专题复习线段和差的最值

1、第1页/共27页 学习目标 1.结合线段和最小的课本原型题的知识梳理及典型例题再探，能求出两定一动、两动一定、两定两动的线段和最小值。 2.通过对线段差最大课本原型知识点的梳理及例题再探，能求出两点同侧、两点异侧的线段差最大值。第2页/共27页常规积累 判断线段之间关系的公理和定理有哪些？1.两点之间线段最短。2.直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短。3.三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边。第3页/共27页课本原型（八上85页） 如图所示，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 饮马，然后到B地。木马人到河边的什么地方饮马，可是所走路径最短？ABCAC 理论依据：两点之间

2、，线段最短 用途：求两条线段和的最小值l第4页/共27页 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）bNAaAMMNB课本原型（八上86页）N N N第5页/共27页 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）AbNAaAMMB课本原型（八上86页）N第6页/共27页应用：求两条线段和的最小值模型一：（两点同侧）：如图1，点P在直线l上运动，画出一点P使PA+PB取最小值。模型二：（两点异侧）：如

3、图2，点P在直线l上运动，画出一点P使PA+PB取最小值。BlCA图1BABlC图2第7页/共27页【典型例题】例1.（“两定一动” ）如图，在直角坐标系中，点A(3,4)，B(0,2)，点P为x轴上一动点，求当PA +PB最小时点P的坐标yxBAOP类型类型“两点同侧两点同侧”在x轴上确定一点P使PA+PB最小，因此先作B（A）关于x轴的对称点B（ A） ，连接AB与与x轴的交点即为所轴的交点即为所求的点求的点P。由由B(0,2)，所以B(0,-2)，因为，因为 A(3,4)，所以易求直线A B：y=2x-2,所以点所以点P（1，0）B第8页/共27页变式训练如图，MN 是O的直径，MN=2

4、，点A 在O 上，AMN=30，B 为弧AN 的中点，P是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为 ABONMPB第9页/共27页【典型例题】例2.（“两动一定”）如图，在锐角ABC中，AB= ，BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，请你求出BM+MN的最小值24ABCDNMNN解析：AD是角平分线，所以具有轴对称，先作N与N关于AD对称，所以M N=MN，要使BM+MN最小，即BM+MN=BM+MN最小，所以当B，M， N在一条直线上时最小，此时为BN的长度，而BN最小时即为B N与AC垂直时最小，易求得BM+MN的最小值为4第10页/共27页变式训练

5、练习1，如图，正方形ABCD的边长为4，CDB的平分线DE交BC于点E，若点P,Q分别是DE和DC上的动点，则PQ+PC的最小值（ ） A.2 B. C.4 D. 2224ABCDQPE第11页/共27页【变式训练】练习2，如图，AOB=45，P是AOB内一点，OP=10，Q、R分别是OB、OA上的动点，求PQR周长的最小值BPAOP1P2 QR第12页/共27页【典型例题】例3.(“两动两定”)如图，直线l1、l2交于O，A、B是两直线间的两点，从点A出发，先到l1上一点P，再从P点到l2上一点Q，再回到B点，求作P、Q两点，使APPQ QB最小。Q QP PAB解析：由前面的知识积累可以得

6、知：先作出点A与 A关于直线l1对称，则PA=P A，然后再作 B与B关于l2对称，则QB=Q B连接AB交l1，l2于点P，Q，则AP+PQ+QB= P A+PQ+Q B，当四点共线时， AP+PQ+QB最小。ABOl1l2第13页/共27页【变式训练】 已知,在平面直角坐标系中，点A（1,3)、B(4,2)，请问在x轴上是否存在点C，在y轴上是否存在点D，使得围成的四边形ADCB周长最短. xyAOBADCB第14页/共27页课本原型 任意画一个三角形ABC,从点B出发，沿三角形的变到点C有几条线路路可已选择？各条线路的长有什么关系？能证明你的结论吗？BA C即：三角形任意两边之差小于第三

