高中数学弧度制

1、1.1.角度制的定义角度制的定义规定周角的规定周角的1/3601/360为为1 1度的角，这种用度做单位来度量角的度的角，这种用度做单位来度量角的制度叫角度制制度叫角度制. .2 2、弧长公式及扇形面积公式、弧长公式及扇形面积公式180n rlp=2360n rsp= 我们把用度做单位来度量角的制度叫做角我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到一种度量角的制度用到一种度量角的制度 在角度制下，当把两个带着度、分、秒在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率各单位的角相加、相减时，由于运算

2、进率非十进制，总给我们带来不少困难那么非十进制，总给我们带来不少困难那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？法一样去做呢？ 弧度制弧度制 ：单位符号单位符号 ：rad读作：读作：弧度弧度 定义：定义： 我们把长度等于我们把长度等于半径长半径长的弧所对的的弧所对的圆心角圆心角叫做叫做1弧度的角弧度的角，即用弧度制度量时，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于这样的圆心角等于1rad。 aob=1radoabrad1ol =rroacrad2orrl2= = aoc=2rad圆心角

3、圆心角aobaob的弧度数的绝对值等于的弧度数的绝对值等于它所对的弧的长与半径长的比它所对的弧的长与半径长的比. .1弧度弧度rl=roab1弧度弧度 rl=roab与与半径长有关半径长有关的一个比值的一个比值若圆心角若圆心角aobaob表示一个负角，且它所对的弧的长为表示一个负角，且它所对的弧的长为3r3r，则则aobaob的弧度数的绝对值是的弧度数的绝对值是lr=3，即即aob=lr=3弧度弧度l=3roabr-3弧度弧度 (1)正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零角的弧度数是0(2)角角 的弧度数的绝对值的弧度数的绝对值 )(为

4、半径为弧长 rlrl=（(4)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是但量数相同（都是0）(5)用角度制和弧度制来度量任一非零角，用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同单位不同，量数也不同。 (3)以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做 弧度制弧度制 lr= 则则aob= 2弧度弧度此角为周此角为周角角 即为即为360360= 2 弧度弧度180= 弧度弧度l=2 roa(b)r若若l=2 r，角度与弧度间的换算角度与弧度间的换算把角度换成弧度把角度换成弧度rad2360=rad180 = =

5、radrad01745.01801=把弧度换成角度把弧度换成角度 185730.571801=rad角度与弧度间的换算角度与弧度间的换算例例1把下列各角化为弧度把下列各角化为弧度（1）30（2）5（3）-45角度制与弧度制互化时要抓住角度制与弧度制互化时要抓住弧度这个关键弧度这个关键=180例例2把下列把下列 各角化为度：各角化为度：rad65) 1 (）精确到1 . 0(2)2(rad特殊角的角度与弧度换算表：特殊角的角度与弧度换算表：角度角度003004506009001200135015001800弧度弧度64322334560角度角度 2100225024002700300031503

6、3003600弧度弧度7654433253741162oxy06432233456765443325374116注意几点： 1度数与弧度数之间换算。2今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad sin表示rad角的正弦3一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住。 4.4.用弧度来度量角，实际上角用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集的集合与实数集r r之间建立一之间建立一一对应的关系：一对应的关系： 实数集实数集r r 角角的的集合集合正正角角零角零角负角负角正正实数实数零零负负实数实数对应角的对应角的弧度数弧度数弧度制是以弧度制是以“弧度弧度”为单位度量角

7、的制度，角度制为单位度量角的制度，角度制是以是以“度度”为单位度量角的制度；为单位度量角的制度； 的大小，而是圆的所对的圆心角的大小，而是圆的所对的圆心角136011弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小；的大小；不论是以不论是以“弧度弧度”还是以还是以“度度”为单位的角的大小都为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值是一个与半径大小无关的定值终边相同的角终边相同的角（1）用角度表示）用角度表示（2）用弧度表示）用弧度表示zkks=,2|与与 终边相同的角可以表示为：终边相同的角可以表示为： zkk，360zkk，2它们构成一个集合：它们构成一个集合：

8、zkks=,360|与与 终边相同的角可以表示为：终边相同的角可以表示为： 它们构成一个集合：它们构成一个集合： 把下列各角化成把下列各角化成的形式：的形式：kk，202（1）；（）；（2）；（）；（3）316315711说明：说明：在用四则运算表示角时，单位要统一，不能出在用四则运算表示角时，单位要统一，不能出现例如现例如300+2k , ,或或 /2+k/2+k. .3603600 0等等错误表示法错误表示法！ 用弧度制表示用弧度制表示弧长弧长及及扇形面积扇形面积公式：公式： 弧长弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积的绝对值与半径的积. 弧长公

9、式：弧长公式：= rl由公式：由公式：=rl= rl比公式比公式 简单简单.180rnl= 扇形面积公式扇形面积公式 lrs21=其中其中l是扇形弧长，是扇形弧长，r是圆的半径。是圆的半径。证明：设扇形所对的圆心角为证明：设扇形所对的圆心角为n(rad)，则，则2213602nsrr=又又 r=l，所以，所以lrs21=例例4. 在半径为在半径为r的圆中，的圆中，240 的中心角所对的的中心角所对的弧长为弧长为 ，面积为，面积为2r2的扇形的的扇形的中心角等于中心角等于 弧度。弧度。解：（解：（1）240= ，根据，根据l=r，得，得4343lr=（2）根据）根据s= lr= r2，且，且s=

10、2r2.2121所以所以 =4.例例5 5 已知扇形的周长为10cm, 面积为4cm2,求扇形的圆心角.解: 设扇形的圆心角的弧度数为 , 弧长为l,半径为r,(02 )分析:要求圆心角,根据公式 ,需求弧长l及半径r.|lr=根据题意:210 lr=14 2lr =由得 ,102lr=代入得2540rr=12解得 r =1,r =4当r=1时,l=8cm时,82lr=当r=4时,l=2cm时,12lr=舍去所求扇形的圆心角的弧度数为12已知扇形已知扇形oaboab的圆心角为的圆心角为4 4，其面积，其面积2cm2cm2 2，求扇形的周长和弦，求扇形的周长和弦abab的长。的长。 1 1、已知

11、扇形周长为、已知扇形周长为6cm6cm，面积为，面积为2cm2cm2 2，则扇形，则扇形圆心角的弧度数为圆心角的弧度数为 a a、1 b1 b、4 c4 c、1 1或或4 d4 d、2 2或或4 4c 2 2、当圆心角、当圆心角=-216=-216o o，弧长，弧长l l =7cm=7cm时，其半径时，其半径r=_r=_35cm6 3 3、在半径为、在半径为 的圆中，圆心角为周角的的圆中，圆心角为周角的 的角的角所对圆弧的长为所对圆弧的长为_30 2340 4 4、若、若2 rad2 rad的圆心角所对的弧长是的圆心角所对的弧长是4cm4cm，则这个，则这个圆心角所在扇形的面积为圆心角所在扇形的面积为_4cm28.8.已知扇形的周长为已知扇形的周长为20 cm20 cm，当扇形的中心角，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积，最大面积是多少为多