中考三角形四边形压轴题精选二及解析

1、温馨杂草屋2012年各地中考数学汇编三角形四边形精选(1120)【11. 2012成都】20 (本小题满分10分) 如图，abc和def是两个全等的等腰直角三角形，bac=edf=90°，def的顶点e与abc的斜边bc的中点重合将def绕点e旋转，旋转过程中，线段de与线段ab相交于点p，线段ef与射线ca相交于点q（1）如图，当点q在线段ac上，且ap=aq时，求证：bpecqe；（2）如图，当点q在线段ca的延长线上时，求证：bpeceq；并求当bp= ，cq=时，p、q两点间的距离 (用含的代数式表示)考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转

2、的性质。解答：（1）证明：abc是等腰直角三角形，b=c=45°，ab=ac，ap=aq，bp=cq，e是bc的中点，be=ce，在bpe和cqe中，bpecqe（sas）；（2）解：abc和def是两个全等的等腰直角三角形，b=c=def=45°，beq=eqc+c，即bep+def=eqc+c，bep+45°=eqc+45°，bep=eqc，bpeceq，bp=a，cq=a，be=ce，be=ce=a，bc=3a，ab=ac=bcsin45°=3a，aq=cqac=a，pa=abbp=2a，连接pq，在rtapq中，pq=a【12. 201

3、2成都】25如图，长方形纸片abcd中，ab=8cm，ad=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图： 第一步：如图，在线段ad上任意取一点e，沿eb，ec剪下一个三角形纸片ebc(余下部分不再使用)； 第二步：如图，沿三角形ebc的中位线gh将纸片剪成两部分，并在线段gh上任意取一点m，线段bc上任意取一点n，沿mn将梯形纸片gbch剪成两部分； 第三步：如图，将mn左侧纸片绕g点按顺时针方向旋转180°，使线段gb与ge重合，将mn右侧纸片绕h点按逆时针方向旋转180°，使线段hc与he重合，拼成一个与三角形纸片ebc面积相等的四边形纸片 (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)

4、则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为_cm，最大值为_cm考点：图形的剪拼；三角形中位线定理；矩形的性质；旋转的性质。解答：解：画出第三步剪拼之后的四边形m1n1n2m2的示意图，如答图1所示 图中，n1n2=en1+en2=nb+nc=bc，m1m2=m1g+gm+mh+m2h=2（gm+mh）=2gh=bc（三角形中位线定理），又m1m2n1n2，四边形m1n1n2m2是一个平行四边形，其周长为2n1n2+2m1n1=2bc+2mnbc=6为定值，四边形的周长取决于mn的大小如答图2所示，是剪拼之前的完整示意图过g、h点作bc边的平行线，分别交ab、cd于p点、q点，则四边形pbcq是一

5、个矩形，这个矩形是矩形abcd的一半m是线段pq上的任意一点，n是线段bc上的任意一点，根据垂线段最短，得到mn的最小值为pq与bc平行线之间的距离，即mn最小值为4；而mn的最大值等于矩形对角线的长度，即=四边形m1n1n2m2的周长=2bc+2mn=12+2mn，四边形m1n1n2m2周长的最小值为12+2×4=20，最大值为12+2×=12+故答案为：20，12+【13. 2012安徽】22. 如图1，在abc中，d、e、f分别为三边的中点，g点在边ab上，bdg与四边形acdg的周长相等，设bc=a、ac=b、ab=c.（1）求线段bg的长；（2）求证：dg平分ed

6、f;（3）连接cg，如图2，若bdg与dfg相似，求证：bgcg.22.解析：已知三角形三边中点连线，利用三角形中位线性质计算证明.（1）已知abc的边长，由三角形中位线性质知，根据bdg与四边形acdg周长相等，可得.（2）由（1）的结论，利用等腰三角形性质和平行线性质可证. （3）利用两个三角形相似，对应角相等，从而等角对等边，bd=dg=cd，即可证明.解（1）d、c、f分别是abc三边中点deab,dfac，又bdg与四边形acdg周长相等即bd+dg+bg=ac+cd+dg+agbg=ac+agbg=abagbg=（2）证明：bg=，fg=bgbf=fg=df,fdg=fgd又dea

7、bedg=fgdfdg=edgdg平分edf（3）在dfg中，fdg=fgd, dfg是等腰三角形,bdg与dfg相似,bdg是等腰三角形,b=bgd,bd=dg,则cd= bd=dg,b、cg、三点共圆,bgc=90°,bgcg点评：这是一道几何综合题，在计算证明时，根据题中已知条件，结合图形性质来完成.后面的问题可以结合前面问题来做.【14. 2012乐山】25如图1，abc是等腰直角三角形，四边形adef是正方形，d、f分别在ab、ac边上，此时bd=cf，bdcf成立（1）当正方形adef绕点a逆时针旋转（0°90°）时，如图2，bd=cf成立吗？若成立，

