2020_2021学年新教材高中数学第13章立体几何初步章末综合测评含解析苏教版必修第二册

1、章末综合测评(五)立体几何初步(满分：150分时间：120分钟) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1给出以下四个命题：不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点a，b，c，d共面，点a，b，c，e共面，则点a，b，c，d，e共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面其中正确命题的个数是()a0 b1c2d3b假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确；如图，两个相交平面有三个公共点a，b，c，但a，b，c，d，e不共

2、面，所以不正确；显然不正确；不正确因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形2设l为直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是()a若l，l，则b若l，l，则c若l，l，则d若，l，则lb对于a，若l，l，则和可能平行也可能相交，故错误；对于b，若l，l，则，故正确；对于c，若l，l，则，故错误；对于d，若，l，则l与的位置关系有三种可能：l，l，l，故错误故选b3如图，已知pa矩形abcd所在的平面，则图中互相垂直的平面有()a1对b2对c3对d5对ddaab，dapa，da平面pab同理bc平面pab，又ab平面pad，dc平面pad，平面pad平面ac，平面pab平面ac

3、，平面pbc平面pab，平面pab平面pad，平面pdc平面pad，共5对4如图所示，若斜线段ab是它在平面上的射影bo的2倍，则ab与平面所成的角是()a60b45c30d120aabo即是斜线ab与平面所成的角，在rtaob中，ab2bo，所以cosabo，即abo60.5设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()aa2 ba2ca2d5a2b由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，p为三棱柱上底面的中心，o为球心，易知apaa，opa，所以球的半径roa满足r2a2，故s球4r2a2.6已知平面平面，p是，外一点，过点p

4、的直线m与，分别交于a，c两点，过点p的直线n与，分别交于b，d两点，且pa6，ac9，pd8，则bd的长为()a16b24或 c14d20b由得abcd分两种情况：若点p在，的同侧，则，pb，bd；若点p在，之间，则有，pb16，bd24.7在正方体abcda1b1c1d1中，若经过d1b的平面分别交aa1和cc1于点e、f，则四边形d1ebf的形状是()a矩形b菱形c平行四边形d正方形c因为过d1b的平面和左右两个侧面分别交于ed1、bf，所以ed1bf，同理d1feb，所以四边形d1ebf是平行四边形8如图，在边长为1的正方形abcd中，点e，f分别为边bc，ad的中点，将abf沿bf所

5、在的直线进行翻折，将cde沿de所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法错误的是()a无论翻折到什么位置，a、c两点都不可能重合b存在某个位置，使得直线af与直线ce所成的角为60c存在某个位置，使得直线af与直线ce所成的角为90d存在某个位置，使得直线ab与直线cd所成的角为90d在a中，点a与点c一定不重合，故a正确；在b中，存在某个位置，使得直线af与直线ce所成的角为60，故b正确；在c中，当平面abf平面bedf，平面dce平面bedf时，直线af与直线ce垂直，故c正确；在d中，直线ab与直线cd不可能垂直，故d错误故选d二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每

6、小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9下列命题为真命题的是()a若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合b若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直c垂直于同一条直线的两条直线相互平行d若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直bd两个平面相交时，也有无数个公共点，a错；比如a，b，c，显然有ab，ac，但b与c也可能相交，c错故选bd10正方体abcda1b1c1d1中，e为线段b1d1上的一个动点，则下列结论中正确的是()aacbebb1e平面abcdc三棱锥eabc的体积为定值db1

7、ebc1abc因为ac平面bdd1b1，故a正确；因为b1d1平面abcd，故b正确；记正方体的体积为v，则veabcv，为定值，故c正确；b1e与bc1不垂直，故d错误. 选abc11如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点m、n、p分别为其所在棱的中点，能得出l平面mnp的图形为()abcdad如图所示，正方体abcdabcd.连接ac，bdm、p分别为其所在棱的中点，mpac四边形abcd为正方形，acbd，bb平面abcd，ac平面abcd，bbac，acbd，bdbbb，ac平面dbb，db平面dbb，acdb.mpac，dbmp，同理，可证dbmn，dbnp，mpnp

8、p，mp平面mnp，np平面mnp，db平面mnp，即l垂直平面mnp，故a正确在d中，由a中证明同理可证lmp，lmn，又mpmnm，l平面mnp.故d正确故选ad12. 在正方体abcda1b1c1d1中，m，n，q分别是棱d1c1，a1d1，bc的中点，点p在bd1上且bpbd1，则下面说法正确的是()amn平面apcbc1q平面apcca，p，m三点共线d平面mnq平面apcbc如图，对于a，连接mn，ac，则mnac，连接am，cn，易得am，cn交于点p，即mn平面apc，所以mn平面apc是错误的对于b，由知m，n在平面apc内，由题易知anc1q，且an平面apc，c1q平面a

