选修23课件1.3.2二项式定理5

1、1.3.2 二二 项项 式式 定定 理理1 1、二项式定理：、二项式定理：nnnrrnrnnnnnnbcbacbacacba 110)(2 2、通项公式：、通项公式：1(0,1,2,)rnrrrntc abrn 3 3、特例：、特例：nnnrrnnnnxcxcxcxcx 22111）（(展开式的第r +1项)温故知新温故知新(2)增减性与最大值：增减性与最大值： 从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小大，随后又逐渐减小.因此，当因此，当n n为偶数时，中间一项的二项式系数为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当取得最大值；当n n为奇数时

2、，中间两项的二项式为奇数时，中间两项的二项式系数系数 、 相等且同时取得最大值相等且同时取得最大值2nnc12nnc12nnc(3)各二项式系数的和各二项式系数的和0122rnnnnnnnccccc(1)对称性：对称性：与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等.二项式系数的性质二项式系数的性质mn mnncc在在 展开式中展开式中 1023xy(1)求二项式系数的和求二项式系数的和;例例1.(2)各项系数的和各项系数的和;(3)奇数项的二项式系数和奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;(4)奇数项的系数和与偶数项的系数和奇数项的系

3、数和与偶数项的系数和;1024151210152101 52学生活动学生活动1、已知、已知(2x+1)10=a0 x10+ a1x9+ a2x8+a9x+ a10,(1)求求a0+ a1+ a2+ +a9+ a10的值的值(2)求求a0+ a2+ a4+ + a10的值的值103)13(2110 4234012342202413(23),()()xaa xa xa xa xaaaaa 2 2、若若则则_ _ _ _ _ _ _ . .1nbxaxf)()( 设设2)1()1( ff其其奇奇次次项项系系数数的的和和是是2)1()1( ff其其偶偶次次项项系系数数的的和和是是结论结论:3.( 13

4、.( 1x x ) ) 1313 的展开式中系数最小的项是的展开式中系数最小的项是 （ ）(a)(a)第六项第六项 (b)(b)第七项第七项 （c c）第八项）第八项 (d)(d)第九项第九项c学生活动学生活动一、知识复习：一、知识复习：二项式定理：二项式定理：nnnrrnrnnnnnnbcbacbacacba110)(主要研究了以下几个问题：主要研究了以下几个问题：展开式及其应用；展开式及其应用；通项公式及其应用；通项公式及其应用；二项式系数及其有关性质二项式系数及其有关性质.rrnrnrbact1131202 nnnnncccc0122rnnnnnnnccccc二、基础训练：二、基础训练：

5、2110:1nxxx 、已已知知展展开开式式中中第第五五项项的的系系数数与与第第三三项项的的系系数数比比是是，求求展展开开式式中中含含 的的项项122121 2222187nnnnnrnnnncccccc 、如如果果： 求求：的的值值199520080090095()abcdabcd变变式式：求求展展开开式式中中项项的的系系数数3、在、在(ab)20展开式中，与第五项的系数相同展开式中，与第五项的系数相同的项是的项是( ).4、在、在(ab)10展开式中，系数最大的项是展开式中，系数最大的项是( ).a 第第6项项 b 第第7项项 c 第第6项和第项和第7项项 d 第第5项和第项和第7项项a

6、第第15项项 b 第第16项项 c 第第17项项 d 第第18项项ca5、写出在（、写出在（a-b)7的展开式中，的展开式中， 系数最大系数最大的项？的项？系数最小系数最小的项？的项？3437c4bat 43475cbat 系数最大系数最大系数最小系数最小三、例题讲解：三、例题讲解：例例1 在在 的展开式中，的展开式中， 的系数的系数是多少？是多少？求求 展开式中含展开式中含 的项的项.103)1)(1 (xx5x62)1 (xx5x解：解：原式原式=10310)1 ()1 (xxx可知可知 的系数是的系数是 的第六项系数与的第六项系数与 的第三项系数之和的第三项系数之和.5x10)1 (x1

7、03)1 (xx即：即：20745252210510cc原式原式=621xx 62524232)()(6)(15)(20 xxxxxxxx 其中含其中含 的项为：的项为：5x555566)4(15320 xxxx例例2 已知已知 的展开式中只有第的展开式中只有第10项项系数最大，求第五项。系数最大，求第五项。 nxx431解：依题意，解：依题意， 为偶数，且为偶数，且n,18,1012nn.306014443418418145xxxctt变式：变式：若将若将“只有第只有第10项项”改为改为“第第10项项”呢？呢？19.或18或17n(答案略答案略)例例3 计算计算 (精确到精确到0.001)5

8、997. 155)997. 01 (997. 155)003. 02(997. 1解：解：322345003. 0210003. 0210003. 0252761.3100072. 024. 032997. 1555)003. 02(997. 1例例4 4 写出在（写出在（a+a+2 2) )1010的展开式中，的展开式中， 系数系数最大最大的项？的项？r2cr1011 -r2c10 rr2cr1011r2c10 r解：设系数最大的项是第解：设系数最大的项是第 r + 1 r + 1 项，则项，则2(11-r) rr+1 2(10-r)322319 r7r 则系数最大的项是第则系数最大的项是第

