电磁波复习题

1、120 ab(1).;(2).u例2：内、外半径分别为 和 的球形电容器，上半部分填充介电常数为 的电介质，下半部分填充介电常数为 的电介质。如图所示。今在两极板间加电压，试求：电容器内的电位和电场分布电容器的电容。21212111222 2() ()sqqd dsrddqarbeeeded解：设内、外导体上分别带电和，由高斯定理有由边界条件：，可以得到12212 2 ()qeer 012120020() 2 ()2 () ( ) ()()() ( )()barbrq baue dlababuqbaabue raarbba rau brre dlba r 又由于两极板间电场和电位分布为1202

2、 () abqcuba 电容器的电容为0.8mm1.2mm例：在半径例：在半径a=1mma=1mm的非磁性材料园柱形实心导体内，沿的非磁性材料园柱形实心导体内，沿z z轴轴方向通有电流方向通有电流i=20ai=20a，试求：试求： (1). (1). 处的磁感应强度处的磁感应强度b; (2). 处的磁感应强度处的磁感应强度b; (3). 园柱体内单位长度的总磁通园柱体内单位长度的总磁通？7301.23410203.33 10221.2 10mmibeeet(2) 利用安培环路定理得利用安培环路定理得2000763 26112221 4106.37 10(1 10 )2 104aininsabd

3、sj djwb (3).利用安培环路定理得利用安培环路定理得76330.80114106.37 100.8 103.2 1022mmbejeet(1)园柱形导体内的电流密度为园柱形导体内的电流密度为62232206.37 10/(1 10 )zzzijeeea ma222000 44()4 qqqqqqqedddd、在 点处电场强度为322222 aq0(2) ()qdqqadaqd da例4 ： 已知一半径为 的导体球上带电荷为，在球外有一点电荷 距球心为 。证明：当下式成立时，点电荷 所受电场力为 。2 0qaaqqdddaqqqdd 解：当导体球带电荷为时，像电荷为，2222000222

4、20 444()1 4()aaqqqddaddddaqqaqdddda22220 4()qaqqqaqddfqedda点电荷 受电场力为22223222()()aqqaqdqdaqaqddddadda即即整理即得结果。整理即得结果。？3222()qrdrqdrd例：例： 一半径为一半径为r r的导体球带有电荷量的导体球带有电荷量q q，在球体外距球心，在球体外距球心d d处处有一点电荷有一点电荷q q。(1). (1). 求点电荷求点电荷q q与导体球之间的静电作用力与导体球之间的静电作用力; ;(2). (2). 证明：当证明：当q q与与q q同号且同号且f成立时，成立时， 表现为引力。表

5、现为引力。(1) 镜像电荷的大小和位置分别为镜像电荷的大小和位置分别为 2 0rrqqdddrqqqdd ，导体球自身电荷导体球自身电荷q置于球心，故点电荷置于球心，故点电荷q受到的电场力为受到的电场力为 22002220( )4()4(/) 4(/)qqq qqfdddqqr d qrqdd drd(2). 当当q与与q同号，且同号，且f表现为斥力，即表现为斥力，即f0时，应有时，应有 222(/)0(/)qr d qrqdd drd 由此得出由此得出 2222()qrdrqdrd q()d da例：两个点电荷例：两个点电荷 位于半径为位于半径为a的导体球直径延长线上，的导体球直径延长线上，

6、分别距球心分别距球心 ，如下图所示。求，如下图所示。求(1). 空间电位分布空间电位分布; (2). 两个点电荷分别受到的静电力两个点电荷分别受到的静电力; (3).两个点电荷的像电两个点电荷的像电荷构成的中心位于球心的电偶极子的电偶极矩。荷构成的中心位于球心的电偶极子的电偶极矩。？01() () 4aqqqqqqqqrarrrra () (ara与电位参考点选取有关与电位参考点选取有关) aqqd qq(1)选择点电荷选择点电荷的像电荷分别为的像电荷分别为，其中，其中，分别距球心，分别距球心,空间的电位分布为：空间的电位分布为： 2add 22204()()4qqqqqqffddddd (2

7、)322( )llaapq lq dd eqedd (3)0例：厚度为例：厚度为h h的导体平板做成半园环，如下图所示。导体的电的导体平板做成半园环，如下图所示。导体的电导率为导率为 求半园环的电阻。求半园环的电阻。，设电极，设电极a a、b b的电导率的电导率如果在电极间加电压如果在电极间加电压u u，求半园环的功率损耗。，求半园环的功率损耗。 ？121 lnrsruueejeeruuhij dshdr21ln(/)urihrr2221lnruu hprr解：设电极解：设电极a、b间加电压为间加电压为u，则，则 半园环的电阻为半园环的电阻为 半园环的功率损耗为半园环的功率损耗为 labnn、

