函数的连续性(fin)

1、1第五节第五节 函数的连续性函数的连续性函数的函数的连续连续性性函数的函数的间断点间断点闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 21. 连续的定义连续的定义并称并称x0为函数为函数f(x)的的连续点连续点.定义定义1.6 若若),()(lim00 xfxfxx 则称则称 f (x)在在x0点点连续连续,f (x)在在0 x点有定义点有定义;(1)(lim0 xfxx(3).(0 xf 三要素三要素:)(lim0 xfxx(2)存在存在;)(定定义义 , 0 , 0 .)()(0 xfxf有有, 0时时当当 xx一、函数的连续性一、函数的连续性3)()(0 xfxfy 0 xxx 自变量在

2、自变量在 点的点的增量增量:0 x)()(00 xfxxf 函数相应于函数相应于 的的增量增量:x 连续连续.定义定义1.6, 0lim0 yx 则称函数则称函数f (x)在在x0点点若若极限与连续之间的关系极限与连续之间的关系: f (x)在在x0点连续点连续 f (x)在在x0点存在极限点存在极限4例例0, 0, 0, 0,1sin)( xxxxxxf在在证证 xxx1sinlim0, 0)0( f.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf),0()(lim0fxfx , 0证明证明处连续处连续. )(lim0 xfx,0)(处处有有定定义义在在函函数数 xxf5(左、右连续左、右连续),(

3、)(lim00 xfxfxx 若若),()(lim00 xfxfxx 若若处处在在点点则则称称0)(xxf左连续左连续.处处在在点点则则称称0)(xxf右连续右连续.0 x左连续左连续0 x右连续右连续xyOxyO定义定义1.7定理定理处处连连续续在在0)(xxf处处既既左左连连续续在在0)(xxf.又右连续又右连续(连续与左、右连续的关系连续与左、右连续的关系)6例例 , 1, 1, 1,)(2xxxxxf讨讨论论解解)(lim1xfx 2 ),1(f )(lim1xfx ),1(f 但不右连续但不右连续.1)(点点不不连连续续在在故故函函数数 xxf)1(lim1 xx1lim21 xx点

4、点在在1)( xxf所以所以左连续左连续,.1处的连续性处的连续性在在 xxyO1, 1)1( f,1)(处有定义处有定义在在 xxf7例例,取何值时取何值时当当a解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()(lim)(lim00fxfxfxx 必需且只需必需且只需,1时时故当故当 a.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf. 1 a即即.0, 0, 0,cos)(处处连连续续在在函函数数 xxxaxxxf,0)(处处连连续续在在要要使使 xxf82. 连续函数与连续区间连续函数与连续区间则称则称f (x)若若f(

5、(x) )在开区间在开区间(a,b)内每一点都连续内每一点都连续,且在且在a点点右连续右连续,在在b点点左连续左连续,称该区间为称该区间为连续区间连续区间.在在开区间开区间(a,b)内内连续连续,若若f( (x) )在开区间在开区间(a,b)内连续内连续,则称则称f (x)在在闭区间闭区间a,b上上连续连续.所有在所有在区间区间I上上连续的函数连续的函数组成的集合记为组成的集合记为C(I).闭区间闭区间a,b上上连续函数的全体连续函数的全体记为记为Ca,b.9.),(sin内内连连续续在在区区间间 xy证证),(0 x任取任取 02cos2sin200 xxxx .),(sin内连续内连续在在

6、即即 xy内内在在区区间间),(cos xy0sinsinxx 类似可证类似可证,|2| 200 xxxx 连续连续.例例 证明证明0sinsinlim00 xxxx由夹逼定理由夹逼定理,. 0sinsinlim00 xxxx要证要证10)1, 0(.lim00 aaaaxxxx00limxxxxaa 例例 证明证明证证.111nnna 1lim0 xxa xxa0limtta1lim0 ,10时时 a,111nxn , 10 x对对任任何何,111nxnaaa tta0lim(夹逼定理夹逼定理)必存在正整数必存在正整数n,使得使得, 1 xxa0limxxa)(1lim10 . 1 有有1l