9、8 8项项737102ac例例5 求证：求证： (nn，且，且n2)n3)2(21nn证明：证明：nnnnnnnnnnncccc2222) 12(312211)22()2(21221nnnnnnncccn又又n2，上式至少有三项，且，上式至少有三项，且nnnnnnccc221220 (nn，且，且n2)2(21nnn3例例6 已知已知a,bn，m,n z ，且，且2m + n = 0，如果二项，如果二项式式( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是常数的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求项，求 a : b 的取值范围。的取值范围。 nrrmrrrrnrmrrxbacbx

10、axct )12(121212121)()(解：解：令令m (12 r )+ nr = 0，将，将 n =2m 代入，解得代入，解得 r = 4故故t5 为常数项，且系数最大。为常数项，且系数最大。 的系数的系数的系数的系数的系数的系数的系数的系数6545tttt 57512484123931248412bacbacbacbac即即4958 ba解得解得四、课堂练习：四、课堂练习：2 2、已知、已知 的展开式中，各项系数和比它的的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大二项式系数和大992992求展开式中二项式系数最大的项求展开式中二项式系数最大的项. . 223(3)nxx 3 3、（、（1

11、+2x）n展开式中的二项式系数的和为展开式中的二项式系数的和为2048，求展，求展开式中系数最大项开式中系数最大项 1、已知、已知(2x+ )100=a0+a1x+a2x2+a100 x100，求下列各，求下列各式的值：式的值： (1)(a0+a2+a100)2(a1+a3+a99)2 ； (2)a0+a2+a100 .3五、课堂小结：五、课堂小结： 本节课讨论了二项式定理的应用，本节课讨论了二项式定理的应用，包括组合数的计算及恒等式证明、近似包括组合数的计算及恒等式证明、近似计算与证明不等式、整除、二项式系数计算与证明不等式、整除、二项式系数与系数最大问题等当然，二项式定理与系数最大问题等当

12、然，二项式定理的运用不止这些，凡是涉及到乘方运算的运用不止这些，凡是涉及到乘方运算（指数是自然数或转化为自然数）都可（指数是自然数或转化为自然数）都可能用到二项式定理，认真分析题目结构，能用到二项式定理，认真分析题目结构，类比、联想、转化是重要的找到解题途类比、联想、转化是重要的找到解题途径的思考方法径的思考方法解解：（1） 中间项有两项：中间项有两项：（2）t3， t7 ， t12 ， t13 的系数分别为：的系数分别为：例三、已知二项式例三、已知二项式 ( a + b )15 （1）求二项展开式中的中间项；）求二项展开式中的中间项；（2）比较）比较t3， t7 ， t12 ， t13各项系

13、数的大小，并说明理由。各项系数的大小，并说明理由。878781597878715864356435babactbabact 12151115615215,cccc31512154151115cc,cc 615415315215cccc 又又61511151215215cccc 例四、已知例四、已知a,bn，m,n z ，且，且2m + n = 0，如果二项式，如果二项式( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是常数项，的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求求 a : b 的取值范围。的取值范围。 nrrmrrrrnrmrrxbacbxaxct )12(121212121)

14、()(解：解：令令m (12 r )+ nr = 0，将，将 n =2m 代入，解得代入，解得 r = 4故故t5 为常数项，且系数最大。为常数项，且系数最大。 的系数的系数的系数的系数的系数的系数的系数的系数6545tttt 57512484123931248412bacbacbacbac即即4958 ba解得解得研究题：求二项式 ( x + 2) 7 展开式中系数最大的项，试归纳出求形如( ax + b) n 展开式中系数最大项的方法或步骤。解：设最大项为解：设最大项为 ，则：，则：1kt211kkkkttttkkkkkkkkkkkkxcxcxcxc91110101011111010102

15、)3(2)3(2)3(2)3(即即kkkkkkkkcccc111101010911010102222即即kkkkkkkkkkkk91011102)!9()!1(!102)!10(!102)!9()!1(!102)!10(!103,31138,38311kkkk则展开式中最大项为则展开式中最大项为.23107134ctt六、作业布置：六、作业布置：50(12 ).x3、求展开式中系数最大的项(1)(12 )(1 3 )(1).xxxnxx1、求的展开式中 项的系数2*212(-1)4nnxnnnxx 2 2、设设，且且，求求证证：小结：小结： （2 2） 数学思想：函数思想数学思想：函数思想a a 图象；图象； b b 单调性；单调性；c c 最值。最值。（3 3） 数学方法数学方法 ： 赋值法赋值法 、递推法、递推法（1 1）二项式系数的三个性质）二项式系数的三个性质对称性增减性与最大值各二项式系数和例例1 1、求值：、求值：（1 1） 能被能被10001000整除整除19910例例2 2、求证：、求证：5105410631072108110910333333 ) 2(ccccc1055845635425215222221 ) 1 (ccccc91081