函数与极限函数PPT课件

1、绪论绪论 高等数学发展简史 微积分的基本思想和方法 学习方法第1页/共80页初等数学时期初等数学时期（公元前3世纪17世纪）初等数学的主要研究对象：1.匀速的运动（速度不变）；2.匀加速运动（速度均匀变化）；3.直边图形（不弯曲）；4. 圆弧形图形（均匀弯曲）；5. 有限次四则运算。第2页/共80页x yOy=x21xi微积分的基本思想和方法tsv 速度问题 面积问题l瞬时速度l曲边图形的面积第3页/共80页一一、高等数学与初等数学的 初等数学研究的常量与固定图形，即常量数学区别 思维.它的方法是孤立 的静止的，属形式逻辑。第4页/共80页 高等数学 研究变量和变化的图形，即变量数学。它的方法

2、是运动运动 的联系联系的，辩证辩证的，属辩证逻辑。 第5页/共80页二、微积分历史简介简介： 我们即将学习的高等数学高等数学，它的主要内容是微积分微积分。研究函数的一门学科，它产生于十六.七世纪，主要是为解决当时 而创立的。个问题个问题第6页/共80页 求物体在任意时刻的瞬时速度、加速度。 求曲线在一点的切线（光线穿过凸透镜 的一系列问题） 求最大值、最小值（炮弹的最大射程、行星 离开太阳的最远、最近距离等） 求面积、体积、物体的重心等第7页/共80页 这四个问题引起了当时大多数科学家的注意，他们在研究这些问题的过程中所产生的数学思想、方法就是微积分的萌芽。微积分问题至少被十七世纪十几个大数学

3、家和几十个小的数学家探索过，位于他们全部贡献的顶峰是牛顿、莱布尼兹。第8页/共80页牛顿牛顿 牛顿对微积分的研究偏重物理方向。 伟大英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。 第9页/共80页 莱布尼兹是哲学博士、 外交官、法学家、历史学 家 、语言学家、地质学家 、逻辑学家。并在力学、光学、流体力学、气体力学、航海学、计算机方面也做了重要工作。莱布尼兹对微积分的研究偏重于哲学方向。莱布尼兹第10页/共80页有人说: 牛顿牛顿和莱布尼兹是微积分的创始人，实际上这样说是不准确的。因为在数学和科学的巨大进展中，几乎总是建立在几百年中作出过一点一滴贡献的许多人的工作之上，需要有一个人走那最高和最后

4、的一步。这个人要能够敏锐地从这些纷乱的猜测和说明中清理出前人有价值的想法，有足够的想象力把这些碎片重新组织起来，这个人就是牛顿。第11页/共80页 历史上曾有过牛顿莱布尼茨学派之争达一百年之久，互相指责剽窃了对方，后经调查证实：他们两人对微积分的研究都是独立的。牛顿早一些，但他并没有把研究成果即时公布于世，以致误会。牛顿创立了许多方法，是经验的、具体的、谨慎的； 第12页/共80页而莱布尼兹富于想象，是大胆的，喜欢推广，关心符号、法则、公式广泛意义下的微积分。侧重点不同，但可以互补。 十七世纪的微积分是不严密的。他们都满足于计算，只要结果有用就行，包括都没有把微积分的基本概念弄清楚，更不用说精

5、确了。他们不能正确解释这些概念，而是依靠成果的彼此一致和方法的多产，没有严密地向前推进。十八世纪也是糊里糊涂十八世纪也是糊里糊涂。第13页/共80页 十九世纪以后，由于数学自身的发展，才有一些数学家作了这方面的工作，以至成了现在的有严谨理论体系的微积分。教学内容决定教学方法，因此我们有意识地在教材的处理上做一些尝试，准备多种教法并用。第14页/共80页 名称：高等数学 总课时：4课时（6）/周； 内容：一元、多元函数微分学、积分学；矢量代数、空间解析几何；无穷级数；微分方程第15页/共80页高等数学高等数学（上册）（上册）各章的知识结构和联系各章的知识结构和联系极限与连续函数导数与微分导数的应

