高等数学2下总复习课件

1、高等数学2下总复习高等数学总复习高等数学2下总复习知识点知识点1. 数量积、向量积、夹角余弦； cos|baba .|)1(2aaa 0)2( ba.ba (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)zzyyxxbabababa 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 高等数学2下总复习知识点知识点1. 数量积、向量积、夹角余弦； sin|bac (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角). 0)1( aaba)2(/. 0 bazyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 高等数学2下总复习解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222co

2、s)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 .43 高等数学2下总复习解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj高等数学2下总复习知识点2：平面及其方程（三种形式） 平面的点法式方程平面的点法式方程:0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程:000()()()0A xxByyC zz1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程:222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式:21)1( ; 0212121 CCBBAA

3、21)2( /.212121CCBBAA 高等数学2下总复习,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得. 0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解高等数学2下总复习设平面为设平面为, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得tcba 611161（向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解高等数学2下总复习化简得化简得tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入体积式代入体积式

4、,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程为所求平面方程为高等数学2下总复习知识点3：空间直线及其方程 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程: ptzzntyymtxx000直线的参数方程直线的参数方程:直线的对称式方程直线的对称式方程:pzznyymxx000 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的夹角公式两直线的夹角公式高等数学2下总复习222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式:直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系

5、： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm知识点3：空间直线及其方程高等数学2下总复习解解 所求直线方程所求直线方程.153243 zyx1 , 3 , 451240121 kjinns方法方法2:设设,pnms 13405204,21pnmpnmpmnsns 1 , 3 , 4 s取取高等数学2下总复习练习练习: 设有直线设有直线182511:1 zyxL与与 326:2zyyxL则则L1与与L2的夹角为的夹角为6)A( 4)B( 3)C( 2)D( 注注 L1和和L2的方向向量分别为的方向向量分别为 和和1 , 2, 11 s,2 , 1, 12 s3,21| /cos21

6、21 ssss高等数学2下总复习知识点知识点4：二元函数的定义域与极限例例6 6 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 高等数学2下总复习例例7 7 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyx

7、yxu2 高等数学2下总复习求极限求极限: 22()0022222200001 1lim (); lim.1 cos()lim(1);lim;()x yxxyyxyx yxxyyxyxyexyxyxyxyx y 高等数学2下总复习知识点知识点5：二元函数求偏导数； zzdzdxdyxy全微分: .dzz duz dvdtu dtv dt多元复合函数多元复合函数链式法则链式法则: xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 高等数学2下总复习特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中,

8、1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别区别类似区别类似zyxuyx高等数学2下总复习多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导高等数学2下总复习0),( zyxF高等数学2下总复习高等数学2下总复习 2、二元函数二元函数f(x，y)在点（在点（x0，y0)处两个偏导数处两个偏导数),(),(0000yxfyxfy

9、x 存在，是存在，是f(x，y)在该点连续的在该点连续的（A）充分条件而非必要条件）充分条件而非必要条件 （B）必要条件而非充分条件）必要条件而非充分条件（C）充分必要条件）充分必要条件（D）既非充分条件又非必要条件）既非充分条件又非必要条件.),(lim),(lim),(lim),(),(),),(),(300000000存存在在）存存在在；及及）点点可可微微；在在）点点连连续续；在在都都存存在在，则则的的两两个个偏偏导导数数在在、yxfDyxfyxfCPyxfBPyxfAffyxPyxfyyxxyyxxyx.),(),(),(4）必必不不可可微微）偏偏导导数数必必不不存存在在；）极极限限必

10、必不不存存在在；必必无无定定义义；在在该该点点处处处处不不连连续续，则则在在、设设DCBAyxfyxyxfZ 高等数学2下总复习5、二元函数、二元函数 )0, 0(),(, 0)0, 0(),(,),(22yxyxyxxyyxf在点在点(0,0)处处(A) 连续、偏导数存在连续、偏导数存在（B）连续、偏导数不存在）连续、偏导数不存在(C) 不连续、偏导数存在不连续、偏导数存在（D）不连续、偏导数不存在）不连续、偏导数不存在, 0)0, 0()0,0(lim)0 , 0(0 xfxffxx, 0)0, 0( yf偏导数存在，又当（偏导数存在，又当（x，y）沿）沿y=kx趋向于（趋向于（0，0）时

11、）时22220001)(lim),(limkkkxxkxyxfxkxyx 随着随着k的不同，该极限值也不同，所以极限的不同，该极限值也不同，所以极限 不存在，不存在，f(x，y)在（在（0，0）不连续。）不连续。),(lim00yxfyx高等数学2下总复习解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx高等数学2下总复习解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(8

12、2 高等数学2下总复习解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf 高等数学2下总复习 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 高等数学2下总复习解解令令 ),(zyxFzxyzzyxf ),(yzffFx 21xzffFy 21121 xyff

13、FzzxFFxz ,12121xyffyzff xyFFyx ,2121yzffxzff 高等数学2下总复习xyz .,22222yxzyzxz 和和练习练习:设设,求求解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 高等数学2下总复习知识点知识点6：多元函数微分学的几何应用 曲线切线方程曲线切线方程:.)()()(000000tzztyytxx 法平面：法平面：0)()()(000000 zztyytxxt 切平面方程为:000()()()0 xyzF xxFyyF zz法线方程为法线方程为:)

