收敛数列的性质

1、 2.2收敛数列的性质本节主要教学内容：收敛数列的性质；运算法则；子列及其收敛性。教学方法与设计：性质的证明以保序性为重点，以训练(N ) 定义为主要目的；多以例题讲解运算法则 （包括迫敛性） ；子列及其收敛性为本节的难点，以子列的概念和(N )定义突破之。一、收敛数列的性质1、极限的唯一性：若 an 收敛，则它的极限是唯一的。证明：设 lim ana, lim anb ，则由N 定义及 P3 例 2 和 P4 习题 3 知 a=b。nn2、有界性：若 an 收敛，则 an 为有界数列。即M0, n N 有 anM 。证 明 ： 设 l i m a. 取1, N N , n N 有 ana 1

2、. 即 an 1a ， 取nM m a x1 a, a1 , a2 , , aN ，则 nN 有 anM .注意：有界性只是数列收敛的必要条件而非充分条件。例如数列( 1)n 有界但不收敛。当然：无界发散。3、保序性：若 lim ana.lim bnb .且 ab ，则n N 有 an bn 。nn证明：取1 (b a)0, 由N 定义有：21N1, n N1ana，即 an（ 1）(a b) ；，即 1 ( a2N, n N2b bb) bn 。（ 2）2n2取 Nmax N1, N 2 ，则nN 有 anbn 。1o 、推论1：若 lim anab. 则 N ,nNanb .n2o 、推论

3、2：若 lim ana0,则 N,nNan0.no3：（不等式定理） 。3 、推论设 an 与 bn 均收敛，若N 0 ,nN 0 有 anbn ，则 lim anlim bnnn证明：反证法。说明：（ 1）保序性及推论。1、2 均为严格不等式，而不等式定理为非严格不等式。若 anbn 是否有 lim anlim bn ，考虑1与 1.nnnn1（2）同理可证相反的不等式。4、迫敛性（两边夹法则）设数列 an 与 bn 皆收敛于 a ，数列 cn 满足：N 0N ,nN 0 有 ancnbn . 则 cn 收敛，且 lim cna .n证明： Nmax N 0 , N1, N 2， aancn

4、bn a说明：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法。而且也给出了求数列极限的一个方法，特别地：an a 或 bnb .例：设 an0 (n1,2,3,) ，证明：若 lim ana ，则 lim ana .nn证明：由不等式定理知 a 0。若a 0， 则 由li m0 知有 a2从 而 有即an0, N , nNnannan 0，故有 lim an0。n若 a0anaanaanaa 知，则有anaa，于是由 lim ann0,N ,nNanaa，从而有ana。综合之该例获证。例：求 n n 的极限。解 ： 设 ann n1hn ( hn0)， 则 n(1 hn ) nCn2 hn21 n(n

5、 1)hn2 从 而20 hn2，故有 1an1hn12，而 lim (12)1 ，于是由迫敛n1n1nn1性定理有 lim nn1n例：证明（ 1） limn0,( 2) limn0(a1), (3) lim nan0(0a 1)nnn2nan证明：（ 1）提示： 0nnn2。其余请同学们自己证明。n(11)n2n2Cn1例：证明 liman0( a0)nn!证明：a0.kN .使 ak ，于是有1aak 1k22故 n k 有 0ana . a a . aa . a ak 110( n)n! 1 2 k k 1 n 1 nk!n二、四则运算法则若 an 与 (bn ) 分别收敛于 a、 b

6、 ，则 anbn , anbn,an (bn0.b0) 也收敛， 且bn（i ） lim (anbn ) ab.n（ii ） lim abab.nn n（iii ） lim anan bn b特别地有： lim (an c)a c, lim (can )c lim anca, lim 11nnnnbnb证明（ i ） .由条件知0. N1, N2N当 nN1 时有ana(I )当 nN2 时有bb(II )n取 NmaxN1 , N 2 ，则当 nN 时 ( I )、(II ) 同时成立，从而有(anbn ) (ab) ana bnb 2即（ i ）获证（ii ） anbnab(ana)bna