7、im0 xxa(3)(1)(从某个从某个n开始开始),1时时 a. 1lim0 xxa1lim1 nna1)1(lim000 xxxxxaa11定理定理1.15),()(xgxf 如如,),(cos,sin内连续内连续在在xx,tan x故故,)(),(0处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxf则则),()(xgxf 由于由于)0)()()(0 xgxgxf,cot x 在其定义域内连续在其定义域内连续. 在在x0点也连续点也连续.( (函数和差积商的连续性函数和差积商的连续性) ),sec xxcsc3. 连续函数的运算性质连续函数的运算性质12如如,上上在在2,2sin xyxyarcs

8、in xyarccos xyarctan 结论结论: : 反三角函数在其反三角函数在其定义域定义域内皆连续内皆连续.定理定理1.17故故同理同理,上上在在1,1 xycotarc 内内在在),( 内内在在),( 上上在在1,1 单调增加单调增加且连续且连续,单调的连续函数单调的连续函数必有单调必有单调的连续反函数的连续反函数.也单调增加且连续也单调增加且连续.单调减少且连续单调减少且连续.单调增加且连续单调增加且连续.单调减少且连续单调减少且连续.(反函数的连续性反函数的连续性)13定理定理1.16( (复合函数的连续性复合函数的连续性) )若函数若函数)(xgu ,0连续连续在点在点 x)(

9、lim00 xguxx ,)(0连连续续在在点点函函数数uufy )(lim0ufuu)(0 xgf 即即记记则复合函数则复合函数)(xgf,0连连续续在在点点 x )(lim0 xgfxx)(0uf 设设是由是由 与与复合而成复合而成.)(xgfy )(ufy )(xgu : 复合函数求极限法则复合函数求极限法则:连续连续在点在点0)(uufy :)(xg连连续续在在点点0 x14三角函数及反三角函数三角函数及反三角函数(1)1, 0( aaayx内内在在),()1, 0(log aaxya内内在在), 0( (2)(3)单调且连续单调且连续;指数函数指数函数对数函数对数函数单调且连续单调且

10、连续; xy xaalog ,uay xualog 内内在在), 0( (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )(4) 幂函数幂函数连续连续; 讨论讨论不同值不同值.在它们的定义域内连续在它们的定义域内连续;基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.4. 初等函数的连续性初等函数的连续性15定理定理1.18 初等函数在其初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的. .1. 初等函数在其定义域内不一定连续初等函数在其定义域内不一定连续. 注注2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法. 代入法代入法. .,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及如如,在在

11、 x = 0点的邻域内无定义点的邻域内无定义.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间., 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.16例例.1esinlim1 xx求求1esin1 原原式式.1esin 例例.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 )(lim0 xfxx)(0定义区间定义区间 x0 x )(f17例例.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim ueulnlim eln 解解原式原式=例例

12、.1elim0 xxx 求求. 1 )1ln(lim0ttt 解解,1etx 令令),1ln(tx 则则. 0,0tx时时当当ttt10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 原式原式=18定义定义处处在在若若0)(xxf出现如下三种情形之一出现如下三种情形之一:点点在在0)()1(xxf)(lim0 xfxx但但)(lim0 xfxx但但的的为为则则称称)(0 xfx二、函数的间断点及其分类二、函数的间断点及其分类无定义无定义;不存在不存在;).(0 xf 间断点间断点. .,)()2(0点有定义点有定义在在xxf)(lim0 xfxx且且存在存在,)()3(0点有定

13、义点有定义在在xxf 初等函数无定义的点是间断点初等函数无定义的点是间断点,分段函数的分段点分段函数的分段点可能是间断点可能是间断点, 需要判定需要判定.19间断点的分类间断点的分类:第二类第二类间断点间断点:第一类第一类间断点间断点:称称 为为可去间断点可去间断点. .0 x称称 为为跳跃间断点跳跃间断点. .0 x若其中有一个为若其中有一个为, 称称 为为无穷间断点无穷间断点. .0 x都存在，都存在，和和)(lim)(lim00 xfxfxxxx ，若若)(lim)(lim00 xfxfxxxx ，若若)(lim)(lim00 xfxfxxxx ,)(lim)(lim00中至少有一个不存

