把 代入氢原子总能量表达式中rnrnhp2remrnrempE4242222222nm053. 040/22222nannemrdrdEn给出由10三、德布罗意波的实验验证三、德布罗意波的实验验证1. 实验装置实验装置 戴维孙戴维孙-革末在革末在1927年年进行了电子在晶体上的散射进行了电子在晶体上的散射实验，证实了德

7、布罗意的设实验，证实了德布罗意的设想。（想。（电子具有波动性电子具有波动性）（布拉格方程）（布拉格方程）ndsin2 电子如果确有波动性，那么电子束射在晶体上就象电子如果确有波动性，那么电子束射在晶体上就象光一样会有衍射发生。光一样会有衍射发生。 如果要求如图中所示如果要求如图中所示 的方向上的方向上有强的出射波束，由二邻近平面衍有强的出射波束，由二邻近平面衍射的波应该有相同的相位，这就是射的波应该有相同的相位，这就是说，图中的说，图中的1和和2两道路径的波程差两道路径的波程差应该等于波长的整数倍。应该等于波长的整数倍。强波束射出的条件是强波束射出的条件是2. 实验原理实验原理12设加速电压为

8、设加速电压为UeUm221)(225. 12/2VUnmemUhmeUmh当当 、 满足布拉格方程时，可测得电流的极大值。满足布拉格方程时，可测得电流的极大值。mhph适用条件：适用条件：(1)电子，电子，(2)非相对论非相对论(U不能太大不能太大)。当当U不变时，改变不变时，改变 ，可使某一，可使某一 满足上式，出现极大值；满足上式，出现极大值；当当 不变时，改变不变时，改变U，可使某一，可使某一U满足上式，出现极大值。满足上式，出现极大值。sin2)()(225. 1dVUnmn133. 实验结果实验结果(1)当当U不变时，不变时， 不同，则不同，则I不同；在有的不同；在有的 上出现极值上

9、出现极值 、探测到的反射束强度出现一个明显的极大。探测到的反射束强度出现一个明显的极大。 VV5450结果发现结果发现: 当当时，时，14(2)当当 不变时，不变时，U改变，改变，I亦变；并随亦变；并随U周期性的变化周期性的变化15下图是波长与X射线相同的电子衍射图与X光衍射图的比较 同年汤姆逊给出电子穿过多晶薄膜的衍射图（a）161961年约恩还给出了电子的单缝和多缝衍射图 实验证明了电子确实具有波动性，也证明了德布罗实验证明了电子确实具有波动性，也证明了德布罗意公式的正确性。进一步的实验可以证明：一切实物粒意公式的正确性。进一步的实验可以证明：一切实物粒子子( (电子、中子、质子等电子、中

10、子、质子等) )都具有波动性。德布罗意假设都具有波动性。德布罗意假设被大量事实证实，为此获被大量事实证实，为此获19291929年诺贝尔物理奖。年诺贝尔物理奖。17其他证明微观粒子波动性的实验：其他证明微观粒子波动性的实验： 1928年，菊池正士把电子射在云母薄片上，获得年，菊池正士把电子射在云母薄片上，获得了单晶透射衍射图样。了单晶透射衍射图样。 1928年，年，G.P.汤姆逊和汤姆逊和塔尔塔科夫斯基分别把电塔尔塔科夫斯基分别把电子射过金箔或其他的金属子射过金箔或其他的金属箔，获得了同心圆构成的箔，获得了同心圆构成的衍射图样衍射图样 美国物理学家戴维孙和英国物理学家汤姆逊美国物理学家戴维孙和

11、英国物理学家汤姆逊2人人因在实验上发现晶体对电子的衍射而共同获得因在实验上发现晶体对电子的衍射而共同获得1937年的诺贝尔物理学奖。年的诺贝尔物理学奖。183.2 不确定关系不确定关系一、不确定关系一、不确定关系1927年海森伯首先提出不确定关系：年海森伯首先提出不确定关系：2p q 意义：意义：如果微粒的位置有一个不确定范围如果微粒的位置有一个不确定范围q，则其，则其相应的动量必然有一个不确定的范围相应的动量必然有一个不确定的范围p，两者的乘，两者的乘积满足不确定关系式。积满足不确定关系式。二、不确定关系的简单推导二、不确定关系的简单推导电子的单缝衍射电子的单缝衍射1961年，约恩逊成功的做

12、出。年，约恩逊成功的做出。19第一级暗纹的位置：第一级暗纹的位置：设缝宽为设缝宽为q，在，在y方向上。方向上。粒子动量在粒子动量在y方向的不确定度为：方向的不确定度为：pqph 粒子的坐标在粒子的坐标在y方向的不确定度为方向的不确定度为q0sinq0sinpp 严格地推导结果：严格地推导结果：2pq 0sinhpppqq 20不确定关系是普遍原理：不确定关系是普遍原理： 2/xpx2/ypy2/zpz2/p2/tE三、能量和时间不确定关系的简单推导三、能量和时间不确定关系的简单推导2/1420222cmcpmcEpdpccmcpdE22/142022221Epdpc2dppE2/qptptE2