6、用不定积分定积分及 其应用常微方程第16页/共80页目的 掌握高等数学的基本知识，基本理论，基本计算方法，提高数学素养。 培养抽象思维和逻辑推理的能力、辩证的思想方法。 培养空间想象能力。 培养分析问题和解决问题的能力。 为学生进一步学习数学打下一定的基础，为学习专业的后继课程准备必要的数学基础。第17页/共80页 学习方法学习方法 课前课堂课后华罗庚讲：学习数学，若不做习题，如入宝山而空返。第18页/共80页第一章第一章 函数函数与极限与极限第19页/共80页第一节 函 数第20页/共80页 常量与变量用什么符号不是绝对的，但应尊重数常量与变量用什么符号不是绝对的，但应尊重数 学的习惯。学的

7、习惯。 还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取 不同的数值，这种量叫做变量。常用字母为x，y，z， u，v，w，s，t 等。 在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同一数值，这种量叫做常量。常用字母为 a，b，c，d，e，h，i，k，l，m，n等。常量与变量第21页/共80页区间和邻域 几个数集: N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N0, 1, 2, , n, . N1, 2, , n, . R表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z , n, , 2, 1, 0, 1, 2, , n,

8、. Q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. 第22页/共80页有限区间: 设ab, 称数集x|axb为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b)x|axb. 类似地有 a, b x | a xb 称为闭区间, a, b) x | axb 、(a, b x | axb 称为半开区间. 其中a和b称为区间(a, b)、a, b、a, b)、(a, b的端点, ba称为区间的长度. 无限区间: a, ) x | ax , (, b x | x b , (, )x | | x | 0，则称区间(a , a )为点a 的 邻域，记作U(a, )，即 U(a, ) x|a xa x| |x a|

9、 。其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径。xOaa+去心邻域: (a,) x |0| xa |。UxOaa+a),(aN),(aU第24页/共80页：All，任意一个，或任意，所有；：Exist，存在，能找到。第25页/共80页函数举例例1. 圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取(0, +)内的任意值,就可确定A的对应确定的数值。例2. 圆内接正n边形的周长的计算公式为 Sn2nr sin ， n可取3，4，5， 。pn第26页/共80页 设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数集。如果对于每个数xD，变量 y 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，

10、记作yf(x)。 定义中，数集D叫做这个函数的定义域， x叫做自变量，y叫做因变量。 函数符号: 函数yf(x)中表示对应关系的记号f 也可改用其它字母，例如j 、F 等。此时函数就记作yj(x)，y=F(x)。1.1.1. 函数的定义第27页/共80页 值域：Vf=f(X)=y | y=f(x)，xD。定义域： 在数学中，有时不考虑函数的实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。函数值： 当 x取数值 x0D时，与 x0对应的 y的数值称为函数 yf(x)在点 x0处的函数值，记为 f(x0)。第28页/共80页函数概念 应注意的

11、问题: 记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便, 习惯上常用记号“f(x), xD”或“y=f(x), xD”来表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f . 函数符号: 函数yf(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“F”, “j”等. 此时函数就记作 yj (x), yF(x). 第29页/共80页函数的两要素 函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在R内, 因此构成函数的要素是定义域D及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同

12、的, 否则就是不同的. 第30页/共80页注意 确定值域：根据定义域和对应法则 确定定义域： 1. 有实际意义的：根据实际问题有意义来确定 2. 无实际意义的：自变量所能取得的使y=f(x)成立的一切数值第31页/共80页例如: y=arcsin(X2+2)第32页/共80页例：下列各函数对中，（）中的两个函数相等2)()(xxfxxg)(11)(2xxxf1)( xxg2ln xy ，xxgln2)(xxxf22cossin)(，1)(xg(A)(B)(C)(D)题型一：判断函数的等价性题型一：判断函数的等价性解题方法：利用两个函数当且仅当它们的定义域和对解题方法：利用两个函数当且仅当它们的

