非正弦周期电压和

1、4.9 非正弦周期电压和电流（a）矩形波电压（b）三角波电压（c）锯齿波电压（d）全波整流波形一、非正弦周期量的傅里叶级数展开一个呈周期性变化的非正弦电压、电流或信号，可以用一个周期函数表示为)()(tktftf式中 t 为周期函数 f (t) 的周期，k = 0,1,2。一个角频率为的非正弦周期函数 f (t) ，如果满足狄里赫利条件，可以展开成一个收敛的傅里叶三角级数表示式)2sin()sin()(22110tataatfmm10)sin(kkkmtkaa式中， a0 - 为恒定分量（或直流分量），是函数 f (t) 在一个周期 t 内的平均值。第二项 - 与周期函数 f (t) 同频率，

2、)sin(11tam称为基波，也称为一次谐波。周期函数 f (t) 的傅里叶级数展开式，可写为另外一种表示形式，即)cossinsin(cos1110ttaam)2cossin2sin(cos222ttam)cossinsin(cos10tktkaakkkmk110cossinkkkktkbtkaa10)sin()(kkkmtkaatf其余k = 2 , 3各项的频率是周期函数 f (t) 的频率的整数倍，分别称为二次谐波、三次谐波 ，也统称为高次谐波。ttdtfdttfta0200)()(21)(1tkdttktfta0)sin()(2级数展开式中的各项系数，可按下列公式计算：式中kkmka

3、acos20)()sin()(1tdtktfkkmkabsin22kkkmbaakkkabarctgtkdttktftb0)cos()(220)()cos()(1tdtktf例如，图(a)所示矩形波电压在一个周期内的表示式为umumut02t求得傅里叶级数展开式中的各项系数为0200)(21)(21tdutudam0)()(212tdum（a）矩形波电压t2uum0um20)()sin(1tdtkuak0)()sin(1tdtkum2)()sin()(1tdtkum0)()sin(2tdtkum1)cos(2kkum0（k 为偶数）kum4（k 为奇数）0)cos(2tkkum0)()cos(

4、120tdtkubk则，图(a)所示矩形波电压的傅里叶级数展开式为110cossinkkkktkbtkaau)5sin513sin31(sin4tttum为奇数kktkasin类似于矩形波的分析，可得图(b)三角波形电压的傅里叶级数展开式为图(c)锯齿波形电压的傅里叶级数展开式为ttuum3sin91(sin82)5sin251ttuumsin121()3sin312sin21ttt2uum0（b）三角波电压t2uum04（c）锯齿波电压图(d)全波整流波形电压的傅里叶级数展开式为tuum2sin321 (2)4sin152t频谱图 - 将傅里叶级数展开式中的恒定分量和各次谐波的幅值，用相应长

5、度的谱线表示，各谱线在横坐标上的位置是相应谐波的角频率。0242um34um154umu/v全波整流波形的幅度频谱图t2uum0（d）全波整流波形二、非正弦周期量的有效值和平均值任一周期电流 i 的有效值 i 已经定义为tdtiti021设一非正弦周期电流 i 已经展开为傅里叶级数10)sin(kkkmtkiii则，电流 i 的有效值 i 为tkkkmdttkiiti0210 )sin(1上式根号内的积分展开后将含有下列各项：200201idtitt2202221)(sin1kkmtkkmiidttkit0)sin(2100tkkmdttkiit0)sin()sin(210tqqmkkmdtt

6、qitkit)(qk 其中：3,2, 1k3,2, 1q得非正弦周期电流 i 的有效值 i 为1220222120kkiiiiii同理可得非正弦周期电压 u 的有效值 u 为1220222120kkuuuuuu分别是基波、二次谐波等各次谐波的有效值电流。式中：,2,22211mmiiii分别是基波、二次谐波等各次谐波的有效值电压式中：,2,22211mmuuuu非正弦周期电压 u 的平均值定义为tdtut01def0u非正弦周期电流 i 的平均值定义为tdtit01def0i注：在一些教材中，非正弦周期电流 i 和电压 u 的平均值分别定义为tdtut01defavutdtit01defavi

7、，三、非正弦周期电流电路的平均功率非正弦周期电路的平均功率（有功功率），仍定义为ttuidttpdttp0011设非正弦周期电压和非正弦周期电流为10)sin(kukkmtkuuu10)sin(kikkmtkiii记ikukk（第 k 次谐波电压与电流的相位差）+ui则，非正弦周期电路的平均功率或有功功率为ttuidttpdttp0011100coskkkkiuiu210ppp10kkpp可见，非正弦周期电流电路的平均功率（有功功率）等于恒定分量和各次谐波分量的平均功率之和。四、非正弦周期电路的分析法非正弦周期电流电路的分析方法是基于正弦交流电路的相量分析法和叠加定理，称为谐波分析法。（1）运

8、用傅里叶级数将给定的非正弦周期电流或电压展开为直流分量和各次谐波分量。（2）应用相量分析法分别计算直流分量及各次谐波分量单独作用时的响应；（3）应用叠加定理将直流分量及各次谐波分量的响应在时域叠加，得到用时间函数表示的总响应。2.分析时应注意到以下几点（1）电感和电容元件对不同频率的谐波分量呈现出不同的感抗和容抗值。1.分析步骤（2）对直流分量，电感看作短路，电容看作开路。（3）总响应是各次谐波响应在时域中的叠加。不同次谐波分量的相量叠加是没有意义的，即不同频率正弦量的叠加只能用三角函数式或波形图，不能用相量叠加。ckxck1lkxlk；（4）不同频率的电压和电流不构成平均功率。210pppp

9、22211100coscosiuiuiu21,是各次谐波分量的电压与电流的相位差其中， k = 1，2，3例题 将一电感 l 为 h的电感线圈接到矩形波电源电压上，电源电压的幅值为10v，基波频率为10hz，试求电路中电流的有效值。)21 ()5sin513sin31(sin4tttuum解：矩形波电压的傅立叶级数展开式为基波的角频率为202fhz则，矩形波电源电压的表示式可写成)100sin5160sin3120(sin40tttu基波感抗1021201lxl三次谐波感抗302120333lxl五次谐波感抗502120555lxl基波电压有效值v92401u三次谐波电压有效值v3312403u五次谐波电压有效值v8 . 1512405u电流总有效值为252321iiii252321iiia91. 0036. 01 . 09 . 0222a9 . 0109111lxui基波电流有效值a1 . 0303333lxui三次谐波电流有效值a036. 0508 . 1555lxui五次谐波电流有效值a909 . 0109111jjxuila901 . 0303333jjxuila90036. 0508 . 1555jjxuil各次谐波电流相量为各次谐波瞬时电流的表示式为)90sin(211tii)9020sin(29 . 0ta)20cos(29 .