AMATLAB微积分及泰勒级数计算ppt课件

1、12.1 2.1 符号计算基础符号计算基础2.2 2.2 2.3 2.3 积分运算积分运算2.4 2.4 泰勒级数泰勒级数2.5 2.5 求解方程求解方程2.6 2.6 积分变换积分变换 第第2 2章章 MATLABMATLAB22.1 2.1 符号计算基础符号计算基础2.1.1 2.1.1 符号对象符号对象1. 1. 建立符号变量和符号常数建立符号变量和符号常数(1)sym(1)sym函数函数 S=sym(A)S=sym(A)nsymsym函数用来建立单个符号变量，例如，函数用来建立单个符号变量，例如，a=sym(a=sym(a a) )建立符号变量建立符号变量a a，此后，此后，用户可以在

2、表达式中使用变量用户可以在表达式中使用变量a a进行各种运算。进行各种运算。n定义符号常量定义符号常量n 如如pi=sym(pi)pi=sym(pi)n a=sym(3/4) a=sym(3/4)3例例2.12.1考察符号变量和数值变量的差别。考察符号变量和数值变量的差别。 在在 MATLABMATLAB命令窗口，输入命令：命令窗口，输入命令： a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);d=sym(d); %a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);d=sym(d); %定义定义4 4个符号变量个符号变量w=10;x=5;y=-8;z=11; %w=10;x=5;y=-

3、8;z=11; %定义定义4 4个数值变量个数值变量A=a,b;c,d %A=a,b;c,d %建立符号矩阵建立符号矩阵A AB=w,x;y,z %B=w,x;y,z %建立数值矩阵建立数值矩阵B Bdet(A) %det(A) %计算符号矩阵计算符号矩阵A A的行列式的行列式det(B) %det(B) %计算数值矩阵计算数值矩阵B B的行列式的行列式4例例2.2 2.2 比较符号常数与数值变量在代数运算时的差别。比较符号常数与数值变量在代数运算时的差别。在 MATLAB命令窗口，输入命令：pi1=sym(pi1=sym(pipi);k1=sym();k1=sym(8 8);k2=sym()

4、;k2=sym(2 2);k3=sym();k3=sym(3 3); % ); % 定义符号常数定义符号常数pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3; % pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3; % 定义数值变量定义数值变量sin(pi1/3) % sin(pi1/3) % 计算符号表达式值计算符号表达式值 sin(pi2/3) % sin(pi2/3) % 计算数值表达式值计算数值表达式值sqrt(k1) % sqrt(k1) % 计算符号表达式值计算符号表达式值sqrt(r1) % sqrt(r1) % 计算数值表达式值计算数值表达式值sqrt(k3+sqrt(k2) % sqrt

5、(k3+sqrt(k2) % 计算符号表达式值计算符号表达式值sqrt(r3+sqrt(r2) % sqrt(r3+sqrt(r2) % 计算数值表达式值计算数值表达式值5区别区别n数值数字并不能保证被完全准确存储，运算时也会引进截断误差；n符号类数字总是被准确记录和计算。6(2)syms(2)syms函数函数1.1.用于定义多个符号变量。用于定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为：syms var1 var2 varn 函数定义符号变量var1,var2,varn等。用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。72. 2. 建立符号表达式建立

6、符号表达式例例2.32.3用用2 2种方法建立符号表达式。种方法建立符号表达式。在在MATLABMATLAB窗口，输入命令：窗口，输入命令：U=sym(3U=sym(3* *x2+5x2+5* *y+2y+2* *x x* *y+6) %y+6) %定义符号表达式定义符号表达式U Usyms x y; %syms x y; %建立符号变量建立符号变量x x、y yV=3V=3* *x2+5x2+5* *y+2y+2* *x x* *y+6 %y+6 %定义符号表达式定义符号表达式V V2 2* *U-V+6 %U-V+6 %求符号表达式的值求符号表达式的值8例例2.4 2.4 计算计算3 3阶

