3年高考2年模拟2021版新教材高考数学第一章集合与常用逻辑用语1.5全称量词与存在量词第2课时全称量词命题和存在量词命题的否定讲义新人教A版必修第一册

1、1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定课标解读课标要求核心素养1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.(重点)2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.(重点)1.通过对含量词的命题的否定,培养逻辑推理的核心素养.2.借助全称量词命题和存在量词命题的应用,提升数学运算的核心素养.问题:有以下命题:没有男生爱踢足球;所有男生都不爱踢足球;至少有一个男生不爱踢足球;所有女生都爱踢足球.其中命题“所有男生都爱踢足球”的否定是.(填序号)答案.1.全称量词命题、存在量词命题的否定2.全称量词命题、存在量词命题及其否定的关系(1)全称量词命题的否定是存在量词命题.(2)存在量词命题的否定是

2、全称量词命题.思考:“一元二次方程ax2+2x+1=0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题?试改写成相应命题的形式,并写出该命题的否定.提示是存在量词命题.可改写为“存在xr,使ax2+2x+1=0”,其否定为“xr,ax2+2x+10”.特别提醒(1)一般命题的否定通常是保留条件否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题;(2)含有一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.探究一全称量词命题的否定例1写出下列全称量词命题的否定:(1)一切分数都是有理数;(2)所有自然数的平方都是正数;(3)任何实数x都是方程5x-12=

3、0的根;(4)对任意实数x,x2+10.解析(1)存在一个分数,它不是有理数.(2)有些自然数的平方不是正数.(3)存在实数x不是方程5x-12=0的根.(4)存在实数x,使得x2+10.解析(1)p:存在一个实数m,使方程x2+mx-1=0没有实根.因为该方程的判别式=m2+40恒成立,所以p为假命题.(2)p:xn+,2x0.p为假命题.探究二存在量词命题的否定例2写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假:(1)p:x1,使x2-2x-3=0;(2)p:有些素数是奇数;(3)p:有些平行四边形不是矩形.解析(1)p:x1,x2-2x-30.p为假命题.(2)p:所有的素数都不是奇数.p为假

4、命题.(3)p:所有的平行四边形都是矩形.p为假命题.思维突破对存在量词命题进行否定时,首先把存在量词改为全称量词,然后对判断词进行否定,可以结合命题的实际意义进行表述.2.写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假:(1)有些三角形是锐角三角形;(2)x,yz,使得2x+y=3.解析(1)命题的否定:“所有的三角形都不是锐角三角形”,命题的否定为假命题.(2)命题的否定:“x,yz,2x+y3”.当x=0,y=3时,2x+y=3,命题的否定是假命题.探究三全称量词命题与存在量词命题的应用例3已知命题p:xr,不等式x2+4x-1m恒成立,求实数m的取值范围.解析令y=x2+4x-1,xr,则y

5、=(x+2)2-5-5,因为xr,不等式x2+4x-1m恒成立,所以只要m-5即可.所以所求实数m的取值范围是m|my(或aymax(或ay(或aymin(或am有解”,求实数m的取值范围;(2)(变条件)把例3中的条件“xr”改为“x1,+)”,求实数m的取值范围.解析(1)令y=-x2+4x-1,则y=-x2+4x-1=-(x-2)2+33,因为xr,-x2+4x-1m有解,所以只要m小于函数的最大值即可,所以所求实数m的取值范围是m|mm恒成立,所以只要m4即可.所以所求实数m的取值范围是m|m0,都有x2-x+30”的否定是()a.x0,使得x2-x+30b.x0,使得x2-x+30c

6、.x0,都有x2-x+30d.x0,都有x2-x+30答案b2.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是()a.任意一个有理数,它的平方是有理数b.任意一个无理数,它的平方不是有理数c.存在一个有理数,它的平方是有理数d.存在一个无理数,它的平方不是有理数答案b量词“存在”改为“任意”,结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”,故选b.3.命题“xr,x2+2x+5=0”的否定是.答案xr,x2+2x+50解析存在量词命题的否定是全称量词命题,故将“”改为“”,“=”改为“”.4.命题“每个函数都有最大值”的否定是.答案有些函数没有最大值5.已知命题p:xr,x2+2ax

7、+a0.若命题p是假命题,求实数a的取值范围.解析若命题p为真命题,则=4a2-4a0,解得0a1”的否定是()a.对任意实数x,都有x1b.不存在实数x,使x1c.对任意实数x,都有x1d.存在实数x,使x1答案c“存在实数x,使x1”的否定是“对任意实数x,都有x1”.2.命题“xr,|x|+x20”的否定是()a.xr,|x|+x20b.xr,|x|+x20c.xr,|x|+x20d.xr,|x|+x20答案c条件“xr”的否定是“xr”,结论“|x|+x20”的否定是“|x|+x21c.m1d.m1答案b命题p:xr,x2-2x+m0是真命题,则1.故选b.6.命题“两条直线平行,同位

8、角相等”的否定为.答案存在两条直线平行,同位角不相等7.命题p:“有的三角形是直角三角形”,则p的否定是,p的否定是(填“真”或“假”)命题.答案所有的三角形都不是直角三角形;假解析命题:“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题,其否定是全称量词命题,按照存在量词命题改为全称量词命题的规则,即可得到该命题的否定为“所有的三角形都不是直角三角形”,显然是假命题.8.写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)p:xr,x2-x+140;(2)q:所有的正方形都是矩形;(3)r:xr,x2+2x+20.解析(1)p:xr,x2-x+140,真命题.xr,x2+2x+2=(x+1)2+110,r是真命题

9、.9.下列命题的否定是真命题的是()a.三角形角平分线上的点到两边的距离相等b.所有平行四边形都不是菱形c.任意两个等边三角形都是相似的d.3是方程x2-9=0的一个根答案ba命题的否定:存在一个三角形,它的角平分线上的点到两边的距离不相等,假命题;b命题的否定:有些平行四边形是菱形,真命题;c命题的否定:有些等边三角形不相似,假命题;d命题的否定: 3不是方程x2-9=0的一个根,假命题.故选b.10.已知命题“xr,使4x2+(a-2)x+140”是假命题,则实数a的取值范围是()a.a0b.0a4c.a4d.0a0”是真命题,即4x+a-282+14-(a-2)2160,则14-(a-2

10、)2160,即(a-2)24,则-2a-22,即0a4,故选d.11.命题“xr,nn*,使得n2x+1”的否定是()a.xr,nn*,使得n2x+1b.xr,nn*,使得n2x+1c.xr,nn*,使得n2x+1d.xr,nn*,使得n2x+1答案d由题意可知,命题“xr,nn*,使得n2x+1”的否定为“xr,nn*,使得n0”是假命题,求实数a的取值范围.解析因为命题“存在xr,ax2-2ax-30”的否定为“对于任意xr,ax2-2ax-30恒成立”,事实上,当a=0时,对于任意xr,不等式-30恒成立;当a0时,借助二次函数的图象(图略),易知不等式ax2-2ax-30恒成立的等价条件是a0且最大值小于等于0,即-a-30,即-3a0.综上,实数a的取值范围是a|-3a0.14.已知