函数值域的求法大全

1、精品word函数值域的求法大全题型一求函数值：特殊是分段函数求值例1f(x)(xR，且x1)，g(x)x22(xR).(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求fg(3)的值.解(1)f(x)，f(2).又g(x)x22，g(2)2226.(2)g(3)32211，fg(3)f(11).反思与感悟求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于fg(x)型的求值，按“由内到外的挨次进行，要留意fg(x)与gf(x)的区分.跟踪训练4函数f(x).(1)求f(2)；(2)求ff(1).解(1)f(x)，f(2).(2) f(1)，ff(1)f().5.函数f(x)

2、x2x1.(1)求f(2)，f()；(2)假设f(x)5，求x的值.解(1)f(2)22215，f()1.(2)f(x)x2x15，x2x60，x2，或x3.(3)4.函数f(x)对任意自然数x满足f(x1)f(x)1，f(0)1，那么f(5)_.答案6解析f(1)f(0)1112，f(2)f(1)13，f(3)f(2)14，f(4)f(3)15，f(5)f(4)16.二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。 常用的求值域的方法： 1直接法 2图象法数形结合 3函数单调性法 4配方法 5换元法 包括三角换元6反函数法逆求法 7分别常数法 8判别式法 9复合函数法 10不等式法 11平方法等等

3、这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 求值域问题利用常见函数的值域来求直接法一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为x|x0，值域为y|y0；二次函数的定义域为R，当a>0时，值域为；当a<0时，值域为.例1 求以下函数的值域 y=3x+2(-1x1) 记住图像 解：-1x1，-33x3，-13x+25，即-1y5，值域是-1，5略 当x>0，=，当x<0时，=值域是2，+).此法也称为配方法函数的图像为：二次函数在区间上的值域(最值)：例2 求以下函数的最大值、最小值与值域：； ； ； 解：，顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. 抛

4、物线的开口向上，函数的定义域R，x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是y|y-3 .顶点横坐标23,4，当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； 在3,4上，=-2，=1；值域为-2，1.顶点横坐标2 0,1，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,在0,1上，=-2，=1；值域为-2，1.顶点横坐标2 0,5，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,在0,1上，=-3，=6；值域为-3，6.注：对于二次函数,假设定义域为R时， 当a>0时，那么当时，其最小值； 当a<0时，那么当时，其最大值;假设定义域为x a,b,那么应首先判定其顶点横坐标x0

5、是否属于区间a,b. 假设a,b,那么是函数的最小值a>0时或最大值a<0时， 再比较的大小打算函数的最大小值. 假设a,b,那么a,b是在的单调区间内，只需比较的大小即可打算函数的最大小值.注：假设给定区间不是闭区间，那么可能得不到最大小值；当顶点横坐标是字母时，那么应依据其对应区间特殊是区间两端点的位置关系进行争辩.练习：1、求函数y=3+的值域 解：由算术平方根的性质，知0，故3+3。函数的值域为. 2、求函数 的值域 解： 对称轴 1 单调性法例3 求函数y=4x(x1/3)的值域。设f(x)=4x,g(x)= ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+

6、g(x)=4x-在定义域为x1/3上也为增函数，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为y|y4/3。小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y=3+的值域。(答案：y|y3)2 换元法例4 求函数 的值域 解：设，那么 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法表达换元、化归的思想方法。它的应用格外广泛。练习：求函数y=的值域。答案：y|y3/4 求的值域；例5 三角换元法求函数的值域解：

7、 设 小结：1假设题目中含有，那么可设 2假设题目中含有那么可设，其中3假设题目中含有，那么可设，其中4假设题目中含有，那么可设，其中 5假设题目中含有，那么可设其中3 平方法例5 选求函数 的值域解：函数定义域为： 4 分别常数法 例6 求函数 的值域由 ，可得值域小结：分式函数，假设在其自然定义域代数式自身对变量的要求内，值域为；假设是条件定义域对自变量有附加条件，接受局部分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。练习求函数 的值域 求函数 的值域 求函数 y=的值域；y(-1，1) 例7 求 的值域解法一：图象法可化为 如图， 观看得值域解法二：不等式法 同样可得值域练习：的值域 例8

8、求函数 的值域解：换元法设 ，那么 原函数可化为 例9求函数 的值域 解：换元法令，那么 由指数函数的单调性知，原函数的值域为 例10 求函数 的值域解：图象法如图，值域为 换元法设 ，那么 例13 函数 的值域解法一：逆求法 2解法二：换元法设 ，那么 解法三：判别式法原函数可化为 1） 时 不成立2） 时，综合1、2值域解法四：三角换元法设，那么 原函数的值域为例14 求函数的值域5解法一：判别式法化为1时，不成立2时，得综合1、2值域解法二：复合函数法令，那么 所以，值域例15 函数的值域解法一：判别式法原式可化为 解法二：不等式法1当时，2） 时，综合12知，原函数值域为例16 (选)

9、 求函数的值域解法一：判别式法原式可化为 解法二：不等式法原函数可化为 当且仅当时取等号，故值域为例17 选 求函数的值域解：换元法令 ，那么原函数可化为。小结：分式函数 ，假设在其自然定义域内可接受判别式法求值域；假设是条件定义域，用判别式法求出的值域要留意取舍，或者可以化为选的形式，接受局部分式法，进而用根本不等式法求出函数的最大最小值；假设不满足用根本不等式的条件，转化为利用函数的单调性去解。利用判别式求值域时应留意的问题用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多同学对用判别式求值域把握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是同学对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不