13、定义域和对应法则完全一致时，才表示同一函数，否则它们就是应法则完全一致时，才表示同一函数，否则它们就是两个函数。两个函数。第33页/共80页例：若函数的定义域是0，1，则函数 的定义域是() )2(xf题型二：求函数的定义域题型二：求函数的定义域解题方法解题方法：（1）对于一般函数）对于一般函数.，（2）对于复杂函数）对于复杂函数.，（3）直接代入）直接代入， （4）对于复合函数）对于复合函数f(x)，可用已知的，可用已知的y=f(x)的定义的定义域，令域，令t= (x)，解出，解出x的变化范围即可。的变化范围即可。第34页/共80页例题：设 ， ，且 求 定义域。2)(xexfxxf1)(j

14、0)(xj)(xj第35页/共80页题型三：求函数题型三：求函数f(x)的表达式的表达式解题方法：利用变量代换法和变量无关性。解题方法：利用变量代换法和变量无关性。例题：设f（x）满足方程 其中a、b、c为常数，且求f（x）。 xcxbfxaf)1()(ba 第36页/共80页 函数的定义域为D(, +)。 函数的值域为W0, + )。yxOy|x| x, x 0 x, x0 0, 当x01, 当x1 时，y1+x。 2212)21(f；2212)21(f；2 1 2) 1 (f； ；当 x1 时，y1+x。 在自变量的不同变化范围，对应法则用不同的式子来表示的函数，成为分段函数。第40页/共

15、80页1.1.2. 函数的几种特性图形特点： yf(x)的图形在直线yK1的下方。y=K1y=f(x)Oxy1. 函数的有界性 设函数f(x)在数集X上有定义。如果存在数K1，使对任一xX，有f(x)K1，则称函数f(x)在X上有上界，而称K1为函数 f(x)在X上的一个上界。第41页/共80页 如果存在数K2，使对任一xX，有f(x)K2，则称函数f(x)在X上有下界，而称K2为函数f(x)在X上的一个下界。 图形特点：函数 yf(x) 的图形在直线 yK2 的上方y=K2y=f(x)Oxy第42页/共80页有界函数的图形特点： 函数y f(x)的图形在直线y M和y M的之间。 如果存在数

16、 M0，使对任一 xX，有 | f(x) | M，则称函数函数f(x)在在X上有界上有界； 如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上是无界函上是无界函数数，就是说对任何M（无论M多么大），总存在 x1X，使|f(x)|M。Oxyy=f(x)y= My= M第43页/共80页函数的有界性举例：例1. f(x) sin x在(, +)上是有界的： 即| sin x | 1。-11yxO-2p pp 2py=sin x112xy例2. 第44页/共80页Oxy1 2y=1/x 函数f(x)1/x在开区间(0,1)内是无界的。无界函数举例： 函数f(x) 1/x在(0, 1)内有下界，无上界。 这是

17、因为，任取M1，总有0 x1=(2M) 1M，所以函数无上界。 但此函数在(1, 2)内是有 界的。第45页/共80页注意：若函数f(x)在区间I上有界函数f(x)在区间I上既有上界，又有下界第46页/共80页题型：函数的有界性解题思路 定义法：利用定义，对函数取绝对值，再对不等式进行缩放。 利用极限（后面章节讲） 利用闭区间上连续函数的有界性（后面章节讲） 利用导数（后面章节讲） 例如：判断 在定义域(-,+)内的有界性11)(42xxxf第47页/共80页2. 函数的单调性x1x2f(x2)f(x1)OxyI y=f(x) 设函数y f(x)在区间I上有定义。如果对于区间 I 上任意两点x

18、1及x2，当x1 x2时，恒有f(x1) f(x2)，(?)则称函数f(x)在区间I上是单调增加(?)的。第48页/共80页 如果对于区间I上任意两点x1及x2，当 x1 f(x2)， 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。第49页/共80页函数单调性举例 函数y=x2.第50页/共80页题型：判别函数的单调性 利用定义 利用导数法（后面章节讲述）第51页/共80页 设函数f(x)的定义域D关于原点对称(或称函数在关于原点对称的区间上)。如果对于任意的xD，有f(x) f(x)，则称f(x)为偶函数。3. 函数的奇偶性Oxy-xxf(-x)f(x)yf(x)偶函数举例： yx2， ycos