8、abii、例：两个同轴的螺线管，重叠部分长为例：两个同轴的螺线管，重叠部分长为 ，单位长度上分，单位长度上分别绕有别绕有 匝线圈，通有方向相反的电流匝线圈，通有方向相反的电流 ，设两线，设两线圈半径相等，均为圈半径相等，均为r，忽略边缘效应，请用虚位移法求两线，忽略边缘效应，请用虚位移法求两线圈间相互作用力。圈间相互作用力。螺线管内的磁场强度分别为螺线管内的磁场强度分别为 axa abxb bhe n ihe n i ？0()()xaabbxaabbhe n in iben in i22011()22maabbvwh bdvn in ir l 12201|()2abmicaabbicwfn i

9、n irl 在重叠部分，合磁场为在重叠部分，合磁场为 0f l，说明作用力沿，说明作用力沿减小的方向，即为排斥力减小的方向，即为排斥力。重叠部分的磁场能为重叠部分的磁场能为相互作用力为相互作用力为 ( )0()() 0 (2.3)bebttb 得常数 ( )0() () dhjthjdtdttd 证明：两边取散度有得 (2.4) 例5：试证明：由麦克斯韦的两个旋度方程和连续性方程可导出两个散度方程。例例6：试利用麦克斯韦方程，推导无源空间磁场强度满足：试利用麦克斯韦方程，推导无源空间磁场强度满足的波动方程。的波动方程。解：在无源空间，在线性、各向同性的均匀媒质中，解：在无源空间，在线性、各向同

10、性的均匀媒质中，e、h满足的麦克斯韦方程为满足的麦克斯韦方程为(4) 0(3) 0(2) (1) ehtheteh 对对(1)式两边取旋度，有式两边取旋度，有)(eth ？将将(2)式代入上式，得到式代入上式，得到022 thh 利用矢量恒等式利用矢量恒等式 ，和式，和式(3)，即，即可得可得h在无源空间服从的波动方程在无源空间服从的波动方程hhh2 )(0222 thh 例：频率例：频率 的线极化均匀平面电磁波，其电场的线极化均匀平面电磁波，其电场强度振幅为强度振幅为2 v/m，从空气垂，从空气垂v直入射到直入射到 的理的理想介质平面上，求：想介质平面上，求： (1).反射系数、透射系数、驻

11、波比反射系数、透射系数、驻波比; (2).入射波、反射波、透射波的电场和磁场入射波、反射波、透射波的电场和磁场; (3). 入射功率和透射功率。入射功率和透射功率。mhzf30014rr、解：设入射波为解：设入射波为x方向的线极化波，沿方向的线极化波，沿z方向传播方向传播 (1). 波阻抗波阻抗60 120002001rr反射系数、透射系数、驻波比为反射系数、透射系数、驻波比为1 21 22122 321211 3 ？(2). 入射波、反射波、透射波的电场和磁场：入射波、反射波、透射波的电场和磁场：42 22 5 . 0 1 3002211221k，kmfcfvm，fcmhz，fr224400

12、241 345jk zjk zjzjztxixtyiyeee eeehee eee1122001112 60jk zjk zjzjzixixiyiyee e eeehee eee112200121 3180jk zjk zjzjzrxixryiyeee eeehee eee (3). 入射波、反射波、透射波的平均功率密度为入射波、反射波、透射波的平均功率密度为22*20111re/22540iavrrrzzeseheew m 2*20111re/2260iaviiizzeseheew m22*20212re/22135iavtttzzeseheew m899( ) 30 3 109 101 c

13、os(9 1030)3yakvck chatz 解：由有1 /30030/( );( )a mztzhyrad maehb例11：电磁波磁场振幅为，在自由空间沿方向传播，当，时， 在方向，相位常数。写出 、 的表达式求频率和波长。991 120cos(9 1030)3 40cos(9 1030)xxeatzatz99 ( ) /29 10 /21.43 10 2 15bfhzmk 0000r 50012022 0.1222 0.08 1.131.992.5rrrrrehkkfghz 解：联立求解以上三式，可得：、 12850/0.1 /rrcmcmehv ma m例12：空气中某一均匀平面波的

14、波长为，当该平面波进入某无损媒质中传播时，其波长减小为，且已知在媒质中的、 的振幅分别为和。求该平面波的频率和媒质的 、 。例例1919：在自由空间，一均匀平面波垂直入射到半无限大的无：在自由空间，一均匀平面波垂直入射到半无限大的无耗介质平面上，己知在自由空间中合成波的驻波比为耗介质平面上，己知在自由空间中合成波的驻波比为3 3，介质，介质内传输波的波长是自由空间的内传输波的波长是自由空间的1/61/6，且分界面为驻波电场最小，且分界面为驻波电场最小点，求介质的相对磁导率知相对介电常数。点，求介质的相对磁导率知相对介电常数。解：因为驻波比解：因为驻波比131s 由此解出由此解出12 因分界面是