14、在中至少有一个不存在和和xfxfxxxx 20例例.0, 0,1, 0,)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论 xxxxxxf处处在在0)( xxf有定义有定义, 0)(lim0 xx1)1(lim0 xx故故为为f (x)的的 间断点间断点,第一类第一类且是跳跃间断点且是跳跃间断点.xyO10 x解解 )(lim0 xfx )(lim0 xfx，)(lim)(lim00 xfxfxx 21例例.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在 xxxxxxxf讨论讨论解解2)(lim1 xfx),1(f 1 x为为第一类第一类间断点间断点, 且是可去间断点且是可去间断点., 2)1

15、( f令令 , 1,1, 1, 2, 10,2)(xxxxxxf则则连续连续. .1)1( fxyO112xy2 xy 1处处在在1 x, 22lim1 xx2)1(lim1 xx )(lim1xfx )(lim1xfx22可去间断点只要可去间断点只要改变或者补充改变或者补充间断处函数的定义间断处函数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.注注:例例.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy, 0 , ，为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点0 x.且是无穷间断点且是无穷间断点 )(lim0 xfxxx 0lim )(lim0 xfxx

16、x1lim0 23例例.0, 0, 0, 0,1sin)(处的连续性处的连续性在在讨论讨论 xxxxxf处处在在0)( xxf有定义有定义,xx1sinlim0不存在不存在,0 x故故为为f (x)的的 间断点间断点,第二类第二类且是且是振荡型间断点振荡型间断点.在在时时但但当当xx1sin,01 , 1 之间来回无穷次振荡之间来回无穷次振荡,解解xy1sin xyO24 函数的间断点可以有无穷多个函数的间断点可以有无穷多个. . , 0, 1)(是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxDl D(x)在定义域在定义域 R 内每一点处都间断内每一点处都间断, 且且都是第二类间断点都

17、是第二类间断点.狄里克莱狄里克莱(Dirichilet)函数函数如如25,e11)(1的间断点的间断点求求xxxf 解解函数无定义函数无定义,1, 0时时当当 xx是函数的间断点是函数的间断点.,0时时 x)(lim0 xfx xxx 1e11lim0, 所以所以0 x是函数的是函数的第二类间断点第二类间断点,且是且是无穷型无穷型.,1时时 x)(limxfxxx 1e11lim10 )(limxfxxx 1e11lim11 所以所以1 x是函数的是函数的第一类间断点第一类间断点,且是且是跳跃型跳跃型.并指出其类型并指出其类型. 1x 1x例例26求求 的间断点的间断点,并指出其类型并指出其类

18、型.231)(22 xxxxf,cos1)(2的连续性的连续性xxxf 讨论讨论0 x为函数的为函数的第一类第一类间断点间断点, 且是且是可去可去间断点间断点.若有间断点若有间断点,判断间断点的类型判断间断点的类型.求求的间断点的间断点, ,)1)(1(sin)1()( xxxxxxf并判别其类型并判别其类型. .1 x是函数的是函数的第一类间断点第一类间断点,且是且是可去型可去型.2 x是函数的是函数的第二类间断点第二类间断点,且是且是无穷型无穷型.27解解函数无定义函数无定义,2, 1时时当当 xx是函数的间断点是函数的间断点.,1时时 x)(lim1xfx 21lim1 xxx, 2 所

19、以所以1 x是函数的是函数的第一类间断点第一类间断点,且是且是可去型可去型.,2时时 x)(limxf21lim2 xxx 所以所以2 x是函数的是函数的第二类间断点第二类间断点,且是且是无穷型无穷型.求求 的间断点的间断点,并指出其类型并指出其类型. 2x231)(22 xxxxf)(lim1xfx 21lim1 xxx, 2 28例例, 0, 1, 0,sin)(的连续性的连续性讨论讨论 xxxxxxf,0时时 x)sin(lim)(lim00 xxxfxx , 1)1(lim)(lim00 xxfxx且是且是跳跃间断点跳跃间断点.故故为为f (x)的的 间断点间断点,第一类第一类0 x左

