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1、例说不等式中恒成立问题的求解思路湖北通城县第一中学 沈振华 不等式中恒成立问题是各类考试中的常见题型，其解法灵活。那么，如何求解呢？下面通过例题加以说明。 一、分离参数，转化为求函数的最值例1 设f(x)是定义在(-，3上的减函数，已知f(a2-sinx)f(a+1+cos2x)对于xr恒成立，求实数a的取值范围。分析：应在定义域和增减性的条件下去掉函数符号f，使a从f中解脱出来。解：原不等式等价于a+1+cos2xa2-sinx3对xr恒成立，即 a23+sinx, a2-a1+cos2x+sinx 对xr恒成立。 令t(x)=3+sinx,则对xr恒成立a2t(x)min=2. 令s(x)

2、=1+cos2x+sinx=-(sinx-)2+，则对xr恒成立a2-as(x)max=. 由、，可得所求实数a的取值范围是-。点拔：用这种方法求恒成立不等式中的变量取值范围问题可分三步：第一步先分离参数，第二步求分离后有关函数的最值，第三步解关于参数的不等式。二、构造函数，借助函数的单调性例2 已知f(t)=log2t,t,8,若对f(t)值域内的所有实数m，不等式x2+mx+42m+4x恒成立，求x的取值范围。解：因t,8,故f(t),3,从而m,3。原问题转化为m(x-2)+(x-2)20,m,3时恒成立，显然x2,令g(m)=m(x-2)+(x-2)2,为m的一次函数，则应当g(m)在

3、m,3上恒正，故g()0,即 (x-2)+(x-2)20,解得x2或x0, 3(x-2)+(x-2)20x的取值范围是(-，-1)(2，+)。点拔：根据已知条件转化为以参数为变元的不等式，构造一次函数，利用一次函数的单调性求解。例3：设f(x)是r上的奇函数，且对任意的实数a、b，当a+b0时，都有f(a)+f(b)(a+b)0.如果不等式f()f()对一切nn*恒成立，求m的取值范围。分析：要求m的范围，需根据已知条件确定f(x)的单调性，再去掉函数符号f.解：不妨设ab，则a+(-b)0。由f(a)+f(-b)a+(-b)0,得f(a)+f(-b)0.又f(x)是奇函数，故f(a)-f(b)0,即f(a)f(b)，所以f(x)是r上的增函数。原问题等价于对一切nn*恒成立，也即-。设g(n)=-，则g(n)-g(n-1)=- -,即log22m-0.故log2m2.0m4,即为所求。三、数形结合，利用图形的直观性例4 已知x、y满足x2+y2-2y=0,欲使不等式x+y+c0恒成立，求c的取值范围。解：由x+y+c0,则-cx+y,即-c小于或等于x+y的最小值，于是问题转化为在圆x2+y2-2y=0上求一点，使x+y有最小值。由图可知：当直线l平行于直线x+y=0且与圆x2

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