10、能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。一、判别式法求值域的理论依据例1、 求函数的值域象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。解：由得：y-1x2+(1-y)x+y=0 上式中明显y1,故式是关于x的一元二次方程用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应留意以下几个问题：一、要留意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验例：求函数的值域。错解：原式变形为 ，解得。故所求函数的值域是错因：把代入方程明显无解，因此不在函数的值域内。事实上，时，方程的二次项系数为0，明显不

11、能用“来判定其根的存在状况。正解：原式变形为 1当时，方程无解；2当时，解得。综合1、2知此函数的值域为二、留意函数式变形中自变量的取值范围的变化例2：求函数的值域。错解：将函数式化为1当时，代入上式得，故属于值域；2当时， ，综合1、2可得函数的值域为。错因：解中函数式化为方程时产生了增根与虽不在定义域内，但是方程的根，因此最终应当去掉与时方程中相应的值。所以正确答案为，且。三、留意变形后函数值域的变化例3：求函数的值域。错解：由得 ，两边平方得 整理得，由，解得。故函数得值域为。错因：从式变形为式是不行逆的，扩大了的取值范围。由函数得定义域为易知，因此函数得最小值不行能为。时，故函数的值域

12、应为。四、留意变量代换中新、旧变量取值范围的全都性例4：求函数的值域。错解：令，那么，由及得值域为。错因：解法中无视了新变元满足条件。设，。故函数得值域为。综上所述，在用判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易消灭不行逆得步骤，从而转变了函数得定义域或值域。因此，用判别式求函数值域时，变形过程必需等价，必需考虑原函数得定义域，判别式存在的前提，并留意检验区间端点是否符合要求。 练习：1 、；解：x0，y11.另外，此题利用根本不等式解更简捷：(或利用对勾函数图像法)2 、0<y5.3 、求函数的值域； 解：令0,那么,原式可化为,u0，y，函数的值域是-，.解：令 t=4x-0 得 0x

13、4 在此区间内 (4x-)=4 ，(4x-) =0函数的值域是 y| 0y24、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象以下图，由图象可知，函数的值域是y|y3.解法2：函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，易见y的最小值是3，函数的值域是3，+. 如图 5、求函数的值域解：设 那么 t0 x=1-代入得 t0 y46、选求函数的值域方法一：去分母得 (y-1)+(y+5)x-6y-6=0 当 y¹1时 xÎR =(y+5)+4(y-1)×6(y+1)0由此得 (5y+1)0检验

14、 有一个根时需验证时 代入求根2 Ï 定义域 x| x¹2且 x¹3 再检验 y=1 代入求得 x=2 y¹1综上所述，函数的值域为 y| y¹1且 y¹方法二：把函数化为函数 (x¹2) 由此可得 y¹1， x=2时即 函数的值域为 y| y¹1且 y¹函数值域求法十一种 1. 直接观看法对于一些比较简洁的函数，其值域可通过观看得到。 例1. 求函数的值域。解：明显函数的值域是： 例2. 求函数的值域。解：故函数的值域是： 2. 配方法配方法是求二次函数值域最根本的方法之一。 例3. 求函数的

15、值域。解：将函数配方得：由二次函数的性质可知：当x=1时，当时，故函数的值域是：4，8 3. 判别式法 例4. 求函数的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程1当时，解得：2当y=1时，而故函数的值域为 例5. 求函数的值域。解：两边平方整理得：1解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程1有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以实行如下方法进一步确定原函数的值域。代入方程1解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来推断函数的值域时，假设原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的

16、定义域，将扩大的局部剔除。 4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数值域。解：由原函数式可得：那么其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为： 5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例7. 求函数的值域。解：由原函数式可得：解得：故所求函数的值域为 例8. 求函数的值域。解：由原函数式可得：，可化为：即即解得：故函数的值域为 6. 函数单调性法 例9. 求函数的值域。解：令那么在2，10上都是增函数所以在2，10上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为： 例1

17、0. 求函数的值域。解：原函数可化为：令，明显在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值明显，故原函数的值域为 7. 换元法通过简洁的换元把一个函数变为简洁函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例11. 求函数的值域。解：令，那么又，由二次函数的性质可知当时，当时，故函数的值域为 例12. 求函数的值域。解：因即故可令故所求函数的值域为 例13. 求函数的值域。解：原函数可变形为：可令，那么有当时，当时，而此时有意义。故所求函数的值域为 例14. 求函数，的值域

18、。解：令，那么由且可得：当时，当时，故所求函数的值域为。 例15. 求函数的值域。解：由，可得故可令当时，当时，故所求函数的值域为： 8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目假设运用数形结合法，往往会更加简洁，一目了然，赏心悦目。 例16. 求函数的值域。解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点Px到定点A2，间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为： 例17. 求函数的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，故所求函数的值域为 例18. 求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A3，2到点Px，0的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：1当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，那么构成，依据三角形两边之差小于第三边，有即：2当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值