第二节罗尔中值定理及其应用

1、定理定理3.2 (罗尔定理罗尔定理) (1) 在在闭区间闭区间a, b上连续上连续;(2) 在开区间在开区间(a, b)内可导内可导;(3)()(bfaf ,),( 内内至至少少存存在在一一点点则则在在开开区区间间ba使得使得. 0)( f3.2 罗尔中值定理及其应用罗尔中值定理及其应用ab1 2 xyo)(xfy c证证,)(上连续上连续在在因因baxf若函数若函数 f (x) 满足满足:必有最大值必有最大值m和最小值和最小值m.,)1(mm 若若,)(,mxfbax 则则),(ba . 0)( f有有),(),(bafm 设设. 0)( f,),(,)2(内内取取得得在在则则最最大大、最最

2、小小值值有有一一个个若若bamm ),()(, fxfbax 则则由由费尔马引理费尔马引理 推论推论3.2 可微函数可微函数 的任意两个零点之间至少的任意两个零点之间至少 有有 的一个零点的一个零点)(xf)(xf 例例1 证明证明 是是方程方程 的唯一实根的唯一实根.证证, 1)( xexfx令令,),()(内连续、可导内连续、可导在在则则xf. 0)0( f显然显然, 00 x设设另另有有. 0)(0 xf使使), 0(0之间之间在在存在存在x )0( , 0)( f),0( , 01)( xexfx而而矛盾矛盾.0 xxex 1由由罗尔定理罗尔定理,原命题得证原命题得证.使得使得例例2

3、设常数设常数 满足满足:01210 ncccn试证方程试证方程010 nnxcxcc分析：分析：注意到注意到 121012nnxncxcxcnnxcxcc 10)(xf在在(0, 1)内存在一个实根内存在一个实根.nccc,10证证 设设,12)(1210 nnxncxcxcxf,1 , 0)(上上连连续续在在xf, 0)1()0( ff且且 由由罗尔定理罗尔定理,)1 , 0( 内内至至少少存存在在一一点点在在, 0)( f使得使得即即, 010 nnccc .为所求实根为所求实根即即 x在在(0, 1)内可导内可导,在在0, 1上二阶可导上二阶可导, 且且)(xf, 0)1()0( ff则

4、在则在 内至少存在一点内至少存在一点, ),()(xxfxf ),1,0(1 例例3 若若证证)1 ,0(使得使得. 0)( f使得使得. 0)(1 f),()()(xfxxfxf 0)()0(1 ff上使用上使用罗尔定理罗尔定理, 0)(1 在在对对xf ),1,0(), 0(1 使得使得. 0)( f上上在在对对 1 , 0)()(xxfxf 使用使用罗尔定理罗尔定理,两种常用的构造辅助函数的方法：两种常用的构造辅助函数的方法： 1. 常数常数k 法法基本思路是令待证等式中的常数为基本思路是令待证等式中的常数为k， 通过通过恒等变形将含有的式子写成恒等变形将含有的式子写成 的形式，的形式，

5、 )()(bfaf 然后用罗尔定理然后用罗尔定理则则 就是需要的辅助函数就是需要的辅助函数,)(xf进行证明进行证明.例例4 设设证证明明内内可可导导在在上上连连续续在在,),(,)(babaxf分析分析证证，设设kxxxfxf )()(令令上使用上使用在在对对,)(baxf罗尔定理罗尔定理,)()()()( ffabaafbbf ,)()(kabaafbbf 整理得整理得,)()(kaaafkbbbf ),(ba 使得使得. 0)( f故故).()()()( ffabaafbbf ，0)()( kff即即使使得得内内至至少少存存在在一一点点在在,),( ba2. 因子法因子法如果待证等式为如

6、果待证等式为 如果如果. 0)()()()( xxvxfxuxf),()()(xgxfxf 作辅助函数作辅助函数, 0)()()()()( xxgxfxgxff且且只要只要.)()()()(xgxvxgxu )()() )(ln)()(xuxvxgxgxg 因此因此, 另一因子另一因子 可通过可通过)(xg确定确定.( f (x)是一个因子是一个因子)()()()()()(xhxfxvxfxuxf 则则. 0)()()()( xxvxfxuxf )(2)(ff 问题转化为证问题转化为证证证 设辅助函数设辅助函数),()(2xfxxf )(xf在在0, 1上用上用罗尔定理罗尔定理, )1 ,0( 使得使得即有即有例例5 设设.)(2)( ff 分析分析:0)()(2)(2 fff, 0)(2)( xxfxfx, 0)1(,)1 , 0(,1