7、范得蒙矩阵行列式的值。设阶范得蒙矩阵行列式的值。设A A是一个由符号变量是一个由符号变量a,b,ca,b,c确定的确定的范得蒙矩阵。范得蒙矩阵。命令如下：命令如下：syms a b c;syms a b c;U=a,b,c;U=a,b,c;A=1,1,1;U;U.2 %A=1,1,1;U;U.2 %建立范得蒙符号矩阵建立范得蒙符号矩阵det(A) %det(A) %计算计算A A的行列式值的行列式值例例2.5 2.5 建立建立x,yx,y的一般二元函数。的一般二元函数。 在MATLAB命令窗口，输入命令： syms x y; f=sym(f(x,y);92.1.2 2.1.2 基本的符号运算基

8、本的符号运算(1)(1)符号表达式的代数运算符号表达式的代数运算 与矩阵运算基本一致，详见与矩阵运算基本一致，详见P P3535。(2)(2)符号与数值的转换：符号与数值的转换：symsym，numericnumeric，evaleval，sym2polysym2poly，poly2sympoly2symNumericNumeric，evaleval：将符号常数转换为数字或计算表达式的函数；：将符号常数转换为数字或计算表达式的函数；Sym2polySym2poly：将符号多项式变换为等价系数向量。：将符号多项式变换为等价系数向量。Poly2symPoly2sym：要求用户指定用于表达式的变量（

9、：要求用户指定用于表达式的变量（x x，y y等）等）例例2.6 2.6 f=sym(f=sym(2 2* *x2+7x2+7* *x+9x+9) ) n=sym2poly(f) n=sym2poly(f) f1=poly2sym(n,y)f1=poly2sym(n,y)10(3)(3)因式分解与展开因式分解与展开factor(S) 对S分解因式，S是符号表达式或符号矩阵。expand(S) 对S进行展开，S是符号表达式或符号矩阵。collect(S) 对S合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。collect(S,v) 对S按变量v合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。例例2.7 2.7 对符

10、号矩阵对符号矩阵A A的每个元素分解因式。的每个元素分解因式。命令如下：命令如下：syms a b x y;syms a b x y;A=2A=2* *a2a2* *b3b3* *x2-4x2-4* *a a* *b4b4* *x3+10 x3+10* *a a* *b6b6* *x4,3x4,3* *x x* *y-5y-5* *x2;4,a3-b3;x2;4,a3-b3;factor(A) %factor(A) %对对A A的每个元素分解因式的每个元素分解因式11例例2.8 2.8 计算表达式计算表达式S S的值。的值。命令如下：命令如下：syms x y;syms x y;s=sym(-

11、7s=sym(-7* *x2-8x2-8* *y2)y2)* *(-x2+3(-x2+3* *y2);y2);s1=expand(s) %s1=expand(s) %对对s s展开展开s2=collect(s,x) %s2=collect(s,x) %对对s s按变量按变量x x合并同类项合并同类项( (无同类项无同类项) )factor(s2) % factor(s2) % 对对s2s2分解因式分解因式12(4)(4)表达式化简表达式化简MATLABMATLAB提供的对符号表达式化简的函数有：提供的对符号表达式化简的函数有：simplify(S) simplify(S) 应用函数规则对应用函

12、数规则对S S进行化简。进行化简。simple(S) simple(S) 调用调用MATLABMATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。程。例例2.92.9化简化简命令如下：命令如下：syms x y;syms x y;s=(x2+y2)2+(x2-y2)2;s=(x2+y2)2+(x2-y2)2;simplsimplifyify(s) %(s) %应用函数规则对应用函数规则对s s进行化简。进行化简。13(5) (5) 符号表达式中变量的确定符号表达式中变量的确定MATLABMATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常数。中的符号

13、可以表示符号变量和符号常数。findsymfindsym可以帮助用户查找可以帮助用户查找一个符号表达式中的符号变量。该函数的调用格式为：一个符号表达式中的符号变量。该函数的调用格式为：findsym(S,n)findsym(S,n)函数返回符号表达式函数返回符号表达式S S中的中的n n个符号变量，若没有指定个符号变量，若没有指定n n，则返回，则返回S S中的全部符中的全部符号变量。号变量。在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确指定自变量，在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确指定自变量，MATLABMATLAB将将按缺省原则确定主变量并对其进行相应微积分运算。可用按缺省原则