9、pc所以c1q平面apc是正确的对于c，由知，a，p，m三点共线是正确的对于d，由知mn平面apc，又mn平面mnq，所以平面mnq平面apc是错误的选bc三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13已知正六棱柱的侧面积为72 cm2，高为6 cm，那么它的体积为_cm3.36设正六棱柱的底面边长为x cm，由题意得6x672，所以x2 cm，于是其体积v226636 cm3.14已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为_，体积为_3设圆锥的底面半径为r，根据题意，得2r2，解得r1，根据勾股定理，得圆锥的高为，所以圆锥的表面积s22123，体

10、积v12.15棱长为1的正四面体内有一点p，由点p向各个面引垂线，垂线段分别为d1，d2，d3，d4，则d1d2d3d4的值为_设四面体的高为h，则h，shs(d1d2d3d4)，d1d2d3d4h.16已知棱长为的正方体abcda1b1c1d1内有一圆柱，此圆柱恰好以直线ac1为轴，则该圆柱侧面积的最大值为_由题意知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，由图形的对称性可知，侧面积最大时，圆柱的上底面必与过a点的三个面相切，且切点分别在线段ab1，ac，ad1上，如图所示，设线段ab1上的切点为e，ac1与平面a1bd的交点为o2，圆柱上底面的圆心为o1，半径即为o1e，记为r，设 a

11、b1与平面a1bd的交点为f.正方体abcda1b1c1d1的棱长为，ac13，a1bbda1d.由题意知，o2fdf，ao2ac11.由o1eo2f知，ao1o1e，则圆柱的高为32ao132r，s侧2r(32r)44，当r时，圆柱的侧面积取得最大值，最大值为.四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图，正方体abcdabcd的棱长为a，连接ac，ad，ab，bd，bc，cd，得到一个三棱锥求：(1)三棱锥abcd的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥abcd的体积 解(1)abcdabcd是正方体，六个面是互相全等的正方形，

12、acabadbcbdcda，s三棱锥4(a)22a2，s正方体6a2，.(2)显然，三棱锥aabd，cbcd，dadc，babc是完全一样的，v三棱锥abcdv正方体4v三棱锥aabda34a2aa3.18(本小题满分12分)如图，在三棱锥abcd中，abad，bcbd，平面abd平面bcd，点e，f(e与a，d不重合)分别在棱ad，bd上，且efad求证：(1)ef平面abc；(2)adac证明(1)在平面abd内，因为abad，efad，所以efab又因为ef平面abc，ab平面abc，所以ef平面abc(2)因为平面abd平面bcd，平面abd平面bcdbd，bc平面bcd，bcbd，所

13、以bc平面abd因为ad平面abd，所以bcad又abad，bcabb，ab平面abc，bc平面abc，所以ad平面abc又因为ac平面abc，所以adac19(本小题满分12分)如图，圆锥的轴截面sab为等腰直角三角形，q为底面圆周上一点(1)若qb的中点为c，求证：平面soc平面sbq；(2)若aoq120，qb，求圆锥的表面积解(1)证明：sqsb，oqob，c为qb的中点，qbsc，qbocscocc，qb平面soc又qb平面sbq，平面soc平面sbq.(2)aoq120，qb，boq60，即obq为等边三角形，ob.sab为等腰直角三角形，sb，s侧3，s表s侧s底33(33).2

14、0(本小题满分12分)如图所示，abcd是正方形，o是正方形的中心，po底面abcd，底面边长为a，e是pc的中点(1)求证：pa平面bde；(2)求证：平面pac平面bde；(3)若二面角ebdc为30，求四棱锥pabcd的体积解(1)证明：连接oe，如图所示o，e分别为ac，pc的中点，oepaoe平面bde，pa平面bde，pa平面bde.(2)证明：po平面abcd，pobd在正方形abcd中，bdac又poaco，bd平面pac又bd平面bde，平面pac平面bde.(3)取oc中点f，连接ef.e为pc中点，ef为poc的中位线，efpo.又po平面abcd，ef平面abcd，ef

15、bdofbd，ofeff，bd平面efo，oebd，eof为二面角ebdc的平面角，eof30.在rtoef中，ofocaca，efoftan 30a，op2efa.vpabcda2aa3.21(本小题满分12分)如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，pa平面abcd，e是pc的中点，f为线段ac上一点(1)求证：bdef；(2)若ef平面pbd，求的值解(1)证明：因为pa平面abcd，bd平面abcd，所以pabd又四边形abcd是正方形，所以acbd又paaca，所以bd平面pac又ef平面pac，所以bdef.(2)设ac与bd交于点o，连接po，如图所示因为ef平面pbd

16、，平面pac平面pbdpo，且ef平面pac，所以efpo.又e是pc的中点，所以offc，所以af3fc，即3.22(本小题满分12分)如图(1)，在rtabc中，c90，d，e分别为ac，ab的中点，点f为线段cd上的一点，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1fcd，如图(2)(1)(2)(1)求证：de平面a1cb；(2)求证：a1fbe；(3)线段a1b上是否存在点q，使a1c平面deq.说明理由解(1)证明：d，e分别为ac，ab的中点，debc又de平面a1cb，bc平面a1cb，de平面a1cb(2)证明：由已知得acbc且debc，deac，dea1d，decd，又a1dcdd，de平面a1dc，而a1f平面