14、,(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 高等数学2下总复习解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程为切平面方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx高等数学2下总复习高等数学2下总复习知识点知识点7：多元函数的极值及其求法 高等数学2下总复习高等数学2下总复习解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6

15、(，.691224623max u则则故故最最大大值值为为 2x=3y, y=2z高等数学2下总复习知识点知识点8：二重积分的性质与计算 性质性质当当 为常数时为常数时，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf 性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf )(21DDD 高等数学2下总复习性质性质4若在若在D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 则有则有 设设M、m分别是分别是),(yxf在闭区域在闭区域 D 上的上的最大值和最小值

16、，最大值和最小值， 为为 D 的面积，则的面积，则性质性质5 DMdyxfm),(11(, )( , ),( , )0;(, )( , ),( , )2( , ).DDDDyfx yf x yf x y dDyDDfx yf x yf x y df x y d 若 关于 轴对称，则若 关于 轴对称，为 在第一象限部分，则性质性质6高等数学2下总复习.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 先确定积分次序先确定积分次序(先看被积函数先看被积函数,再看被积区域再看被积区域D)先积后定限先积后定限,限内画条线限内画

17、条线,先交为下限先交为下限,后交上限写后交上限写.高等数学2下总复习xy 222xxy 原式原式 102112),(yydxyxfdy.解解积分区域如图积分区域如图高等数学2下总复习练练 习习 题题高等数学2下总复习知识点知识点9：重积分的应用 （1）平面区域的面积）平面区域的面积DAdxdy（2）曲面的面积）曲面的面积dxdyAxyDyzxz 22)()(1上上的的投投影影。为为曲曲面面在在为为曲曲面面方方程程，其其中中xyDyxzzxy),( 3( , )Dvf x y dxdy（ ）曲顶柱体体积4vdxdydz（ ）任意空间立体体积高等数学2下总复习知识点知识点10：两类曲线积分及格林公

18、式 1.;第一类曲线积分中定积分的下限一定要小于上限2.(1):( ).L yxaxb几种情形的计算公式: .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba .)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc (3)( ),( ),( ). ()xtytztt 222( , , ) ( ),( ), ( )( )( )( )f x y z dsftttttt dt高等数学2下总复习例例16.)2;)2, 1()2 , 1(,4)1:,2OABxyLydsIL折线折线一段一段到到从从其中其中求求 解解dyyyI222)2(1 . 0 例例17)2

19、0(.,sin,cos:, 的一段的一段其中其中求求kzayaxxyzdsI解解.21222kaka xy42 dkaka222sincos 20IA(1,0)B(1,1)O21010 dyyydsdsIABOA高等数学2下总复习第二类曲线积分几种特殊情形的计算第二类曲线积分几种特殊情形的计算:.)(:)1(baxxyyL，终点为，终点为起点为起点为 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终终点点为为起起点点为为 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则(3)( ),( ),( ). ()xtytztt ( )

20、( )( )PdxQdyRdzPtQtRtdt高等数学2下总复习两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：( ,),x y z 空间曲线 上点处的切线向量的方向角为 dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(则则高等数学2下总复习解解myemyyeyyPxx cos)sin(yemyexxQxxcos)cos( xyo)0 ,(aAMdxdyyPxQDAMOA )( Ddxdym,82am 0)(000dmedxxaaAO , 0 082 am.82am AMOAAOAOAOLI AMOAAOI高等数学2下总复习知识点知识点11：两类曲面积分及高斯公式 ;1),(,22dxdyz

21、zyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:. 1yxzz 若曲面若曲面则则;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(则则.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面则则2.:( , )yy x z若曲面高等数学2下总复习,1;sxyzdssxyz例：计算曲面积分其中 的方程为dsxyzIs 8解：解：dxdyyxxyD 3)1(8高等数学2下总复习,)()(, 0cos,xyxyiS 取取下下侧侧若若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(则有则有给出给出由由如果如果,),(z

22、yxx yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(则有则有给出给出由由如果如果,),(xzyy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .( , , ) , , ( , )xyDR x y z dxdyR x y z x y dxdy高等数学2下总复习计算时应注意以下两点计算时应注意以下两点曲面的侧曲面的侧“一投一投, ,二代二代, ,三定号三定号” xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(一投一投二代二代三定号三定号高等数学2下总复习例例19 1: x

23、=0 2: y=0 3: z=0 4: x+y+z=1解解:043 xyxyDDdxdydxdydxdydxdydxdy yzyzyzDDDdydzzydydzzydydzdydzxdydzxdydzx)1()2()1()1()1(41 xzDdxdzzxydxdzydxdzydxdz)1(4231)1(2)1( xzDdxdzzxydxdzdydzxdxdy高等数学2下总复习dSRQPdxdyRQdzdxPdydzI)coscoscos( 两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系高等数学2下总复习知识点:常数项级数的收敛与发散条件收敛与绝对收敛 性性质质 1 1 如如果果级级数数 1nnu收收敛敛, ,则则 1nnku亦亦收收敛敛. .结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .结论结论: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .高等数学2下总复习级级数数收收敛敛. 0lim nnu且且), 2, 1( nvunn, ,若若 1nnv收收敛敛, ,则则 1nnu收收敛敛；反反之之，若若 1nnu发发散散，则则 1nnv发发散散. .均为正项