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文档简介
1、 2.2收敛数列的性质本节主要教学内容:收敛数列的性质;运算法则;子列及其收敛性。教学方法与设计:性质的证明以保序性为重点,以训练(N ) 定义为主要目的;多以例题讲解运算法则 (包括迫敛性) ;子列及其收敛性为本节的难点,以子列的概念和(N )定义突破之。一、收敛数列的性质1、极限的唯一性:若 an 收敛,则它的极限是唯一的。证明:设 lim ana, lim anb ,则由N 定义及 P3 例 2 和 P4 习题 3 知 a=b。nn2、有界性:若 an 收敛,则 an 为有界数列。即M0, n N 有 anM 。证 明 : 设 l i m a. 取1, N N , n N 有 ana 1
2、. 即 an 1a , 取nM m a x1 a, a1 , a2 , , aN ,则 nN 有 anM .注意:有界性只是数列收敛的必要条件而非充分条件。例如数列( 1)n 有界但不收敛。当然:无界发散。3、保序性:若 lim ana.lim bnb .且 ab ,则n N 有 an bn 。nn证明:取1 (b a)0, 由N 定义有:21N1, n N1ana,即 an( 1)(a b) ;,即 1 ( a2N, n N2b bb) bn 。( 2)2n2取 Nmax N1, N 2 ,则nN 有 anbn 。1o 、推论1:若 lim anab. 则 N ,nNanb .n2o 、推论
3、2:若 lim ana0,则 N,nNan0.no3:(不等式定理) 。3 、推论设 an 与 bn 均收敛,若N 0 ,nN 0 有 anbn ,则 lim anlim bnnn证明:反证法。说明:( 1)保序性及推论。1、2 均为严格不等式,而不等式定理为非严格不等式。若 anbn 是否有 lim anlim bn ,考虑1与 1.nnnn1(2)同理可证相反的不等式。4、迫敛性(两边夹法则)设数列 an 与 bn 皆收敛于 a ,数列 cn 满足:N 0N ,nN 0 有 ancnbn . 则 cn 收敛,且 lim cna .n证明: Nmax N 0 , N1, N 2, aancn
4、bn a说明:迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法。而且也给出了求数列极限的一个方法,特别地:an a 或 bnb .例:设 an0 (n1,2,3,) ,证明:若 lim ana ,则 lim ana .nn证明:由不等式定理知 a 0。若a 0, 则 由li m0 知有 a2从 而 有即an0, N , nNnannan 0,故有 lim an0。n若 a0anaanaanaa 知,则有anaa,于是由 lim ann0,N ,nNanaa,从而有ana。综合之该例获证。例:求 n n 的极限。解 : 设 ann n1hn ( hn0), 则 n(1 hn ) nCn2 hn21 n(n
5、 1)hn2 从 而20 hn2,故有 1an1hn12,而 lim (12)1 ,于是由迫敛n1n1nn1性定理有 lim nn1n例:证明( 1) limn0,( 2) limn0(a1), (3) lim nan0(0a 1)nnn2nan证明:( 1)提示: 0nnn2。其余请同学们自己证明。n(11)n2n2Cn1例:证明 liman0( a0)nn!证明:a0.kN .使 ak ,于是有1aak 1k22故 n k 有 0ana . a a . aa . a ak 110( n)n! 1 2 k k 1 n 1 nk!n二、四则运算法则若 an 与 (bn ) 分别收敛于 a、 b
6、 ,则 anbn , anbn,an (bn0.b0) 也收敛, 且bn(i ) lim (anbn ) ab.n(ii ) lim abab.nn n(iii ) lim anan bn b特别地有: lim (an c)a c, lim (can )c lim anca, lim 11nnnnbnb证明( i ) .由条件知0. N1, N2N当 nN1 时有ana(I )当 nN2 时有bb(II )n取 NmaxN1 , N 2 ,则当 nN 时 ( I )、(II ) 同时成立,从而有(anbn ) (ab) ana bnb 2即( i )获证(ii ) anbnab(ana)bna
