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文档简介
1、定积分在物理中的应用目录:11 定积分的定义 第2页22 定积分的几何意义 第3页33 变力作功 第4页44 质点作变速直线运动的路程 第5页55 曲边梯形的面积 第6页66 引力问题 第9页77 水压力问题 第12页 定积分在物理中的应用摘要:定积分在物理学中应用,可以说是定积分最重要的应用之一。正是由于微积分的发展,使得物理学中精确测量,计算成为可能,从而使物理学得到长足发展。关键字: 定积分 物理定积分的定义:设函数f(x)在a,b上有界,在a,b中任意插入若干个分点 a= . =b 把区间a,b分成n个小区间 ,. ,。 在每个小区间,上任取一点 (),作函数值f()与小区间长度的乘积
2、,并作出和 如果不论对a,b怎样分法,也不论在小区间上的点怎样取法,只要当区间的长度趋于零时,和s总趋于确定的极限i, 这时我们称这个极限i为函数f(x)在区间a,b上的定积分, 记作: 即: 定积分的几何意义 当时,是曲边梯形的面积当时,是曲边梯形的面积的负值定积分可视为对连续量求和离散量求和 自变量从1离散地变到n连续量求和 自变量连续地从变到对积分变量的说明:, 只是求和指标,是哑元用什么字母表示无关 同理 注意:这与不定积分有本质的区别,不定积分中,积分变量是不能随便改的两个规定:1、 当时,规定 2、 当时,规定 这个等式不论a,b谁大谁小均成立 例1 变力作功个质量为m的人造卫星,
3、要把它从地面送上太空,要计算地心引力对它作的功,如果把铅垂线选作轴,则这时的力为。 常力作功: (功=力距离) 变力是随变化的连续量,功具有可加性,考虑将其一点点求和。因此这是个连续量连续作用的积累问题分4步解决1、分割 在区间中插入个分点。第个小区间为,长度为,2、取近似 当很小时,可以认为的变化较小, 取,则质点从到过程中,力所作的功 3、求和 力所作的总功4、取极限 记,则例2 质点作变速直线运动的路程设质点作变速直线运动,速度为,求质点在时间间隔内所走过的路程,匀速直线运动: 路程=速度时间 变速怎么样? 路程具有可加性因此这是个连续量连续作用的积累问题分4步解决1、分割 在区间中插入
4、个分点:。第个小区间为,长度为,2、取近似 当很小时,可以认为的变化较小, 取,则质点从到过程中,所走过的路程 3、求和 在内走过总路程4、取极限 记,则 例3 曲边梯形的面积 所谓曲边梯形,是指由三条直边及一条曲边所围成的图形。垂直于底边的直线交曲边只有一点。设三条直边为 ,曲边是连续曲线 分4步解决1、分割 在区间中插入个分点。第个小区间为,长度为,2、取近似 当很小时,可以认为的变化较小, 取,则小曲边梯形的面积近似于 3、求和 曲边梯形的面积 4、取极限 记,则 设想曲边梯形是由线段当从a变到b时扫出来的(图7-5)。如果函数等于常数,这时图形是矩形,面积很易求得。对一般的连续函数,困
5、难就在于当从a变到b时,也在连续的变化。因此,求曲边梯形的面积,也就是求一个连续量连续变化的“积累”问题,从这个意义来看,例3是例1、例2的几何“解释”。这些例子,都归结为求某种和式的极限。我们把它概括抽象出来,便得到下面的定积分定义。定义 设函数在区间上有定义用分点 将区间任意分成n个小区间,小区间的长度为 ,记,在每个小区间上任取一点,作和式若当时,和式的极限存在(设为i),则称在是可积的,极限值i称为在的定积分,记作概括起来,也就是 注1 这是一种新的极限注2 极限的存在与否与的分法无关,与的取法无关!注3 和式 称为黎曼和 分别称为积分下限和积分上限,积分区间 称为被积函数,称为积分变
6、量定积分是一个数,是黎曼和的极限等价定义: ,当时,有,对的任意分法及,当时,有注意两个任意对区间的分法任意和在子区间的取法任意。正因为此,使黎曼和的极限比通常函数的极限复杂得多。对函数极限,当时,对每个来说,是唯一确定的;而对黎曼和极限,当时,不是唯一确定的,这时,区间的分法有无穷多种,对每一个分法,的取法又有无穷多种。等价定义:设在有定义,是一个确定的数,若,对的任意分法及,当时,有 则称为在的定积分,记作并称在可积。变力使质点沿直线从移到时所作的功是在的定积分(作用的方向与位移的方向重合) 变速直线运动的质点所走过的路程是速度在时间区间上的定积分,即 例四 引力问题质量分别为,的质点,相
7、距r,二者间的引力: 大小: 方向: 沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力,则需用积分解决.设有一长度为l,线密度为的均匀直棒,在其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点m.式计算该棒对质点的引力. 解:建立坐标系如图.细棒上小段 对质点的引力大小为 (分割)故垂直分力元素为 (取近似)棒对质点的引力的垂直分力为 (求和取极限)棒对质点引力的水平分力故棒对质点的引力大小为说明1. 当细棒很长时,可视为无穷大,此时引力大小为 (极限思想)方向与细棒垂直且指向细棒. 2. 若考虑质点克服引力沿y轴从a处移动到b(ab)处时克服引力作的功,则有 (假设在小段上力恒定) (ab上求和取极限)3.当质点位于棒的左端点垂线上时,注意正负号 引力大小为1. 用定积分求一个分布在某区间上的整体量q的步骤:11 先用微分分析法求出它的微分表达式一般微分的几何形状有:条、段、环、带、扇、片、壳等.22 然后用定积分来表示整体量q,并计算他.2. 定积分的物理应用:变力做功,侧压力,引力,转动惯量等.在高中物理中还有很多例子,比如我们学过的瞬时速度,瞬时加速度、感应电动势、引力势能等都用到了微积分思想,所有这些例子都有它的共性。作为大学知识在高中的应用,虽然微积分高中不要求,但他的思想无不贯穿整个高中物理。“微积分
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