8、请证明；若不成立，请说明理由（2）当正方形adef绕点a逆时针旋转45°时，如图3，延长bd交cf于点g求证：bdcf；当ab=4，ad=时，求线段bg的长考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质；旋转的性质。专题：几何综合题。分析：（1）abc是等腰直角三角形，四边形adef是正方形，易证得badcaf，根据全等三角形的对应边相等，即可证得bd=cf；（2）由badcaf，可得abm=gcm，又由对顶角相等，易证得bmacmg，根据相似三角形的对应角相等，可得bgc=bac=90°，即可证得bdcf；首先过点f作fnac

9、于点n，利用勾股定理即可求得ae，bc的长，继而求得an，cn的长，又由等角的三角函数值相等，可求得am=ab=，然后利用bmacmg，求得cg的长，再由勾股定理即可求得线段bg的长解答：解（1）bd=cf成立理由：abc是等腰直角三角形，四边形adef是正方形，ab=ac，ad=af，bac=daf=90°，bad=bacdac，caf=dafdac，bad=caf，在bad和caf中，badcaf（sas）bd=cf（3分）（2）证明：设bg交ac于点mbadcaf（已证），abm=gcmbma=cmg，bmacmgbgc=bac=90°bdcf（6分）过点f作fnac

10、于点n在正方形adef中，ad=de=，ae=2，an=fn=ae=1在等腰直角abc 中，ab=4，cn=acan=3，bc=4在rtfcn中，tanfcn=在rtabm中，tanabm=tanfcn=am=ab=cm=acam=4=，bm=（9分）bmacmg，cg=（11分）在rtbgc中，bg=（12分）点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法【15. 2012衢州】23课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸请思考解决下列问题：（1）

11、将一张标准纸abcd（abbc）对开，如图1所示，所得的矩形纸片abef是标准纸请给予证明（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片abcd（abbc）进行如下操作：第一步：沿过a点的直线折叠，使b点落在ad边上点f处，折痕为ae（如图2甲）；第二步：沿过d点的直线折叠，使c点落在ad边上点n处，折痕为dg（如图2乙），此时e点恰好落在ae边上的点m处；第三步：沿直线dm折叠（如图2丙），此时点g恰好与n点重合请你探究：矩形纸片abcd是否是一张标准纸？请说明理由（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸现有一张标准纸abcd，ab=1，bc=，问第5次

12、对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；矩形的性质；图形的剪拼。专题：几何综合题。分析：（1）根据=2=，得出矩形纸片abef也是标准纸；（2）利用已知得出adg是等腰直角三角形，得出=，即可得出答案；（3）分别求出每一次对折后的周长，进而得出变化规律求出即可解答：解：（1）是标准纸，理由如下：矩形abcd是标准纸，=，由对开的含义知：af=bc，=2=，矩形纸片abef也是标准纸（2）是标准纸，理由如下：设ab=cd=a，由图形折叠可知：dn=cd=dg=a，dgem，由图形折叠

13、可知：abeafe，dae=bad=45°，adg是等腰直角三角形，在rtadg中，ad=a，=，矩形纸片abcd是一张标准纸；（3）对开次数：第一次，周长为：2（1+）=2+，第二次，周长为：2（+）=1+，第三次，周长为：2（+）=1+，第四次，周长为：2（+）=，第五次，周长为：2（+）=，第六次，周长为：2（+）=，第5次对开后所得标准纸的周长是：，第2012次对开后所得标准纸的周长为：点评：此题主要考查了翻折变换性质以及规律性问题应用，根据已知得出对开后所得标准纸的周长变化规律是解题关键【16. 2012绍兴】22联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念。定义：到三角形的两

14、个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心。举例：如图1，若pa=pb，则点p为abc的准外心。应用：如图2，cd为等边三角形abc的高，准外心p在高cd上，且pd=ab，求apb的度数。探究：已知abc为直角三角形，斜边bc=5，ab=3，准外心p在ac边上，试探究pa的长。考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理。解答：应用：解：若pb=pc，连接pb，则pcb=pbc，cd为等边三角形的高，ad=bd，pcb=30°，pbd=pbc=30°，pd=db=ab，与已知pd=ab矛盾，pbpc，若pa=pc，连接pa，同理可得papc，若pa

15、=pb，由pd=ab，得pd=bd，apd=45°，故apb=90°；探究：解：bc=5，ab=3，ac=，若pb=pc，设pa=x，则，即pa=，若pa=pc，则pa=2，若pa=pb，由图知，在rtpab中，不可能。故pa=2或。 【17. 2012南充】21.在rtpoq中，op=oq=4,m是pq中点，把一三角尺的直角顶点放在点m处，以m为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与poq的两直角边分别交于点a、b，(1)求证：ma=mb(2)连接ab，探究：在旋转三角尺的过程中，aob的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。请说明理由。考点：直角三角形斜边