14、确定主变量并对其进行相应微积分运算。可用findsym(S,1)findsym(S,1)查找系统的缺省变量，事实上，查找系统的缺省变量，事实上，MATLABMATLAB按离字符按离字符xx最近原则确定缺省变最近原则确定缺省变量。量。142.2 2.2 微分运算微分运算2.2.12.2.1符号表达式的极限运算符号表达式的极限运算 limitlimit函数的调用格式为：函数的调用格式为：limit(f,x,a) limit(f,x,a) Limit(f) Limit(f) limitlimit函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为：函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为：limit(f,x

15、,a,right) limit(f,x,a,right) limit(f,x,a,left)limit(f,x,a,left)(limxfax15例例2.102.10求极限。求极限。在MATLAB命令窗口，输入命令：syms a m x;f=(x(1/m)-a(1/m)/(x-a);limit(f,x,a) %求极限(1)f=(sin(a+x)-sin(a-x)/x;limit(f) %求极限(2)limit(f,inf) %求f函数在x(包括+和-)处的极限limit(f,x,inf,left) %求极限(3)f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a)/sqrt(x*x-a*a

16、);limit(f,x,a,right) %求极限(4)162.2.2 2.2.2 符号函数求导及其应用符号函数求导及其应用MATLABMATLAB中的求导的函数为：中的求导的函数为：diff(f,x,n)diff(f,x,n)diffdiff函数求函数函数求函数f f对变量对变量x x的的n n阶导数。参数阶导数。参数x x的用法同求极限函数的用法同求极限函数limitlimit，可以缺省，缺省值与可以缺省，缺省值与limitlimit相同，相同，n n的缺省值是的缺省值是1 1。17 例例2.11 2.11 求函数的导数。求函数的导数。命令如下：命令如下：syms a b t x y z;

17、syms a b t x y z;f=sqrt(1+exp(x);f=sqrt(1+exp(x);diff(f) %diff(f) %求求(1)(1)。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理f=xf=x* *cos(x);cos(x);diff(f,x,2) %diff(f,x,2) %求求(2)(2)。求。求f f对对x x的二阶导数的二阶导数diff(f,x,3) %diff(f,x,3) %求求(2)(2)。求。求f f对对x x的三阶导数的三阶导数f1=af1=a* *cos(t);f2=bcos(t);f2=b* *sin(t);sin(t);di

18、ff(f2)/diff(f1) %diff(f2)/diff(f1) %求求(3)(3)。按参数方程求导公式求。按参数方程求导公式求y y对对x x的导数的导数(diff(f1)(diff(f1)* *diff(f2,2)-diff(f1,2)diff(f2,2)-diff(f1,2)* *diff(f2)/(diff(f1)3 %diff(f2)/(diff(f1)3 %求求(3)(3)。求。求y y对对x x的二阶导数的二阶导数f=xf=x* *exp(y)/y2;exp(y)/y2;diff(f,x) %diff(f,x) %求求(4)(4)。z z对对x x的偏导数的偏导数diff(f

19、,y) %diff(f,y) %求求(4)(4)。z z对对y y的偏导数的偏导数f=x2+y2+z2-a2;f=x2+y2+z2-a2;zx=-diff(f,x)/diff(f,z) %zx=-diff(f,x)/diff(f,z) %求求(5)(5)。按隐函数求导公式求。按隐函数求导公式求z z对对x x的偏导数的偏导数zy=-diff(f,y)/diff(f,z) %zy=-diff(f,y)/diff(f,z) %求求(5)(5)。按隐函数求导公式求。按隐函数求导公式求z z对对y y的偏导数的偏导数18例例2.122.12在曲线在曲线y=xy=x3 3+3x-2+3x-2上哪一点的切

20、线与直线上哪一点的切线与直线y=4x-1y=4x-1平行。平行。命令如下：x=sym(x); y=x3+3*x-2; %定义曲线函数f=diff(y); %对曲线求导数g=f-4;solve(g)solve(g) %求方程f-4=0的根，即求曲线何处的导数为4192.3 2.3 积分运算积分运算2.3.1 2.3.1 不定积分不定积分在在MATLABMATLAB中，求不定积分的函数是中，求不定积分的函数是intint，其调用格式为：，其调用格式为：int(f,x)int(f,x)intint函数求函数函数求函数f f对变量对变量x x的不定积分。参数的不定积分。参数x x可以缺省，缺省原则与可