7、边即：三角形任意两边之差小于第三边AB-ACBC第15页/共27页应用：求两条线段差的最大值A、理论依据：三角形两边之差小于第三边B、用途：求两条线段差的最大值当P在直线运动到D 时，（PBPC）取最大PB CD第16页/共27页【常见模型】模型一：两点同侧：如图1，点P在直线l上运动。画出一点P，使 |PAPB|取最大值；模型二：两点异侧：如图2，点P在直线l上运动，画出一点P,使|PAPB|取最大值；PBAlB BPAl图1图2ppA第17页/共27页例1 1：已知：点A(0,1)A(0,1)，B(3,4)B(3,4)，点P P在x x轴上运动时，当|PA-PB|PA-PB|的值最大时，求

8、出此时点P P 的坐标yxOABPP P分析：分析：“两点同侧两点同侧”当点当点P、A、B不在一条直线上时，不在一条直线上时，|PA-PB|AB，所以当所以当|PA-PB|的值最大时，此时的值最大时，此时点点p、A、B在一条直线上，即直线在一条直线上，即直线AB与与x轴的交点为轴的交点为P。解析：当解析：当|PA-PB|PA-PB|取最大时，此时点取最大时，此时点P P、A A、B B在一条在一条直线上，设直线直线上，设直线ABAB：y=kx+by=kx+b将将A(0,1)A(0,1) B(3,4)B(3,4)代入解代入解得得k=1,b=1k=1,b=1所以直线所以直线ABAB：y=x+1y=

9、x+1，又因为点，又因为点P P在在x x轴上，轴上，易求点易求点P P（-1-1，0 0）【典型例题】第18页/共27页例1 1：已知：点A(-3,-3)A(-3,-3)，B(-1,-1)B(-1,-1)，点P P在x x轴上运动时，当|PA-PB|PA-PB|的值最大时，求出此时点P P 的坐标yxOABPPP大显身手第19页/共27页【典型例题】例2 2：已知：点A(0,1)A(0,1)，B(3,0)B(3,0)，点P P在直线x=2x=2上运动时，当|PA-PB|PA-PB|的值最大时，求出此时点P P的坐标yxOABx=2PB1 1P分析：分析：“两点异侧两点异侧”由题知：由题知：|

10、PA-PB|AB，所以当，所以当|PA-PB|的值最大时，先找出点的值最大时，先找出点B关于直线关于直线x=2的对称点的对称点Bl，连接，连接AB与直线与直线x=2的的交点即为所求点交点即为所求点P，此时满足：此时满足： |PA-PB|的值最大；的值最大；解析：点解析：点B B与点与点B Bl l关于直线关于直线x=2x=2对称，对称，B B（3,03,0），得），得B B（1 1，0 0）；易求直线）；易求直线ABAB ：y=-x+1,y=-x+1,因为点因为点P P在在x=2x=2上，所以联立可解得：上，所以联立可解得：P(2,-1)P(2,-1)第20页/共27页例2 2：已知：点A(0

11、,1)A(0,1)，B(3,0)B(3,0)，点P P在直线x=2x=2上运动时，当|PA-PB|PA-PB|的值最大时，求出此时点P P的坐标yxOABx=2PB1 1P大显身手第21页/共27页 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动，求线段和的最小值或线段差的最大值时： 1.思路：找点关于线的对称点(作定点关于动点所在直线的对称点，或动点关于动点所在直线的对称点；同时要考虑点点、点线、线线之间的最短问题),实现“折”转“直” 。 2.方法： （1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值； （2）应用垂线段最短的性质求最值； （3）应用轴对称（折叠）、平移的性质求最值。 反思总结第22页/共27页中考题哪里来？中考题哪里来？课本例题课本例题或常见题或常见题中考题中考题来来源源引申、条件变换、引申、条件变换、移植转换、增加解移植转换、增加解题层次性等题层次性等如何去解？转化转化第23页/共27页第24页/共27页1.如图1，等边ABC的边长为6，AD是边BC上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上的一点，若AE=2，EM+CM的最小值为_。2.如图2，菱形ABCD中，BAD=600，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是