北京市高三数学文一轮复习4.1平面向量的概念与线性运算教学设计Word版

1、 高三一轮（文） 4.1平面向量的概念与线性运算【教学目标】1. 了解向量的实际背景2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3.理解向量的几何表示4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 【重点难点】 1.教学重点：平面向量的概念及线性运算； 2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图.环节二：考纲再现: 考试内容 要求层次了解 理解 掌握 平面向量的相关概念

2、   向量加法与减法与向量的数乘 两个向量共线 北 京 近 五 年 主 要 考 查1.了解向量的实际背景2.理解平面向的概念，理解两个向量相等的含义3.理解向量的几何表示4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 7.平面向量的线性运算、共线向量定理是近几年高考命题的热点8.常与三角、平面几何知识交汇考查，有时也会命制新定义问题9.题型以选择题填空题为主，属中低档题真题再现;知识梳理：知识点1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称

3、模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较小相反向量长度相同且方向相反的向量0的相反向量为0知识点2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc).减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1

4、)|a|a|；(2)当>0时，a的方向与a的方向相同；当<0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab知识点3共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.名师点睛：1必会结论(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即an1an，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量(2)若p为线段ab的中点，o为平面内任一点，则()(3)(，为实数)，若点a，b，c共线，则1.2必知联系(1)向量平行与直线平行的联系与区别(2)向量共线与三点共线的区别与联系(当两向量共线且

5、有公共点时，才能得出三点共线)(3)向量的加、减、数乘运算的结果仍是向量，如aa0,0·a0.考点分项突破考点一：平面向量的概念1若|a|b|，则ab；若a，b，c，d是不共线的四点，则是四边形abcd为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab；其中正确命题的序号是()a. b c d 【解析】不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，|且 ，又a，b，c，d是不共线的四点，四边形abcd为平行四边形；反之，若四边形abcd为平行四边形，则且|，因此，.正确ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长

6、度相等且方向相同，故ac.不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.故选a.跟踪训练1：1给出下列四个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；向量与向量共线，则a，b，c，d四点共线；设a0是单位向量，若aa0，且|a|1，则aa0.其中假命题的个数为()a1 b2 c3 d4【解析】错误两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点错误若a或b是零向量，则a与b的方向不相同，也不相反错误向量共线，向量所在

7、直线可能平行错误aa0或aa0.【答案】d归纳：向量有关概念的关键点1向量定义的关键是方向和长度2非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制3相等向量的关键是方向相同且长度相等4单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度5零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线考点二:平面向量的线性运算1.若abcd是正方形，e是dc边的中点，且a，b，则等于()aba bba cab dab【解析】如图所示，ba。答案：b2. 已知d为三角形abc边bc的中点，点p满足0，则实数的值为_【解析】d是bc的中点，则2.由0，得.又，点p是以ab，ac为邻边的平行四边形的第

8、四个顶点，因此22.所以2.【答案】2跟踪训练2：1设d，e，f分别为abc的三边bc，ca，ab的中点，则()a. b. c. d.【解析】如图，()·2.【答案】c2设d、e分别是abc的边ab、bc上的点，adab，bebc.若12(1、2为实数)，则12的值为_【解析】()，1，2，即12.【答案】归纳：向量的线性运算的解题策略1进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解2除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性

9、质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解考向3共线向量定理的应用1. 设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.【解析】(1)ab与a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得【答案】2.设两个非零向量a与b不共线若ab，2a8b，3(ab)，求证：a，b，d三点共线；试确定实数k，使kab和akb共线【解析】证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5，共线又它们有公共点b，a，b，d三点共线假设kab与akb共线，则存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两不共线的非零向量，kk10.消去，得k210，

10、k±1.跟踪训练3：1对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件【解析】当ab0时，ab，ab；当ab时，不一定有ab，“ab0”是“ab”的充分不必要条件2. 已知2e1ke2，e13e2，2e1e2，若a，b，d三点共线，则k_。【解析】若a，b，d三点共线，则，设。因为e14e2，所以2e1ke2(e14e2)e14e2，所以2，k4，所以k8。答案：84.设e1，e2是两个不共线向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.(1)求证：a，b，d三点共线；(2)若3e1ke2，且b，d，f三点共线，求k

11、的值【解】(1)证明：2e18e2(e13e2)2e1e23e112e2(2e18e2)，与共线又a为公共点，a，b，d三点共线(2)(e13e2)(2e1e2)e14e2，b，d，f三点共线，即e14e2(3e1ke2)，解得，k12.综上，k的值为12.归纳：共线向量定理的应用1证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数，使ab，则a与b共线2证明三点共线：若存在实数，使，则a，b，c三点共线3求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。 学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。 教师引导学生及时总结，以帮助学

12、生形成完整的认知结构。引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。通过跟踪训练，来锻炼学生独立解决问题的能力，到底知识和能力的内化。通过跟踪训练，来锻炼学生独立解决问题的能力，到底知识和能力的内化。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解题技能。环节三：课堂小结：1.向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终