测试卷32：图案的设计参考答案

1、测试卷32 图案的设计参考答案知识要点：图案的设计是一种具有实际应用背景的开放性试题，它需要我们通过想象，运用规则的图形的几何知识去推理、分析、比较、设计出合理实用的最佳方案，这也体现出了数学的应用思想。A卷1、（2002年江西省中考题）如图1中的四个图形每个均由六个相同的小正方形组成，折叠后能围成正方体的是（ ）ABCD答案：C2、（2004年辽宁省中考题）如图2，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，则阴影部分的面积为（ ）A、 B、 C、 D、答案：A图 2考点：扇形面积的计算。分析：用四个半圆的面积-正方形的面积=4个相同阴影部分的面积。解答：由图象可以看出4个相同阴影部分的

2、面积=四个半圆的面积-正方形的面积 题中阴影部分面积为故选A点评：本题主要考查扇形面积的计算，牢记扇形面积公式是关键。3、（2004年第15届“希望杯”初二年级培训题）有两个完全相同的三角形木板，三角形的三条边长彼此不相同，用它们来拼接四边形（可以翻过来使用），那么可以拼成不同的四边形的个数最多是（ ）A、3 B、6 C、8 D、9答案：B解答：用两个完全相同的三角形拼接四边形，必须将长度相同的两条边拼在一起，由图可知，在一条边拼接最多可以拼成2个不同的四边形，所以一共最多可以拼成6个不同的四边形。4、（2004年第15届“希望杯”初二年级竞赛题）如图3，正方形BCDE和ABFG的边长分别为，

3、连结CE和CG，则图中阴影部分的面积是 ；CE和CG的大小关系是 .答案：，考点：面积及等积变换；三角形的面积；勾股定理。分析：（1）首先分别求出正方形ABFG、的面积，利用，即可求出阴影部分的面积；（2）利用勾股定理求出CE、CG的长比较即可。解答：解：（1）设图中阴影部分的面积是S，则GFACBDE图 3，（2）在和中，由勾股定理得：，点评：本题主要考查了三角形的面积公式，面积和等积变换，勾股定理等综合知识点，找出是解此题的关键。5、如图4，现有一张长，宽的矩形纸片，请你将它分成5块，再拼合成一个正方形（画图表示）.考点：图形的剪拼。分析：根据题意进行剪拼，再根据勾股定理即可求出该正方形的

4、边长为，将矩形纸分成5块，再拼合成一个正方形即可。图 41222解答：该正方形的边长为，将它分成5块，再拼合成一个正方形如图：点评：此题考查了图形的剪拼，用到的知识点是勾股定理、矩形的性质、正方形的性质等，关键是利用有关性质通过空间想象画出图形。6、（2002年陕西省中考题）如图5，平原上有A、B、C、D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，是它与四个村庄的距离之和最小。考点：作图应用与设计作图。分析：利用两点之间，线段最短，连接AC、BD，交于点H，点H就是所求的位置。解答：HACBD图 5点评：本题需利用关于线段的公理即可解

5、决问题。7、（2000年山东省竞赛题）今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路将这块土地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度可忽略不计，请设计4种不同的修筑方案。考点：作图应用与设计作图。专题：方案型。分析：由正方形的性质知，它的两个对角线把正方形分成面积相等的四部分，故作出正方形的对角线即可；由正方形的性质知，连接对边的中点，也能把正方形分成四个小的正方形，且每个的面积相等；由于正方形是中心对称图形，故过对称中心的两条互相垂直的直线也能把正方形分成面积相等的四部分面积。解答：点评：本题利用了正方形的性质，中点的性质，正方形是中心对称图形求解。8、（2005年山西省初中毕

6、业升学考试题）请用与图6全等的四个等腰直角三角形拼成一个等腰梯形。要求：（1）按的比例画出所拼的图形；（2）简要写出拼图过程。考点：作图复杂作图；等腰梯形的判定。分析：根据要求画图，并注意先后顺序，先将两直角三角形斜边重合，拼成一个正方形，将另外两直角三角形的直角边分别与正方形的一组对边重合，对称地拼放在正方形两则即可得到如图所要求的等腰梯形。解答：（1）按比例画出正方形按比例域出所拼的梯形（正方形的对角线，虚、实均可给分）； （2）拼图过程是：先将两直角三角形斜边重合，拼成一个正方形；再将另外两直角三角形的直角边分别与正方形的一组对边重合，对称地拼放在正方形两侧即可。得到如图所要求的等腰梯形

7、。点评：此题考查了学生对常用的作图方法及等腰梯形的判定的掌握情况。B卷9、如图7，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长。考点：相似三角形的应用。分析：要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出。正方形两边在直角三角形上时，易得，利用对应边成比例可得正方形的边长；当正方形的一边在直角三角形上时，易得，利用对应边的比等于对应高的比可得正方形的边长，比较即可。FDEACB图 7解答：（1）设正方形CDEF的边长为x则有，解得（2

8、）设正方形PQRS的边长为y，作于N交RS于M，而知QMNRSPACB图 7同样有，解得故面积达最大的正方形不锈钢片的边长为.点评：考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比。10、（2001年全国初中数学竞赛“创新杯”广西赛区试题）如图8，在中，D、E、F是BC边上的四等分点，连接AD、AE、AF，把分成面积相等的四部分，请你重新设计一个方案，用图示意将分成面积相等的四部分。答案：本题答案不唯一，如图所示列举了两种方案。图 8EFDACBMNPMNP11、（2002年泉州市中考题）某中学有