21、以缺省，缺省原则与diffdiff函数相函数相同。同。20例例2.132.13求不定积分。求不定积分。命令如下：命令如下：x=sym(x);x=sym(x);f=(3-x2)3;f=(3-x2)3;int(f) %int(f) %求不定积分求不定积分(1)(1)f=sqrt(x3+x4);f=sqrt(x3+x4);f1=int(f) %f1=int(f) %求不定积分求不定积分(2)(2)g=simple(f1) %g=simple(f1) %调用调用simplesimple函数对结果化简函数对结果化简212.3.2 2.3.2 定积分定积分定积分在实际工作中有广泛的应用。在定积分在实际工作

22、中有广泛的应用。在MATLABMATLAB中，定积分的计算使用函数：中，定积分的计算使用函数：int(f,x,a,b)int(f,x,a,b)例例2.142.14求定积分。求定积分。dxxxydxtxydxxydxxyt321003sin2221)1(4431121122命令如下：命令如下：x=sym(x);t=sym(t);x=sym(x);t=sym(t);int(abs(1-x),1,2) %int(abs(1-x),1,2) %求定积分求定积分(1)(1)f=1/(1+x2);f=1/(1+x2);int(f,-inf,inf) %int(f,-inf,inf) %负无穷到正无穷求定积

23、分负无穷到正无穷求定积分(2)(2)int(4int(4* *t t* *x,x,2,sin(t) %x,x,2,sin(t) %求定积分求定积分(3)(3)f=x3/(x-1)100;f=x3/(x-1)100;I=int(f,2,3) %I=int(f,2,3) %用符号积分的方法求用符号积分的方法求 定积分定积分(4)(4)23例例2.12.15 5 轴的长度为轴的长度为1010米，若该轴的线性密度计算公式是米，若该轴的线性密度计算公式是f(x)=6+0.3xf(x)=6+0.3x千克千克/ /米米( (其中其中x x为距轴的端点距离为距轴的端点距离) )，求轴的质量。，求轴的质量。在在

24、MATLABMATLAB命令窗口，输入命令：命令窗口，输入命令：syms x;syms x;f=6+0.3f=6+0.3* *x;x;m=int(f,0,10)m=int(f,0,10)242.42.4常微分方程的求解常微分方程的求解函数函数dsolvedsolve该函数的调用格式为：该函数的调用格式为：dsolve(eqn1,condition,var)dsolve(eqn1,condition,var)该函数求解微分方程该函数求解微分方程eqn1eqn1在初值条件在初值条件conditioncondition下的特解。参数下的特解。参数varvar描述方程中描述方程中的自变量符号，省略时按

25、缺省原则处理，若没有给出初值条件的自变量符号，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件conditioncondition，则求方程的通解。则求方程的通解。dsolvedsolve在求微分方程组时的调用格式为：在求微分方程组时的调用格式为：dsolve(eqn1,eqn2,dsolve(eqn1,eqn2,eqnN,condition1,eqnN,condition1,conditionN,var1,conditionN,var1, ,varN)varN)函数求解微分方程组函数求解微分方程组eqn1eqn1、eqnNeqnN在初值条件在初值条件conditoion1conditoion1、co

26、nditionNconditionN下的解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，下的解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，var1var1、varNvarN给出求解给出求解变量。变量。25常微分方程（补充）常微分方程（补充）n微分方程：凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫做微分方程。n常微分方程：未知函数是一元函数的，叫做常微分方程。n微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数即是微分方程的阶。n一般地，n阶微分方程的形式是：其中F是n+2个变量的函数，且 是必须出现的，而小于n阶导数的变量不一定要出现。26n(1)Eqn 微分方程输入方法：微分方程输入方法：n

27、例：例： n命令：命令：Y=dsolve(D2y-2*Dy-3*y=0,x)n(2)condition 初始条件初始条件 y(a)=b;Dy(a)=c;D2y(a)=d;n最多可接受最多可接受12个输入参量个输入参量dxdD nndxdDn dxdyDy 222dxydyD03222ydxdydxyd27例例2.2.1818 求微分方程的通解。求微分方程的通解。命令如下：命令如下：y=dsolve(Dy-(x2+y2)/x2/2,x) %y=dsolve(Dy-(x2+y2)/x2/2,x) %解解(1)(1)。方程的右端为。方程的右端为0 0时可时可以不写以不写y=dsolve(Dyy=ds