13、1例例1: 设电子与设电子与m=0.01kg的子弹均沿的子弹均沿x方向运动，速度均方向运动，速度均为为500m/s，精确度为，精确度为 0.01% ，求测定，求测定x 坐标所能达到的坐标所能达到的最大准确度。最大准确度。mx311006. 1mmx16. 1解解:xxmpx2/2/电子：电子：子弹：子弹：不确定关系只适用于微观粒子不确定关系只适用于微观粒子! 根据不确定关系：根据不确定关系：smsmx/105/105002422解解:例例2:设电子在设电子在x方向上运动，其速度为方向上运动，其速度为106m/s，分别求出，分别求出电子在原子中和阴极射线管中运动时速度的不确定度。电子在原子中和阴

14、极射线管中运动时速度的不确定度。 原子中原子中 mrx1010 xpx2/smxmx/108 . 52/5位置与速度不能同时确定。位置与速度不能同时确定。阴极射线管中阴极射线管中 mx410smx/58.0位置与速度可以同时确定。位置与速度可以同时确定。微观粒子在有些情况下主要表现其粒子性，此微观粒子在有些情况下主要表现其粒子性，此时不确定关系失去意义。时不确定关系失去意义。例题例题3：光谱线的自然宽度光谱线的自然宽度 原子所发射的光是由电子在两个能级之间跃迁产生的。如果两个能级有确定的值，那么由频率条件将得到有确定频率(或波长)的谱线。由于处在激发态能级上的电子寿命(t)有限，按照不确定关系

15、，这意味着能级存在着一定的能级宽度E，这导致辐射光谱不再是单一频率，而有一定频率宽度，称谱线自然宽度。如果激发态的寿命为t=10-8s 那么谱线的自然宽度为 总之应用不确定关系的例子不胜枚举，它是微观世界中的一条基本规律。9888197 10 ( V)3.3 10 (eV)222 103 10 ( )cemEttcm 不过能级的寿命常受外界条件影响。815/3.3 10 eV/4.14 10eV s8.0MHzE h 。24一、自由粒子的波函数一、自由粒子的波函数自由粒子自由粒子 3.3 波函数及其物理意义波函数及其物理意义 设一平面波沿速度设一平面波沿速度 的方向传播，该方向的单位矢的方向传

16、播，该方向的单位矢量为量为 ，即，即 ，t 时刻，波面上的振动：时刻，波面上的振动：nn单色单色平面波平面波0cos2 ( )r nt 量子力学的文献中一般表示成：量子力学的文献中一般表示成： ) (2cos0tnr25写成指数形式：写成指数形式：根据根据德布罗意关系：德布罗意关系：hE nhp2( )0r nite )(0prEtie自由粒子的波函数自由粒子的波函数经典力学经典力学 位置和速度位置和速度 量子力学量子力学 波函数波函数二、波函数的物理意义二、波函数的物理意义观点观点1：波是基本的，粒子是许多波组合起来的一个波是基本的，粒子是许多波组合起来的一个波包，波包的速度、大小就是粒子的

17、速度、大小。波包，波包的速度、大小就是粒子的速度、大小。困难：困难： 物质波包必然要扩散。物质波包必然要扩散。 衍射波将沿不同方向传播衍射波将沿不同方向传播 。 26观点观点2：粒子是基本的，波是大量粒子组成的。粒子是基本的，波是大量粒子组成的。矛盾：矛盾： 单个粒子也有波动性单个粒子也有波动性 。 微观粒子既不是经典粒子，也不是经典的波。微观粒子既不是经典粒子，也不是经典的波。 经典粒子：经典粒子：原子性（整体性）原子性（整体性） 轨道轨道 经典波：实在物理量的空间分布经典波：实在物理量的空间分布 干涉，衍射干涉，衍射 观点观点3：1926年，玻恩（年，玻恩（M.Born）的统计解释）的统计解释波的强度波的强度: : 2),(tzyx 表示表示t时刻、时刻、（x、y、z）处、单位体积内发现粒子的处、单位体积内发现粒子的几率，即发现粒子的几率密度。几率，即发现粒子的几率密度。272),(tzyx大，则电子出现几率大，大，则电子出现几率大， 因而电子出现的数目也多，此处为衍射极大值处；因而电子出现的数目也多，此处为衍射极大值处； 2),(tzyx小，则电子出现几率小，小，则电子出现几率小， 因而电子出现的数目也少，此处为衍射极小值处；因而电子出现的数目也少，此处为衍射极小值处； dVtzyxtzyxd