7、(bnb)bn (ana)a bnb(Ma ) .(当 nN )(iii ) anaanbabn1( b anaa bnb )bnbbnbb bnlim bnb0, 由保号性定理的证明取10 . N 3 N , n N 3 有bn211bnbbn(bnb) bbbnb(III)b ,b22取 Nmax N 1, N 2 , N 3 ,当 nN 时() 、()、()同时成立,于是有ana2b ),故( iii )获证bnb2 ( ab3说明:( 1)( i )、( ii )的结论可以推广到任意有限个。( 2)当 an 与 bn 不收敛时,讨论 anbn, anbn ,an的收敛性;反之,当bn
8、an bn anbn .an收敛时,讨论 an 与 bn 的收敛性P34 习题 5bn例:求下列极限(1) lim 2n223n2 ( P31 例 3 的结论);(2) limn(n1n )nn1n(3) lim2n3n;( 4) lim (1 32n 11222n22n 13n 12222n) ;( 5) limn3nnn(6) lim.an(a1).1ann(7) lim111222nn1n2nn解:( 1)分子分母同除以分子分母的最高次幂。(2)分子有理化后用(1)的方法。(3)与( 1)类似,分子分母同除以3n 1 。(4)、( 5)将无限项写为有限项。 ( 4) Sn1 Sn12n1
9、222m1n1 n( nn1 n(n 1)(2nk1),k21),(5) 12n16n1)22 n(n 1)(2m(2k 1)n,(2k1)113(6)讨论 a 的取值: a1; a1; a1(7)利用迫敛性定理;通过放大或缩小将无限项写为有限项:n1nn2nn21n 21例:证明( 1)设 a、b0 ,证明: lim na nbnmax a, bn( 2)若 an0 ,且 lim n anr1,则 lim an0nn证明:( 1)max a, bnanbnn2 max a, b ,由迫敛性定理及 lim n a 1(a 0)n可证4( 2 )n anr0an(r)n , 取 定0使 0r01
10、 , 则 由lim qn0( q1) 可证。n三、子列1 、 定 义 : 设 数 列 an, nk 为 N+ 的 无 限 子 集 , 且 n1n2nk, 则an1 , an2 , ank ,称 an 的一个子数列,简称子列,记为 ank 。例 (1)n 1的一个子列: 1,1,1,1 ,1n2 51218, ank :a1a2a5a12a18n11, n22, a3 5, a412, a5 18说明:( 1)从定义可知,从 an 中依次任取无限多项,并保留这些项在 an 中的先后次序就得到 an 的一个子列。显然 an 的子列有无数多个,特别地有奇偶子列 a2 k 1 , a2k 。(2)在这
11、些子列中。 an 与去掉 an 的有限项后得到的子列称为 an 的平凡子列;其余的子列称为 an 的非平凡子列; an 与任何平凡子列具有相同的收敛性。( 3)关于 nk ,它是k 的严格增加函数,ank 是子列的第 k 项,是 an 的第 nk 项且k N ,nkk. 且当 k时 nk反之亦然(严增) 。2、数列与其子列收敛性的关系: an 收敛 an 的任何非平凡子列都收敛。证明:必要性:设 lim ana.0 N , n Nana,设 ank 是 an 的任一子列。nnkk.故当 kN 时有 nkN ,从而也有 ana。即 ank 也收敛于 a。k充分性。考虑 an 的非平凡子列 a2k . a2k 1 与 a3k ,由条件它们皆收敛,又 a6 k 既是 a2k 的子列,又是 a3k 的子列,由必要性有lim a2klim a6klim a3k .nnn又 a6 k 3 是 a2 k 1 及 a3k 的子列,由必要性有 lim a2 k 1lim a6k 3lim a3 knnn5于是有lim a2klim a2k 1. 由 P26 例 7 可知, lim an 存在。nnn说明:( 1) an 收敛 a2k 与 a2k 1 皆收敛且极限相同。 (P34 习题 7)( 2)推论 1:若 an 有一个子列发散,则 an 发散。推论 2:若 an 有两个子
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