9、一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形场地建成草坪。（1）如图9，请分别写出两条道路的面积；（用含a或b的代数式表示）（2）已知，并且四块草坪的面积之和为，试求原来场地的长与宽各为多少米）？（3）在（2）的条件下，为进一步美化校园，根据实际情况，学校决定对整个矩形场地作如下设计（要求同时符合下述两个条件）：条件：在每块草坪上各修建一个面积尽可能大的菱形花圃（花圃各边必须分别与所在的草坪的对角线平行），并且其中有两个花圃的面积之差为条件：整个矩形场地（包括道路、草坪、花圃）为轴对称图形。请你画出符合上述设计方案的一种草图（不必说明画法与根

10、据），并求出每个菱形花圃的面积。考点：一元二次方程的应用；作图应用与设计作图。专题：几何图形问题。分析：（1）由图可知：道路的形状都是小长方形，因此道路的面积=矩形场地的长或宽b或a（2）根据a，b的比例关系，可用未知数表示出a，b，然后根据草坪的总面积=大矩形的面积-两条道路的面积和+道路重叠的小正方形的面积。以此可列出方程求出未知数的值，也就求出了a，b的值。（3）根据两个条件我们可知：一条道路要平分大矩形，且平分的两边中，每边都有一个大花圃和一个小花圃，然后根据这个特点，分别出表示出每块草坪的长和宽也就是菱形花圃的对角线的长，也就能表示出大，小菱形花圃的面积，根据“有两个花圃的面积之差为

11、13平方米”，让大花圃的面积-小花圃的面积=13，以此可得出方程，进而求出所求的值。解答：（1）这两条道路的面积分别是平方米和平方米；（2）设米，米根据题意得：ab图 9整理得：解得：，（不合题意舍去），即矩形的长为28米，宽为14米。HDCGAB图 （2）41232图 （4）441232图 （1）41232图 （3）441232（3）符合设计方案的一种草图如图1所示，其中四个菱形花圃中，第1个与第2个，第3个与第4个花圃的面积分别相等。设，则（米），（米）根据题意得：，解得大菱形花圃的面积为：小菱形花圃的面积为：备注：其他符合设计方案的三种花圃见图（2）、图（3）、图（4），同上法仍可求得大

12、、小花圃的面积分别为45.5平方米和32.5平方米。点评：此题是一道方案设计问题，属于开放性题目，（1）（2）两题是基础的求矩形的面积问题，旨在为（3）作准备；要使菱形的面积最大，必须使菱形的四个顶点在小矩形的边上，然后根据轴对称的关系设计方案，利用矩形、菱形的面积公式计算。C卷12、（湖北省黄冈市2005年初中升学统一考试）蓝天希望学校正准备建一个多媒体教室，计划做长为，宽为的长方形桌面。现只有长，宽的木板，请你为该校设计不同的拼接方案，使拼起来的桌面符合要求。图 10（2）45cm80cm（1）45cm80cm考点：作图应用与设计作图。分析：因为计划做长，宽的长条形桌面。现只有长，宽的木板

13、，所以利用矩形的短边进行裁剪，分成30和15的部分，再进行拼接即可。解答：点评：这是一道操作题，一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程。13、（2004年第9届华罗庚金杯赛试题）在的方格纸上（如图），用铅笔涂其中的10个方格，要求每横行和每竖列被涂方格的个数都是奇数。如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。例如图（2）和图（3）是相同类型的涂法，图（4）和图（2），图（3）是不同类型的涂法。（1）画出3中类型互不相同的涂法；图 11（1）（2）（3）（4）（2）回答：最多有多少种不同类型的

14、涂法？说明理由。解：为了叙述方便起见，我们记染色格为黑色方格，未染色方格为白色方格。每行每列被涂方格的个数都是奇数，又不超过4个，所以只能是1和3个；又因为共有10格黑色方格，所以必有3列涂有黑色方格，还有1列涂有1个黑色方格。行的情况也一样。根据这一点，我们作一下定义：如果存在某个黑色方格，既是所在行的惟一黑色方格，又是所在列的惟一黑色方格，则称此方格为黑色特征方格，类似地定义白色特征方格。下面证明某种涂法或者存在黑色特征方格，或者存在白色特征方格。由于白色特征方格只有6个，在行和列的分布必为3，1，1，1形式，所以一种涂法如果不存在白色特征方格，那么它必有3个白色方格同行，另3个白色方格同

15、列，结合每行每列白色方格数都是奇数（黑色方格数是奇数，黑白方格数在同行或同列和为4，所以每行每列白色方格数也是奇数），我们可以列出所有4种不存在白色特征方格的涂法（其中1种是图（2）：这4种涂法都存在黑色特征方格。所以“某种涂法或者存在黑色特征方格，或者存在白色特征方格”这个结论得证。我们利用它继续考察存在白色特征方格的涂法。对这样的涂法，可以抽掉白色特征方格所在的行和列，只考虑余下的的方格。此时，在余下的的方格中，有5个白色方格。此时有3个白色方格的行和3个白色方格的列相交的白色方格在“在白色特征方格”位置固定时有9种选择（行的3种乘以列的3种），而“白色特征方格”在旋转相同意义下有4种选择（例如，第1行第1列，第1行第2列，第1行第3列，第2行第2列；或者理解为左上角的2乘2共