20、、右极限都存在左、右极限都存在, 但不相等但不相等.解解, 1)0( f, 1 若有间断点若有间断点, 判断间断点的类型判断间断点的类型.), 0()0 ,()(上上连连续续在在 xf29定义定义)()(0 xfxf 设设f (x)在区间在区间I上有定义上有定义,0Ix 使得当使得当,时时Ix 恒有恒有若存在点若存在点),()(0 xfxf 为函数为函数f (x)在区间在区间I上的上的)(0 xf最小最小 值值, ,记为记为则称则称)(min)(0 xfxfIx ).(max)(0 xfxfIx ( (大大) )三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质30,)(baCxf 若若注注

21、 定理中的条件定理中的条件“闭区间闭区间”和和“连续性连续性”是不可是不可少的少的. 定理定理1.19( (最大最小值定理最大最小值定理) ),21ba, 则则.,bax ),()()(21 fxff xyO)(xfy ab1 2 使得使得在在闭区间闭区间上上连续连续的的函数一定能取到最大值和最小值函数一定能取到最大值和最小值.推论推论( (有界性定理有界性定理) ),)(baCxf 设设.,)(上有界上有界在在则则baxf31xyO211在在开区间开区间(0,1)xy 21, 3, 1, 1, 10, 1)(xxxxxxf无最大值无最大值,如如:(1)函数函数无最大值无最大值,无最小值无最小

22、值.无最小值无最小值.有间断点有间断点(2)函数函数)(xfy , 1 xxoy1132.0)(0的的根根是是方方程程也也称称 xfx定理定理1.20( (零点定理零点定理) ),)(baCxf 设设, 0)()( bfaf且且则至少存在一点则至少存在一点),(ba 使得使得, 0)( f).,(ba 几何意义几何意义:xyO)(xfy ba 定义定义:, 0)(0 xf如果如果,)(0的零点的零点为函数为函数则称则称xfx33定理定理1.21( (介值定理介值定理) ),)(baCxf 设设),()(bfaf ,)(,)(BbfAaf 且且),(ba 则则至至少少存存在在一一点点使得使得,)

23、(Cf ).,(ba 证证,)()(CxfxF ,)(baCxF 则则CafaF )()(,CA CbfbF )()(,CB , 0)()( bFaF使使),(ba , 0)( F, 0)()( CfF 即即.)(Cf 由零点定理由零点定理,C为介于为介于A, B之间的任意数之间的任意数,令令 辅助函数辅助函数34几何意义几何意义:与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值( (不会有任何遗漏不会有任何遗漏).).推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值MxyO)(xfy ba1 C2 3 1P2P3P2x1xMmCyxfy 与水平直线与水平直线连续曲

24、线弧连续曲线弧)(至少有一个交点至少有一个交点.35例例.)1 , 0(01423内至少有一根内至少有一根在区间在区间证明证明 xx证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上上连连续续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理由零点定理,使使),1 , 0( , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xx闭区间上连续函数的性质常用于闭区间上连续函数的性质常用于:(1) 判断某些方程根的存在性或实根的范围判断某些方程根的存在性或实根的范围;(2) 证明某些等式证明某些等式.36例例,)(上连续上连续在区间在区

25、间设函数设函数baxf证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,),(ba )()(fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即使使, 0 ,)(aaf 且且.)(bbf .)(),( fba使使得得证证明明37,ba 证证),()(bfaf 若若),()(bfaf 设设 )()(bfaf),()(bfaf 显显然然 例例证明证明:.即即可可取取a ).)()(时可类似证明时可类似证明bfaf 令令 由由介值定理介值定理,),(ba ,)( f使使即得即得 )()()(bfaff.)()()( bfaff使得使得,)

26、(上连续上连续在在设设baxf, 0, 38作业作业习题习题 1.5 (64 (64页页) ) 1. (1)(3) 2. (1)(4)(6) 3. (1)(2) 4. (2)(3) 6. 8.39作业作业综合练习题综合练习题1 (651 (65页页) ) 7.(1)(2) 8. 10. 选择题做在书上选择题做在书上401. 设设 0,0,1sin)(2xxaxxxxf_, a时时提示提示:.)0(af 0)(xf为为连续函数连续函数. ., 0)(lim0 xfx,)(lim0axfx 41例例 证明证明: 任何实系数奇数次代数方程任何实系数奇数次代数方程证证01110 nnnnaxaxaxa,)(1110