概率统计(1-2)ppt课件

1、第一章 随机事件的概率 第一节 随机事件第二节 随机事件的概率第三节 条件概率第四节 独立性 主观概率 第二节 随机事件的概率一、频率与概率二、概率的性质三、等可能概型（古典概型）四、几何概型一、频率与概率概率定义1的概率.量度称为事件发生的可能性大小的在一次试验中事件AAAnn( )AnnfAnAnnAnA即发生的频率，记为为事件次，则称比值次重复试验中出现了在这次试验，如果事件了在相同的条件下，进行( ) ,nfA抛硬币实验HA出现正面4040n5069. 0)(Afn24000n5005. 0)(AfnnnnHfAn)(试验者德摩根蒲丰K皮尔逊K皮尔逊罗曼诺夫斯基204840401200

2、0240008064010612048601912012396990.51810.50690.50160.50050.4923Hn试验次数出现正面的次数出现正面的频率当当常常会不一样常常会不一样不同时，得到的不同时，得到的)( Afnn这表明频率具有一定的随机波动性的稳定性。，这表明频率具有所谓且逐渐稳定于上下波动，总是围绕在的增大，随着试验次数5 . 05 . 0)(Afnn对于可重复进行的试验，当试验次数 逐渐增大时，事件 的频率 都逐渐稳定于某个常数 ，呈现出 “稳定性”A)(Afnpn因此，可以用频率来描述概率，定义概率为频率的稳定值我们称这一定义为概率的统计定义这种“稳定性”也就是通

3、常所说的统计规律性频率具有如下性质 0)(Afn()1nf1非负性2规范性3有限可加性11()()kkniniiifAfA12,nA AA若是一组两两互不相容的事件则0)(APA有对任一个事件,()1P必然事件有)()(,1121iiiiAPAPAA则是两两互不相容的事件若设E是随机试验，是它的样本空间，对E的每一个事件A，将其对应于一个实数，记为P(A )，称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下列条件：概率的公理化定义1非负性2规范性3可列可加性二、概率的性质()0P )()()()(2121nnAPAPAPAAAP，则有满足若事件BABA,)()()(APBPABP)()(APBP1)

4、(APA，对任一事件两两互不相容，则若事件nAAA,21性质1性质2（有限可加性）性质3 性质4 性质5)(1)(APAPA有对任一事件性质6（加法公式） )()()()(ABPBPAPBAP有、对任意两个事件BA 性质5)(1)(APAPA有对任一事件AAAA 且)()()()(1APAPAAPP)(1)(APAP证：证明 性质5可得由性质2证明 性质6性质6（加法公式）)()()()(ABPBPAPBAP有、对任意两个事件BA)()()()()()(ABPBPAPABBPAPBAP证明：)(ABBABA因为(),A BABABB 且故由性质2和性质3得：性质6可以推广到多个事件的情形为任意

5、三个事件，则有设321,AAA1231231 22 31 31 2 3()( )( )( )()()()()P AAAP AP AP AP AAP AAP AAP AAA例如可由归纳法证得一般地，对任意n个事件12,nA AA)()()()()(ABPAPABAPBAPBAP3 . 0)(BP6 . 0)(BAP)( BAPAB例1 设 ， 为两事件，且设 ， 求解)()()()(ABPBPAPBAP而)()()()(ABPAPBPBAP所以3 . 03 . 06 . 0)(BAP于是)()(21211)()()(1)(1)()(ABPABPABPBPAPBAPBAPBAP)()(BAPABP

6、21)()(BPAP例2 设证明证三、等可能概型（古典概型）1试验的样本空间只含有有限个元素，即 12,n2试验中每个基本事件发生的可能性相同，即 )()()(21nPPP具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型。由于它是概率论发展初期的主要研究对象，所以也称之为古典概型 111()()nniiiiiPPPnPE设试验 是古典概型，由于基本事件两两互不相容因此nPi1), 2, 1(ni从而个基本事件含有若事件kA21kiiiA即1( )()jkijkAP APn包含的基本事件数中基本事件总数中某k个不同的数，是这里12,niii1, 2, n则有THTHHHTT例3 将一枚硬币抛二次)(,1

7、11APA求面”为“恰好有一次出现正）设事件（)(,222APA求面”为“至少有一次出现正）设事件（:,EHH HT TH TT设随机试验 为 将一枚硬币抛两次 观察正反则样本空间为4n中包含个元素，每个基本事件发生的可能性相同, 故此试验为等可能概型.（2）2TTA 因为43411)(1)(22APAP于是解（1）1,2AHT THk又中包含的基本事件数1()2/41/2P A故先给出一个记号，它是组合数的推广，规定 nrnrrrnnnrrn0, 2 , 1!1101rnCrnnrn 时，显然，当为自然数。其中例4 设袋中有只4白球和2只黑球，现从袋中无放回地依次摸出2只球（即第一次取一球不

8、放回袋中，第二次再从剩余的球中再取一球，此种抽取方式称为无放回抽样）.试求 （1）取到的两只球都是白球的概率； （2）取到的两只球颜色相同的概率； （3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率 取到的两只球都是白球A取到的两只球都是黑球B一只是白球取到的两只球中至少有CD 取到的两只球颜色相同解 记BADBC,显然(1)(AP用两种方法求525634)(2624AAAP52!2!22624)(2624AAAP1515612)(BPAB 由于，故由概率的有限可加性，所求概率是：15715152)()()()(BPAPBAPDPBC 所以有15141511)(1)()(BPBPCP因为（3）类似于（