7、(bnb)bn (ana)a bnb(Ma ) .（当 nN ）（iii ） anaanbabn1( b anaa bnb )bnbbnbb bnlim bnb0, 由保号性定理的证明取10 . N 3 N , n N 3 有bn211bnbbn(bnb) bbbnb（III）b ，b22取 Nmax N 1, N 2 , N 3 ，当 nN 时（） 、（）、（）同时成立，于是有ana2b )，故（ iii ）获证bnb2 ( ab3说明：（ 1）（ i ）、（ ii ）的结论可以推广到任意有限个。（ 2）当 an 与 bn 不收敛时，讨论 anbn, anbn ,an的收敛性；反之，当bn

8、an bn anbn .an收敛时，讨论 an 与 bn 的收敛性P34 习题 5bn例：求下列极限（1） lim 2n223n2 （ P31 例 3 的结论）；（2） limn(n1n )nn1n（3） lim2n3n；（ 4） lim (1 32n 11222n22n 13n 12222n) ；（ 5） limn3nnn（6） lim.an(a1).1ann（7） lim111222nn1n2nn解：（ 1）分子分母同除以分子分母的最高次幂。（2）分子有理化后用（1）的方法。（3）与（ 1）类似，分子分母同除以3n 1 。（4）、（ 5）将无限项写为有限项。 （ 4） Sn1 Sn12n1

9、222m1n1 n( nn1 n(n 1)(2nk1),k21),（5） 12n16n1)22 n(n 1)(2m(2k 1)n,(2k1)113（6）讨论 a 的取值： a1; a1; a1（7）利用迫敛性定理；通过放大或缩小将无限项写为有限项：n1nn2nn21n 21例：证明（ 1）设 a、b0 ，证明： lim na nbnmax a, bn（ 2）若 an0 ，且 lim n anr1，则 lim an0nn证明：（ 1）max a, bnanbnn2 max a, b ，由迫敛性定理及 lim n a 1(a 0)n可证4（ 2 ）n anr0an(r)n ， 取 定0使 0r01

10、 ， 则 由lim qn0( q1) 可证。n三、子列1 、 定 义 ： 设 数 列 an, nk 为 N+ 的 无 限 子 集 ， 且 n1n2nk， 则an1 , an2 , ank ,称 an 的一个子数列，简称子列，记为 ank 。例 (1)n 1的一个子列： 1,1,1,1 ,1n2 51218, ank :a1a2a5a12a18n11, n22, a3 5, a412, a5 18说明：（ 1）从定义可知，从 an 中依次任取无限多项，并保留这些项在 an 中的先后次序就得到 an 的一个子列。显然 an 的子列有无数多个，特别地有奇偶子列 a2 k 1 ， a2k 。（2）在这

11、些子列中。 an 与去掉 an 的有限项后得到的子列称为 an 的平凡子列；其余的子列称为 an 的非平凡子列； an 与任何平凡子列具有相同的收敛性。（ 3）关于 nk ，它是k 的严格增加函数，ank 是子列的第 k 项，是 an 的第 nk 项且k N ,nkk. 且当 k时 nk反之亦然（严增） 。2、数列与其子列收敛性的关系： an 收敛 an 的任何非平凡子列都收敛。证明：必要性：设 lim ana.0 N , n Nana，设 ank 是 an 的任一子列。nnkk.故当 kN 时有 nkN ，从而也有 ana。即 ank 也收敛于 a。k充分性。考虑 an 的非平凡子列 a2k . a2k 1 与 a3k ，由条件它们皆收敛，又 a6 k 既是 a2k 的子列，又是 a3k 的子列，由必要性有lim a2klim a6klim a3k .nnn又 a6 k 3 是 a2 k 1 及 a3k 的子列，由必要性有 lim a2 k 1lim a6k 3lim a3 knnn5于是有lim a2klim a2k 1. 由 P26 例 7 可知， lim an 存在。nnn说明：（ 1） an 收敛 a2k 与 a2k 1 皆收敛且极限相同。 （P34 习题 7）（ 2）推论 1：若 an 有一个子列发散，则 an 发散。推论 2：若 an 有两个子