16、上的中线等于斜边的一半的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理与二次函数最值的应用。专题：证明题；几何综合题。分析：（1）连接om，证pma和omb全等即可。(2) 先计算出op=oa+ob=oa+pa= 4再令oa=x ab=y则在rtaob中，利用勾股定理得：y2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+8求出解答：（1）证明：连接om rtpoq中，op=oq =4,m是pq的中点om=pm=pq=2pom=bom=p=450 pma+amo=omb+amopma=omb pmaomb ma=mb(2)解：aob的周长存在最小值理由是: pmaomb pa=ob oa+o

17、b=oa+pa=op=4令oa=x ab=y则y2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+88当x=2时y2有最小值=8从而 y2故aob的周长存在最小值，其最小值是4+2点评：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理与二次函数最值的应用，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键【18. 2012梅州】21如图，已知abc，按如下步骤作图：分别以a、c为圆心，以大于ac的长为半径在ac两边作弧，交于两点m、n；连接mn，分别交ab、ac于点d、o；过c作ceab交mn于点e，连接ae、cd（1）求证：四边形adce是菱形；（2）当acb=90

18、°，bc=6，adc的周长为18时，求四边形adce的面积考点：作图复杂作图；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定；相似三角形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：（1）利用直线de是线段ac的垂直平分线，得出acde，即aod=coe=90°，进而得出aodcoe，即可得出四边形adce是菱形；（2）利用当acb=90°时，odbc，即有adoabc，即可得出ac和de的长即可得出四边形adce的面积解答：（1）证明：由题意可知：直线de是线段ac的垂直平分线，acde，即aod=coe=90°；且ad=cd、ao=co，

19、又ceab，1=2，aodcoe，od=oe，四边形adce是菱形；（2）解：当acb=90°时，odbc，即有adoabc，又bc=6，od=3，又adc的周长为18，ad+ao=9， 即ad=9ao，od=3，可得ao=4，de=6，ac=8，s=acde=×8×6=24点评：此题主要考查了菱形的判定以及对角线垂直的四边形面积求法，根据已知得出adoabc进而求出ao的长是解题关键【19. 2012扬州】23如图，在四边形abcd中，abbc，abccda90°，bead，垂足为e求证：bede考点：全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质。专题：证

20、明题。分析：作cfbe，垂足为f，得出矩形cfed，求出cbfa，根据aas证baecbf，推出becf即可解答：证明：作cfbe，垂足为f，bead，aeb90°，feddcfe90°，cbeabe90°，baeabe90°，baecbf，四边形efcd为矩形，decf，在bae和cbf中，有cbebae，bfcbea90°，abbc，baecbf，becfde，即bede点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的判定和性质的应用，关键是求出baecbf，主要考查学生运用性质进行推理的能力【20. 2012连云港】27已知梯形abcd，a

21、dbc，abbc，ad1，ab2，bc3，问题1：如图1，p为ab边上的一点，以pd，pc为边作平行四边形pcqd，请问对角线pq，dc的长能否相等，为什么？问题2：如图2，若p为ab边上一点，以pd，pc为边作平行四边形pcqd，请问对角线pq的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由问题3：若p为ab边上任意一点，延长pd到e，使depd，再以pe，pc为边作平行四边形pcqe，请探究对角线pq的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由问题4：如图3，若p为dc边上任意一点，延长pa到e，使aenpa(n为常数)，以pe、pb为边作平行四边

22、形pbqe，请探究对角线pq的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由考点：相似三角形的判定与性质；根的判别式；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质。专题：代数几何综合题。分析：问题1：四边形pcqd是平行四边形，若对角线pq、dc相等，则四边形pcqd是矩形，然后利用矩形的性质，设pbx，可得方程x232(2x)218，由判别式0，可知此方程无实数根，即对角线pq，dc的长不可能相等；问题2：在平行四边形pcqd中，设对角线pq与dc相交于点g，可得g是dc的中点，过点q作qhbc，交bc的延长线于h，易证得rtadprthcq，即可求得bh4，则可得当pqab时，pq的长最小，即为4；问题3：设pq与dc相交于点g，pecq，pdde，可得，易证得rtadprthcq，继而求得bh的长，即可求得答案；问题4：作qhpe，交cb的延长线于h，过点c作ckcd，交qh的延长线于k，易证得与adpbhq，又由dcb45°，可得ckh是等腰直角三角形，继而可求得ck的值，即可求得答案解答：解：问题1：四边形pcqd是平行四边形，若对角线pq、dc相等，则四边形pcqd是矩形，dpc90°，ad1，ab2