15、驻波电场的极小值，故因分界面是驻波电场的极小值，故 。而。而12 反射系数反射系数2121 ？式中式中 ，于是，于是10 1202202rr12 20131 (1)9rr又又2 2区的波长区的波长002222226rrk 得得36 (2)rr 联解联解(1)(1)、(2)(2)得得218rr， 例：例：有一复振幅矢量为有一复振幅矢量为 （v/m）的均匀平）的均匀平面面( )200jk xye zee 电磁波，由真空中垂直入射到位于电磁波，由真空中垂直入射到位于x=0的理想导体平面上。的理想导体平面上。设电磁波的工作频率为设电磁波的工作频率为100mhz，求：，求：（1）平面波的传播常数、波阻抗

16、和反射系数；）平面波的传播常数、波阻抗和反射系数；（2）空气中反射波电场和磁场的复矢量表达式和瞬时表达式）空气中反射波电场和磁场的复矢量表达式和瞬时表达式（3）反射波能流密度矢量在一个周期内的平均值）反射波能流密度矢量在一个周期内的平均值 880080(1) 2210 / 3 10 = =3 377 1022 = = / 13frad scmfkrad m 23( )200200 /jxjkxryyezeeeev m 223315( )() ()2001203jxjxxyzh zeeeee 232( , )re200200cos() /352( , )cos() /33jxj tyyze x

17、teeeetx v mh x tetx a m *11000re23avrrxsehe (2). 反射波电场复矢量为反射波电场复矢量为 反射波磁场复矢量为反射波磁场复矢量为反射波电场、磁场瞬时表达式为反射波电场、磁场瞬时表达式为 (3). 反射波的平均波印廷矢量为反射波的平均波印廷矢量为 例：设一电磁波，其电场沿例：设一电磁波，其电场沿x方向，频率为方向，频率为1ghz，振幅为，振幅为100v/m,1区的为自由空间，波由区的为自由空间，波由1区垂直入射到区垂直入射到2区无损耗区无损耗介质介质( )平面。平面。(1) 求每一区域的波阻抗和传播常数；求每一区域的波阻抗和传播常数；(2) 分别求两区

18、域中的电场、磁场的瞬时表达式。分别求两区域中的电场、磁场的瞬时表达式。 9122rr、911 1222(1) 1 210/ 20.9/ 20.92.130.3/ rrfghzrad mrad scrad sc 解：010 120 020120 120260.5 2.1rrrr ？2121221260.53770.183 260.537722260.50.813 260.5377 991919100cos(21020.9 )18.3cos(21020.9 ) 1(100cos(21020.9 )120 18.3cos(21020.9 ) irxyeeeatztzhatztz9292 81.7co

19、s(21030.3 )81.7 cos(21030.3 ) 260.5xyeatzhatz112220.9 30.3 jjjj0()j zixyee ee j e 例：一右旋圆极化波垂直入射到位于例：一右旋圆极化波垂直入射到位于z=0z=0的理想导体板上的理想导体板上, ,其电其电场强度的复数表达式为场强度的复数表达式为 ， (1). (1). 确定反射波的极化方式确定反射波的极化方式; ; (2). (2). 求导体板上的感应电流求导体板上的感应电流; ; 0()0irzee 据理想导体的边界条件据理想导体的边界条件, ,在在z=0z=0时有时有0rxee 0ryeje故得故得(1)(1)设

20、反射波的电场强度为设反射波的电场强度为()j zrxrxyryee ee ee 0()j zrxyeeee j e则则可见可见, ,反射波是一个沿反射波是一个沿-z-z方向传播的左旋圆极化波。方向传播的左旋圆极化波。？0112 ( ) ( )( )()cos irxyehzh zhzjaaz00110122 ()()cos()cos 2 ( , )re(cossin)cos szxyxyj tssxyeejajaazajazejz tj eatat 0011 ( )()() () j zj zrzxyyxeehzaajaeaja e 0011 (2) ( )() () j zj zizxyxyeeh zaajaejaae1122211110 (2) sin ()sin1 sin39.232.5rrcrrnn 2.51(1);(2)rr例20：电磁波从空气斜入射到媒质参数为，的介质平板上，求使电磁波的电场平行于入射面时不产生反射的入射角若电磁波是从介质入射到空气，求在介质与空气分界面处电磁波产生全反射时的临界角。/1102b/1(1) 2.5 57.681ibtgtg解： 平行极化不产生反射，应有2310mmm