19、x都是偶函数 偶函数的图形关于y轴对称。第52页/共80页奇偶函数举例： yx3， ysin x都是奇函数。101x -22y3xy 如果对于任意的xD，有 f(x)f(x)，则称f(x)为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。第53页/共80页函数奇偶性的判别利用定义利用奇偶函数的运算性质：1.奇函数的代数和，2.偶函数的代数和.；3.偶函数之积.；4.奇函数和偶函数之积；5.f(x)+f(-x); f(x)-f(-x); f(x)+f(-x)=0时，f(x)是函数。函数的奇偶性是相对于对称区间而言，否则例如)1lg()(2xxxf第54页/共80页 设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个不为

20、零的数 l ，使得对于任一x D有(x l) D，且 f(x+l) f(x)，则称f(x)为周期函数，l 称为f(x)的周期。 周期函数的图形特点： yxOl2l-2l-ly=f(x)4. 函数的周期性第55页/共80页1.1.3. 反函数与复合函数 对于任一数值 yV，D上至少可以确定一个数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)y。 如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数yf(x)的反函数，记作 x f -1(y)= j(y)。1. 反函数 设函数yf(x)的定义域为D，值域为V。y=y0Oxyx1x2y0Dy=f(x)(x

21、1, y0)(x2, y0)W第56页/共80页Oxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y 单调函数的反函数是单值函数 什么样的函数存在单值的反函数？第57页/共80页Oxy-xxy=x2y yx2 的反函数是多值函数：x 。y 把 x限制在区间 0,)，则yx2 的反函数是单值的，即x 。它称为函数y=x2 的反函数的一个单值分支。y反函数的单值分支：y 另一个单值分支为x 。 第58页/共80页 在数学中，习惯上自变量用x表示，因变量用y 表示。按此习惯，我们把函数 y f(x)的反函数x j j(y)改写成y j j(x)。例如y x2的反函数写为y 。x反函数的图形：反函数的图形

22、： 反函数的图形与直接函数的图形关于直线y = x对称。Oxyy=xy=f(x)y=j(x)P(a,b)Q(b,a)关于反函数的变量符号：第59页/共80页)(xfy,2x121 y=( )x1ay=axxyO常用的指数函数为 y=ex.2指数函数 函数 y=ax (a是常数，且a0，a 1)叫做指数函数指数函数的定义域：D=（ ，+ ） 单调性： 若a1，则指数函数单调增加； 若0a1y=axxyOy=logax3对数函数 指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为y=logax(a0，a 1) 对数函数的定义域是区间(0，+ ) 自然对数函数：y=ln x=loge x.第67页/共80页

23、常用的三角函数有：正弦函数： y=sin x1-1y=cos x余弦函数： y=cos x1-1y=sin xyxOxyO4三角函数第68页/共80页正切函数： y=tan x 余切函数： y=cot xxyOpp p 2 p 2xyOpp p 2 p 2y=tan xy=cot x第69页/共80页正割、余割函数的性质：是以2p为周期的函数，在区间(0, )正割函数：p2余割函数：内是无界函数 y sec x 。1cos x1sin x y csc x 。第70页/共80页 反正弦函数的主值： y=arcsin x，x ， .反三角函数是三角函数的反函数，它们都是多值函数. p 2p2反正弦

24、函数： y=Arcsin x， 定义域为-1，1.反余弦函数： y=Arccos x 定义域为-1，1 反余弦函数的主值： y=arccos x，x(0，p-11yxO p 2p2y=Arcsin xy=arcsin xyxOp-11y=Arccos xy=arccos x5反三角函数第71页/共80页反正切函数的主值： y=arctan x，反正切函数： y=Arctan x,定义域为(- ， ).Oxy p 2p2y=arctan x p 2p2 其值域规定为( ， )第72页/共80页反余切函数的主值： y=arccot x，其值域规定为(0，p反余切函数： y=Arccot x，定义域为(- ， +).y=arccot xOxyp第73页/共80页6基本初等函数与初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三函数和反三角函数统称为基本初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数