28、olve(Dy* *x2+2x2+2* *x x* *y-exp(x),x) %y-exp(x),x) %解解(2)(2)y=dsolve(Dy-x/y/sqrt(1-x2),x) %y=dsolve(Dy-x/y/sqrt(1-x2),x) %解解(3)(3)例例2.2.1919 求微分方程的特解。求微分方程的特解。命令如下：命令如下：y=dsolve(Dy=2y=dsolve(Dy=2* *x x* *y2,y(0)=1,x) %y2,y(0)=1,x) %解解(1)(1)y=dsolve(Dy-x2/(1+y2),y(2)=1,x) %y=dsolve(Dy-x2/(1+y2),y(2)

29、=1,x) %解解(2)(2)282.5 2.5 积分变换积分变换1. 1. 傅立叶傅立叶(Fourier)(Fourier)变换变换在在MATLABMATLAB中，进行傅立叶变换的函数是：中，进行傅立叶变换的函数是：fourier(fx,x,t) fourier(fx,x,t) 求函数求函数f(x)f(x)的傅立叶像函数的傅立叶像函数F(t)F(t)。ifourier(Fw,t,x) ifourier(Fw,t,x) 求傅立叶像函数求傅立叶像函数F(t)F(t)的原函数的原函数f(x)f(x)。2. 2. 拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)(Laplace)变换变换在在MATLABMATLA

30、B中，进行拉普拉斯变换的函数是：中，进行拉普拉斯变换的函数是：laplace(fx,x,t) laplace(fx,x,t) 求函数求函数f(x)f(x)的拉普拉斯像函数的拉普拉斯像函数F(t)F(t)。ilaplace(Fw,t,x) ilaplace(Fw,t,x) 求拉普拉斯像函数求拉普拉斯像函数F(t)F(t)的原函数的原函数f(x)f(x)。3. Z3. Z变换变换对数列对数列f(n)f(n)进行进行z z变换的变换的MATLABMATLAB函数是：函数是：ztrans(fn,n,z) ztrans(fn,n,z) 求求fnfn的的z z变换像函数变换像函数F(z)F(z)iztra

31、ns(Fz,z,n) iztrans(Fz,z,n) 求求FzFz的的z z变换原函数变换原函数f(n)f(n)29傅立叶变换的定义及基本概念（补充）傅立叶变换的定义及基本概念（补充） 令令 为实变为实变x x的连续函数，如果的连续函数，如果 满足下面的狄里赫莱条件：满足下面的狄里赫莱条件：（1 1）有有限个间断点）有有限个间断点（2 2）有有限个极值点）有有限个极值点（3 3）绝对可积）绝对可积 )(xf)(xf30则有以下二式成立：则有以下二式成立： duuxiuFxfdxuxixfuF)2exp()()()2exp()()(上式中上式中x x为时域变量（空间域），为时域变量（空间域），u

32、 u为频率变量，为频率变量，i i为虚数单位，为虚数单位，通常称上式为傅立叶变换对。通常称上式为傅立叶变换对。 1i傅立叶变换的定义及基本概念傅立叶变换的定义及基本概念31因因x x为时域变量（空间域）故第一式：为时域变量（空间域）故第一式：dxuxixfuF)2exp()()(为逆变换，而且它们可以互为逆变换：为逆变换，而且它们可以互为逆变换：duuxiuFxf)2exp()()(是影像函数的傅立叶变换。第二式：是影像函数的傅立叶变换。第二式： )()(uFxf傅立叶变换的定义及基本概念傅立叶变换的定义及基本概念32例例2.202.20求函数的傅立叶变换及其逆变换。求函数的傅立叶变换及其逆变换。命令如下：命令如下：syms x t;y=abs(x);Fw=fourier(y,x,w) %求y的傅立叶变换fx=ifourier(Fw,w,x) %求Ft的傅立叶逆变换命令如下：命令如下：f = exp(-x2)Ft=fourier(f)fx=ifourier(Ft)33例例2.2.2 21 1计算计算y=xy=x2 2的拉普拉斯变换及其逆变换的拉普拉斯变换及其逆变换. .命令如下：命令如下：x=sym(x);y=x2;x=sym(x);y=x2;Ft=laplace(y,x,s) %Ft=laplace(y,x,s) %对函数对函数y y