广西壮族自治区贵百河联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2023级“贵百河—武鸣高中”10月高二年级新高考月考测试数学（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设为虚数单位，若复数，则复数的实部为（）A． B． C． D．2．若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（）A． B． C． D．3．定义运算：．已知，则（）A． B． C． D．4．已知，两点到直线的距离相等，求的值（）A． B． C．或 D．或5．从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的60％分位数是（）A．16 B．30 C．32 D．516．关于的方程有一根为1，则一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形7．如图，在直三棱柱中，，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．8．已知函数，则有（）A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题的选项中，有多项符合题目要求。（答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分）9．在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（）A． B．向量与的夹角的余弦值为C．点关于轴的对称点坐标为 D．向量在上的投影向量为10．从今年起年内，小李的年薪（万元）与年数的关系是，小马的年薪（万元）与年数的关系是，则下列判断正确的有（）A．5年后小马的年薪超过小李 B．6年后小马的年薪超过小李C．小马的年薪比小李的增长快 D．小马的年薪比小李的增长慢11．已知内角、、的对边分别是、、，，则（）A． B．的最小值为3C．若为锐角三角形，则 D．若，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是__________．13．已知是边长为6的等边三角形，点是的中点，点是线段上一点，满足，则__________．14．如图，正方体的棱长为3，在棱上有一动点，设直线与平面所成的角为，当时，则此时点与点之间的距离__________．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）已知直线．（1）若直线不经过第二象限，求的取值范围；（2）若直线与轴、轴正半轴分别交于、两点，当的面积为时（为坐标原点），求此时相应的直线的方程．16．（15分）已知函数．（1）若，解不等式；（2）若关于的方程有解，求的取值范围．17．（15分）如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，，底面，是线段的中点，在线段上，．（1）证明：平面；（2）在线段上，与所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．18．（17分）在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下，某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数；（2）求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；（3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．19．（17分）在中，内角、、的对边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）点是上的一点，，且，求周长的最小值．2023级“贵百河-武鸣高中”10月高二年级新高考月考测试数学参考答案1．D【详解】因为，所以复数的实部为，故选：D．2．A【详解】设直线的倾斜角为，若向量是直线的一个方向向量，则直线的斜率为，因为，所以．故选：A．3．D【详解】依题意，，则，故．故选：D．4．C【详解】因为点，到直线的距离相等，所以，即，化简得，解得或．故选：C．5．C【详解】把11个数据按照从小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51，因为，这11个数据按照从小到大排列第7个是32．故选：C．6．A【详解】因为1是的根，所以，又，所以有，，整理可得，，即．因为，，，所以．则由可得，，所以．所以一定是等腰三角形．故选：A．7．D【详解】把直三棱柱补成一个底面为菱形的直四棱柱，如图所示：因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，所以异面直线与所成的角为或其补角，不妨设，因为，所以，所以为等边三角形，所以，，所以，因为为边长为的等边三角形，所以，又因为，所以在中，由余弦定理可得，故异面直线与所成角的余弦值为．故选：D．8．B【详解】解：，令，，，任取且，则，，所以，则，所以函数在上单调递增，故当时，，所以，又因为函数为减函数，故．故选：B．9．BD【详解】记，，对于A，，故A错误；对于B，，，，设与的夹角为，则，故B正确；对于C，点关于轴的对称点坐标为，故C错误；对于D，在上的投影向量为，D正确．故选：BD10．BC【详解】易知指数函数的增长速度更快，故C正确，D错误；画出函数和的图象，从图象中观察，可知在这8年内先是小马的年薪低，后来超过了小李，令，则，，所以存在，当时，，由于，所以至少经过6年，小马的年薪超过小李的年薪，即A错误，B正确；故选：BC．11．ABC【详解】对于A，由，得，由正弦定理得，由余弦定理得，则，当时，，即，当时，，又，则，，，于是，因此，A正确；对于B，由，得，当且仅当时取等号，B正确；对于C，由正弦定理得，由为锐角三角形，，得，则，，因此，C正确；对于D，由，，，得，D错误．故选：ABC12．【详解】联立，解得，故直线的交点坐标为，设与直线垂直的直线方程是．将交点的坐标代入该方程，得，解得．所以所求直线方程为．故答案为：13．【详解】因为为的中点，，因为，，三点共线，可得，解得，即，又因为是边长为6的等边三角形，所以．14．【详解】解：以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系．如图所示，则，，，，设，得，则；设平面的法向量为，又，，于是有，不妨令，可得，，所以；因为，且，则，化简得，解得，或（舍去）．即，从而得．15．（1）（2）或【详解】（1）由题意可知直线，易知直线过定点，当直线过原点时，可得，当时，直线不经过第二象限．（2）由题意可知，直线与轴、轴正半轴的交点分别是，，，当时，由得：，即：，或，即：直线的方程为或．16．（1）（2）【详解】（1）当时，，即，则，，，，故不等式的解集为（2），当且仅当，即时，等号成立．故的取值范围是．17．【答案】（1）证明见解析（2）【详解】（1）证明：因为底面，且底面，所以，又因为为正方形，可得，因为，且，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，且为的中点，所以，又因为，且，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，且，，平面，所以平面．（2）解：以点为原点，以，，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为2，可得，可得，，，，，，则，，，因为在线段上，设，其中，则，因为与所成的角为，可得，解得，所以，所以，可得，，设平面的法向量为，则，令，可得，，所以，因为平面，所以平面的一个法向量为，设平面与平面所成的二面角为，其中，可得，即平面与平面所成的二面角为．18．（1）4（2）；平均数为71；中位数为（3）【详解】（1）从图中可知组距为10，则，的频率分别为0.1，0.15，从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人时，成绩不高于50分的人数为（人）（2）由图