9、1），可求得（2）例5 将 个球随机地放入 个盒子中去，盒子的容量不限，试求（1）每个盒子至多有一只球的概率；（2） 个盒子中各有一球的概率 nN)(nN n解 将 个球放入 个盒子中去，每种放法是一个基本事件。显然这是古典概型问题。因每一个球都可以放入 个盒子中的任一个盒子，故共有种不同的方法 nNNnNNNN 个盒子可以有 种不同的选法。对选定的 个 盒子，每个盒子各有一个球的放法有 种。由乘 法原理，共有 种放法，因此所求概率为 nnNn!nnNn!() !nnNnnNpNNNn)1() 1(nNNN(1)(1)nNnnANNNnpNN(1)每个盒子中至多只有一只球,共有 种不同的方法，

10、因此所求的概率为又如设每个人的生日在一年365天中的任一天是等可能的, 即都等于1/365. 那么, 随机选取n(n365)个人, 他们的生日各不相同的概率为365 364(3651)365nn因而, n个人中至少有两人生日相同的概率为365 364(3651)1365nnp 如果n=50, 可算出p=0.970, 如果n=100, 则p=0.9999997.例6 （女士品茶）一位常饮奶茶的女士称：她能从一杯冲好的奶茶中辨别出该奶茶是先放牛奶还是先放茶冲制而成.做了10次测试，结果是她都正确地辨别出来了.问该女士的说法是否可信？ 10次试验一共有 个等可能的结果102 10序出放奶和放茶的先后

11、次次试验中都能正确分辨A0009766. 021)(10AP解假设该女士的说法不可信，即纯粹是靠运气猜对的。在此假设下，每次试验的两个可能结果为：奶茶 或 茶奶且它们是等可能的，因此是一个古典概型问题。若记则 只包含了 个样本点中一个样本点，故A102由实际推断原理实际推断原理，该女士的说法可信实际推断原理 概率很小的事件在一次试验中实际上几乎不会发生四、几何概型古典概型是关于试验的结果为有限个,且每个结果出现的可能性相同的概率模型.一个直接的推广是：保留等可能性，而允许试验的所有可能结果为直线上的一线段、平面上的一区域或空间中的一立体等具有无限多个结果的情形，称具有这种性质的试验模型为几何概

12、型若在一个面积为 的区域 中等可能地任意投点，这 里“等可能”的含义是：点落入 中任何区域 的可能性的大小与区域 的面积 成正比，而与其位置和形状无关()SAA)(AS由()()1PtS知 1()tS从而()()()SAPAS几何概率 AA点落入区域记事件为比例常数，其中tAtSAP)()(则有需要指出的是需要指出的是, 若是在直线上的某线段或空间立体上投点若是在直线上的某线段或空间立体上投点, 则几何概率计算公则几何概率计算公式中的面积分别改为长度或体积式中的面积分别改为长度或体积.例例8(会面问题会面问题) 甲甲,乙两人相约在早上乙两人相约在早上8点到点到9点之间在某地会面点之间在某地会面

13、, 先到者等候另一人先到者等候另一人20分钟分钟, 过时就离开过时就离开. 如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达, 试计算两人能会面试计算两人能会面的概率的概率.解解 记8点为计算时刻的0时, 以分钟(min)为单位, 以x,y分别表示甲,乙两人到达会面地点的时刻, 则样本空间为:W=(x,y)|0 x60,0y60.以A表示事件两人能会面, 由于两人能会面的充要条件是: |x-y|20, (x,y)W,所以A=(x,y)|(x,y)W, |x-y|20.=(x,y)|0 x60,0y60A=(x,y)|(x,y), |xy|20.2060 xy20

14、20O会面区A于是,222( )60405( )()609S AP AS例例9 (Buffon投针问题投针问题) 平面上画有等距离的平行线平面上画有等距离的平行线, 平行线的距离为平行线的距离为a(a0), 向平面向平面投掷一枚长为投掷一枚长为l(la)的针的针, 试求针与平行线相交的概率试求针与平行线相交的概率.jxl( , )|0,0.2axxjj解解 以x表示针的中点与最近一条平行线的距离, 又以j表示针与直线间的夹角, 易知有解解 以x表示针的中点与最近一条平行线的距离, 又以j表示针与直线间的夹角, 易知有jxl( , )|0,0.2axxjj令A=针与平行线相交, 则有( , )|

15、0sin 2lAxxjj 表示的区域是下图中的矩形表示的区域是下图中的矩形, A表示的区域是下图中的阴影部分表示的区域是下图中的阴影部分.sin2lxj2aOjx( , )|0,0.2axxjj( , )|0sin 2lAxxjj由等可能性知由等可能性知sin2lxj2aOjx0sind( )22( )(3)()2lS AlP AaSaj j2( )(3)lP Aa2(4)lNan历史上做过的一些试验如下表历史上做过的一些试验如下表(把把a折算成单位折算成单位1):试验者年份投掷次数相交次数得到的近似值针长Wolf1850500025323.15960.8Smith185532041218.53.15540.6De.Morgan.C1860600382.53.1371.0Fox188410304893.15950.75Lazzerini1901340818083.14159290.83由此可知, 若某个未知数与