2003年上海市高中数学实验班理科班入学测试数学试卷

1、上海市2003年高中数学实验班理科实验班入学测试数学试题(本卷满分150分 考试时间90分钟)注意：解答本试卷不得使用计算器一、 填空题(本大题满分80分，每小题8分)1、 实数a,b,c满足,则a+b+c= 2、 在四边形abcd中，b=c=120，ab=3，bc=4，cd=5，则此四边形的面积是 3、 在四位正整数中，a，b，c，d都不为零，且、都是完全平方数，则满足上述条件的最大的四位正整数是 4、 9位裁判给一位跳水运动员打分，每人给的分数都是整数，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，其余分数的平均数为该运动员的得分。若用四舍五入取近似值的方法将得分精确到一位小数，该运动员得9.4分，那

2、么精确到两位小数，该运动员的得分应当是 分5、 已知关于x的二次方程没有实数根，一位老师改动了方程的二次项系数后，得到的新方程有两个根为12和4；另一位老师改动原来方程的某一个系数的符号，所得到的新方程的两个根为-2和6，那么= 6、 一个棱长为整数a的大正方体可以被分成280个小正方体，其中有279个是棱长为1的正方体，剩下的一个正方体的棱长也是整数，那么a的值是 7、 一个边长为5的正方形内接于一个边长为7的正方形，那么，内接正方形的一个顶点到外面的正方形的四个顶点的距离的最大值是 8、 若非零整数n使得的值也是整数，则n= 9、 十个人围座在一个圆桌边，每人选定一个数并将此数告诉他的两个

3、邻座，然后每人报出他的两个邻座告诉他的两个数的平均数，如图给出了所有人报的数，则报出数6的人他原来选定的数是 10、 如图所示：ap、pb、ab分别是三个半圆的直径，pqab，面积为9的圆o与两个半圆及pq都相切，而阴影部分的面积是39，则ab的长是 二、 解答题(本大题共有4个小题，满分70分)11、(本题14分)将所有质数从小到大依次排列为p1，p2，p3证明：当n2时，pn+pn+1一定可以表示为三个或三个以上的不小于2的正整数(在这些正整数中，允许有相同的数)的乘积。12、(本题16分) 如图所示：在abc中ac=7，bc=4，d为ab的中点，e为ac边上一点，且aed=90+c，求c

4、e的长。13、(本题20分)已知一个边长为a的正方形内部可以放置五个半径为1的圆(圆可以与正方形的边相切)，使得任意两个圆至多只有一个公共点，求a的最小值。14、(本题20分)整数满足条件：，求：的最小值上海市2003年高中数学实验班理科实验班入学测试数学试题参考答案及评分标准一、 填空题1、-8； 2、； 3、7841； 4、9.43； 5、8； 6、7； 7、 8、144； 9、1； 10、32二、 解答题11、在p1，p2，p3中，当n2时，pn和pn+1都是奇质数，则是正整数， (6分) 由pnpn+1可得，而pn和pn+1是相继的两个质数，于是为合数，它可以表示为两个或两个以上不小于

5、2的正整数的乘积，所以pn+pn+1=2可以表示为三个或三个以上的不小于2的正整数的乘积。 (14分) 12、解法一：如图所示，作acb的平分线交ab于f，由角平分线定理可得 af：fb=7：4， (4分)则ab的中点d在线段af上，过d作dgcf交ac于g，过g作ghbc交ed的延长线于h，连接bh，于是有dga=fca=acb，dgh=fcb=acb，则dga=dgh，又aed=edg+dga=edg+acb，而已知aed=90+acb，则edg=90，则有rtedgrthdg则eg=hg，ed=hd (8分)又d为ab的中点，则四边形aebh是平行四边形，于是bhac，则四边形cbhg是

6、平行四边形，eg=hg=bc=4， (12分)(16分) 解法二：如图所示，过c作cfde交ab于的延长线于f，则cf是acb的外角平分线 (4分) 于是有(8分)而由外角平分线定理可得; (14分)所以， (16分)13、如图所示，当正方形内的五个圆按图中的方式放置时， 正方形的边长a=，它表明当正方形的边长为 时，放置正方形内部的五个半径为1的圆可以满足任意两个圆至多只有一个公共点。(6分)另一方面，在边长为a 的正方形abcd中不重叠地放 置五个半径为1 的圆o1、o2、o3、o4、o5，则o1、 o2、o3、o4、o5一定都落在与abcd各边距离都为1的且在abcd内部的正方形efhg的边界或内部，(10分)将正方形efhg分割成四个全等的正方形区域1、2、3、4，则o1、o2、o3、o4、o5中必有两点落在同一区域中，(16分)由于每两点